常州市天宁区2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷 满分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，且，则（ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
5.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，据此函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、多项选择题（本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分，每小题5分，共计20分.）
9.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
10.给出以下四个命题，其中真命题是（ ）
A.集合，集合，则
B.，
C.若，，则
D.
11.下列说法不正确的是（ ）
A.命题“，都有”的否定是“，使得”
B.集合，，若，则实数的取值集合为
C.方程有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是
D.已知，，，则的最小值为16
12.已知定义域为R的奇函数，当时，，下列叙述正确的是（ ）
A.当时，关于的方程有6个不相等的实数根
B.当时，有
C.当时，的最小值为1，则
D.若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）
13.若有意义，则实数的取值范围是______.
14.不等式的解集是______.
15.若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是______.
16.设，，若对任意，都有成立，则的值是______.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知集合，
（1）求集合中的所有整数；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
设为实数，
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本500万，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
21.（本小题满分12分）
设函数，
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，求不等式的解集.
22.（本小题满分12分）
设，，，当时，的值域为.
（1）求的值；
（2）若存在实数，使对任意的恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1.【答案】D
【详解】由题意可得，所以.故选：D.
2.【答案】A
【详解】根据实数指数幂的运算法则得：原式.故选：A.
3.【答案】B
【详解】，根据充分条件、必要条件的定义可知：
对于A，是充要条件，A错误；对于B，是必要不充分条件，B正确；
对于C，是充分不必要条件，C错误；对于D，是既不充分也不必要条件，D错误.
故选：B.
4.【答案】D
【详解】令，则，所以，
所以函数的解析式为，又因为，
所以，解得.故选：D.
5.【答案】B
【详解】由题意可知，函数定义域为R，所以，
所以为偶函数，排除选项A和C；当时，，
当时，，所以，排除选项D.故选：B.
6.【答案】A
【详解】由题意可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.
7.【答案】D
【详解】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，
∴当时，，即，而；
当时，，即，而；
∴综上，有，可得如下函数图象，
∴对任意的有成立，
即在中，或或恒成立，
∴或恒成立，即有或.故选：D.
8.【答案】B
【详解】由已知得，因为，所以或.
当时，若要满足题意，则有一个实根，即，
此时没有实根，所以符合题意；
当时，若要满足题意，，有两个不等实根，
则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以，此时的三个根为0，，，符合题意.
综上，或，故.故选：B.
9.【答案】AD
【详解】因为，且，所以
对于A：因为，且，所以，故选项A正确；
对于B：取，，则，故选项B不正确；
对于C：取，，则，故选项C不正确；
对于D：将两边平方可得即，因为，所以，所以，又因为，
所以，所以，选项D正确.故选：AD.
10.【答案】AC
【详解】对于A，因为集合，而，因此，A正确；对于B，当时，，B错误；
对于C，因为，，则，C正确；对于D，，D错误.故选：AC
11.【答案】ABD
【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误，
对于B，当时，满足题意，故B错误，
对于C，令，由得，即，故C正确，
对于D，因为，所以，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为17，故D错误.故选：ABD
12.【答案】BC
【详解】因为为定义域为R的奇函数，
当时，，故，
当时，，故，
当时，，
综上：，
画出函数的图象，如右：
如图1，当时，直线与的图象有5个交点，
图1
联立与，，
由且得，
且此时与联立，，
其中，故时，直线与两抛物线刚好相切，故有5个交点，则当时，与的图象有7个交点，A错误；
当时，单调递减，故当时，有，B正确；
由图象可知：，令，解得：，
当时，的最小值为1，则，C正确；
令，当时，，设两根为，，则，，
当时，，解得：，故的所有实数根之和为，
当时，，故当时，方程和的所有实数根之和为零，
由对称性可知时，方程和的所有实数根之和为零，
综上：或，D错误.故选：BC
13.【答案】
【详解】要使有意义，
须，即，解得或，即实数的取值范围是.
14.【答案】
【详解】.解得或.
故答案为：
15.【答案】
【详解】因为，，，，
所以在上单调递增，且关于对称，若，则，解得或.
16.【答案】或8
【详解】若时，当时，，此时恒成立，即，不存在这样的实数；
当时，，此时即对任意恒成立，不存在这样的实数；
所以，，当，时，函数是减函数，与轴的交点为，
函数与轴的交点为，，
在同一直角坐标系内，画出函数，的图象，如下图所示：
数形结合可得，若满足题意，则即，
又，，，，所以或，所以或.
17.【详解】（1）不等式，解得，得
∴集合中的所有整数为，0，1，2，3；（4分）
（2）∵，∴，
①当时，，即，成立；（6分）
②当时，由，有，解得，（9分）
所以实数的取值范围为.（10分）
18.【详解】（1）当时，，解得或
故不等式的解集为，（5分）
（2）由题意可得，恒成立，
①时，，不恒成立，舍去（7分）
②，解得（11分）
故的取值范围为（12分）
19.【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，
即，则，
所以，又因为，得，所以，.（3分）
设，且，则
∵，∴，，
∴，∴，∴在上是增函数（7分）
（2）由（1）知，在上是增函数，
又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
∴，即，解得.故实数的取值范围是.（12分）
20.【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本500万，总收入万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本500万，总收入万元，故利润.
故；（6分）
（2）当，时，，在对称轴处，取得最大值，；（8分）
当，时，，
∵（当取等号），
故时，利润取得最大值，，（11分）
综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3760万元.（12分）
21.【详解】（1）由不等式的解集为可得：方程的两根为，3且，由根与系数的关系可得：，，所以（2分）
（2）由已知得，，，则
，
当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；
当时，，所以（当且仅当，时等号成立）；
所以的最小值为；（7分）
（3）由得，
又因为，所以不等式化为，即，
当时，，原不等式或.
若，原不等式.
此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当时，不等式的解集为；
（2）当时，，不等式；
（3）当时，，不等式.
综上所述，不等式的解集为：
①当时，；②当时，；
③当时，；④当时，.（12分）
22.【详解】（1）∵在上单调递减且值域为，
∴，，
∴，即，解得：，∴.（4分）
（2）由（1）知：对任意的恒成立，
整理得：对任意的恒成立，
令，则，
又，∴，（6分）
由得：，令，
则问题转化为：存在，使得，则当时，.（8分）
∵，∴的对称轴，
①当，即时，，解得：，∴；
②当，即时，，解得：，∴；
综上所述：实数的取值范围为.（12分）
