宁波市镇海区2023-2024学年高一上学期11月期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．C．D．
4．已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若方程饸好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如果对于任意实数，函数满足，则称为“梓荫函数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．为“梓荫函数”
B．为“梓荫函数”
C．若为“梓荫函数”，则
D．若为“梓荫函数”，则在上单调递增
12．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上有675个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知对数函数且，则______．
14．已知函数的定义域为，则的定义域为______．
15．已知，当时，实数的取值范围为______．
16．已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题。．本题共，6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）计算求值：
（1）计算：
（2）已知实数满足，求的值．
18．（本小题满分12分）已知集合．
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）声强级（单位：分贝）由公式：给出，其中为声强（单位：瓦/平米），基准声强瓦/平米．
（1）已知正常听力范围是25分贝以内；听力损失在26-40分贝为轻度耳聋；听力损失在41-70分贝为中度耳聋；听力损失在71-90分贝为重度耳聋。某耳聋患者听力声强范围为瓦/平米到瓦/平米，则其听力损失为何种程度耳聋？
（2）某医院为布置育婴室查阅相关科学研究得知：新生要幼儿适宜声音强度应在35分贝到40分贝，有利于婴儿早教且不会影响婴儿听觉神经发育；声音超过40分贝可能会对婴儿听力产生影响，则为了宝宝的身体发育和睡眠质量，育婴室的环境声音应不超过多少瓦/平米？
20．（本小题满分12分）已知函．
（1）求函数在的最小值；
（2）对于任意，总存在，使得恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且满足：当时，，，都有．
（1）判断函数的单调性并加以证明；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数为常数）．函数定义如下：对每个给定的实数
（1）若，求在上的最大值；
（2）若且，求函数在区间上的单调增区间的长度之和．（闭区间的长度定义为）
宁波市镇海区2023-2024学年高一上学期11月期中考试
数学试卷答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C C A D D BCD ACD BC ABD
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）解：原式
（2）解：，则
原式
18．解：（1）或，当时，，
则或
（2）由，得．
当时，有，解得．
当时，有或，解得或．
综上，
19．（1）因为，所以．
解得，中度耳聋
（2），解得．
20．（1）令，则，故．
由对勾函数性质可知在的最小值为2；
（2），总，使得，
的对称轴为：．
①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
，即，解得，舍去；
②若，即，函数在上单调递增，则，
，解得，此时，；
③若，即，函数在上单调递减，则，
所以，该不等式无解．
综上所述，的取值范围是．
21．（1）在单调递增
对，有
（2）当时，；（1）
因为，所以；
由可得，
即；由单调性得；
参数分离得（2）
由（1）（2）得．
22．（1）当时，，
则，
由于在上单调递增，在上单调递减，
因此在上的最大值为．
（2）①当，即时，
设和在的交点横坐标为，
则有，解得，
由，得，解得，
因为在上单调递增，所以在上的递增区间长度为
．
②当，即时，
设和在的交点横坐标为，
则有，解得，
由，得，解得，
因为在上单调递增，所以在上的递增区间长度为
③当，即时，
由，得，解得，此时，
若与在上有0或1个交点，则在上恒成立，此时，在上单调递增，区间长度为1011．
若与在上有2个交点，
不妨设，则有解得，矛盾当，同理可得，矛盾．
综上，在上的单调递增区间长度之和为1011．
