德州市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题 2023.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l的一个法向量为，且经过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点M满足，得到动点M的轨迹是阿氏圆C．直线l：与圆C恒有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．三棱锥中，底面ABC为边长为2的等边三角形，，，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的左右焦点分别为，，点P为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，M，N为椭圆上位于x轴上方的两点且满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知正方体，则（ ）
A． B．
C．直线与平面所成角为60°
D．直线与平面ABCD所成的角为45°
10．已知直线l：和圆C：，则（ ）
A．直线l的倾斜角为60°B． 圆C的圆心坐标为
C．直线l平分圆C的周长 D．直线l被圆C所截的弦长为
11．在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，N为PD的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A． B．
C．直线PD和直线BC所成角的余弦值为
D．点A到平面PBD的距离为
12．抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），，则（ ）
A．最小值为4
B．可能为钝角三角形
C．当直线l的倾斜角为60°时，与面积之比为3
D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，，______．
14．若为双曲线，则m的取值范围为______．
15．在直三棱柱中，，二面角的大小为60°，点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，则直线与直线所成角的余弦值为______．
16．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点P，则点P坐标为______；的最小值为______．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体中，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，且．
（1）求的长；
（2）将用基向量，，来进行表示．设，求x，y，z的值．
18．（本小题满分12分）已知直线：和直线：，其中m为实数．
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
已知圆C的圆心在直线上，且与直线l：相切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点与圆C相切的直线方程．
20．（本小题满分12分）
如图，两个等腰直角和，，，平面平面ABC，M为斜边AB的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线C：，F为抛物线的焦点，为抛物线上一点，点E为点D在x轴上的投影，且．
（1）求C的方程；
⑵若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，，求证：AB过定点．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：左、右焦点分别、，长轴长为，且椭圆C的离心率与双曲线的离心率乘积为1，P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若且，求的最大值．
高二数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．ABD 10．AB 11．AC 12．ABCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．0 14．或 15． 16．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（1），
．
（2）
，
∴，．
18．解：（1）若，则直线：，即，：，两直线垂直，符合题意；
若，则，解得．
综上，或0．
（2）由在直线上，得，解得，
可得
显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，
令，可得，再令，可得，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或，即或．
19．解：（1）根据题意，直线l：，其斜率为，
则过点与直线l：垂直的直线m的斜率为，
所以直线m的方程为，即．
由，可得，即圆心，
所以圆C的半径
故圆C的方程为：．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；
②若过点的直线斜率存在，
设直线方程为，即，
若直线与圆C相切，则有，解得
此时直线的方程为．
综上，切线的方程为或．
20．解：（1）取AC中点D，连接MD，PD，如图，
又M为AB的中点，∴，由，则
又为等腰直角三角形，，，
∴
又，MD，平面PMD，
∴平面PMD，又平面PMD，∴．
（2）由（1）知，，又平面平面ABC，AC是交线，平面PAC，
所以平面ABC，即PD，AC，DM两两互相垂直，
故以D为原点，，，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，
∴，，
设为平面PCM的一个法向量，
则令，即
平面PCM的一个法向量为
二面角的余弦值为
21．解：（1）由题可知，
∵∴
平方后化简得
解得或
∵∴
∴抛物线C的方程为
（2）当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，
可设直线l的方程为：，设，，
联立，消去x并整理得，
当时，由一元二次方程根与系数的关系，可得，
，
所以
又，所以，
解得，此时满足
∴AB过定点．
22．解：（1）由题意可知双曲线离心率，从而椭圆离心率
又因为，所以，可得，从而
故椭圆的方程为
（2）设，，则，
因为，所以，即
所以，解得．
所以
．
因为，所以，当且仅当，
即时，取等号．最大值为．
