福建省2022-2023学年高二上学期期末数学试题汇编-01等差数列
一、单选题
1．（22·23上·福州·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
2．（22·23上·福州·期末）已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
3．（22·23上·龙岩·期末）记是各项均为正数的数列的前n项和，．数列满足，且则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
4．（22·23上·龙岩·期末）等差数列的公差，且，则此数列前6项和等于（ ）
A．72 B．74 C．76 D．78
5．（22·23上·三明·期末）若是与的等差中项，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．5
二、多选题
6．（22·23上·福州·期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．是平方等差数列
B．若是平方等差数列，则是等差数列
C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
7．（22·23上·福州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，公差，则（ ）
A． B． C．有最大值 D．
8．（22·23上·福州·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（22·23上·龙岩·期末）已知数列满足，，若数列的前50项和为1275，则（ ）
A．
B．
C．是常数列
D．是等差数列
10．（22·23上·三明·期末）已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（22·23上·莆田·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
12．（22·23上·福州·期末）将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：
按照以上排列的规律，记第行第个数为，如，若，则 .
13．（22·23上·福州·期末）在等差数列中，若，，则
14．（22·23上·宁德·期末）数列满足，则 .
四、解答题
15．（22·23上·福州·期末）已知等差数列中，为其前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页福建省2022-2023学年高二上学期期末数学试题汇编-01等差数列（解析版）
一、单选题
1．（22·23上·福州·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
【答案】B
【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式求出即可.
【解析】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，
所以，
所以
所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.
故选：B
2．（22·23上·福州·期末）已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45
【答案】C
【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可.
【解析】当为偶数时，
，
令，且n为偶数，
解得，故n的最大值为44；
当为奇数时，
，
令，且为奇数，
解得，故n的最大值为43；
综上所述：n的最大值为44.
故选：C.
【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：
1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求；
2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.
3．（22·23上·龙岩·期末）记是各项均为正数的数列的前n项和，．数列满足，且则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合与的关系，解出数列的通项公式，再求选项中数列求和和最值问题.
【解析】由 与 ，得 ，又，
所以 ，即
因为，所以，所以.
又 ，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
则，所以．
当时，， 也符合.
∴，A选项正确；
当时，
，
而时，也成立，故B选项正确；
设，，
当时，解得，
故数列的最大项为，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：题中数列不等式涉及放缩，通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾.
4．（22·23上·龙岩·期末）等差数列的公差，且，则此数列前6项和等于（ ）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】A
【分析】先利用等差数列的性质求出，再利用等差数列求和公式计算前6项和即可.
【解析】由等差数列的性质得，解得，
数列前6项和为.
故选：A.
5．（22·23上·三明·期末）若是与的等差中项，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案.
【解析】由题意知是与的等差中项，
故，则.
故选：D
二、多选题
6．（22·23上·福州·期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．是平方等差数列
B．若是平方等差数列，则是等差数列
C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.
【解析】对于A，当为奇数时，则为偶数，所以，
当为偶数时，则为奇数，所以，
即不符合平方等差数列的定义，故错误；
对于B，若是平方等差数列，则为常数），即是首项为，公差为的等差数列，故正确；
对于C，若是平方等差数列，则为常数），
则，
即，
当为等差数列时，，则为平方等差数列，
当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误；
对于D，因为是平方等差数列，所以，
把以上的等式相加，得，
，则，即数列是平方等差数列，故正确；
故选:BD
7．（22·23上·福州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，公差，则（ ）
A． B． C．有最大值 D．
【答案】ACD
【分析】首先根据已知条件得到，，，再依次判断选项即可得到答案.
【解析】因为满足，公差，
所以，，且，即.
对选项A，，即，故A正确.
对选项B，，故B错误.
对选项C，因为，，所以，，
所以当或时，有最大值.故C正确.
对选项D，因为当或时，取得最大值，
所以，故D正确.
故选：ACD
8．（22·23上·福州·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证.
【解析】因为，所以，，
所以.故A错误，B正确；
因为，所以等差数列为递增数列.
因为，所以，，
所以.故C正确；
因为，所以.故D正确.
故选：BCD
9．（22·23上·龙岩·期末）已知数列满足，，若数列的前50项和为1275，则（ ）
A．
B．
C．是常数列
D．是等差数列
【答案】BCD
【分析】根据题意分析可得，，对A：根据题意利用并项求和结合等差数列求和运算可得；对B：由，根据通过赋值运算求解；对C：根据分析判断；对D：根据结合等差数列的定义分析判断.
【解析】∵，，则，
又∵，，
∴，
对A：可得：
，
解得，A错误；
对B：由，令，则，解得，
由，令，则，解得，B正确；
对C：∵，
故，即是常数列，C正确；
对D：∵，则，
故是以公差为16的等差数列，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：根据题意分析可得，，故分奇偶项讨论，把相邻的奇项（或偶项）合并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对的处理.
10．（22·23上·三明·期末）已知函数，数列满足，且，.若是等差数列，则可能取的整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】将表示为分段函数的形式，利用选项以及是等差数列求得正确答案.
【解析】，
A选项，，，
，所以是首项，公差为的等差数列.
所以A选项正确.
B选项，，
所以，则为常数列，也是等差数列. 所以B选项正确.
C选项，，
，，所以不是等差数列.
所以C选项错误.
D选项，，
，当时，，
所以是首项，公差为的等差数列.
所以D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（22·23上·莆田·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.
【解析】因为，
所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以.
故答案为：.
12．（22·23上·福州·期末）将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：
按照以上排列的规律，记第行第个数为，如，若，则 .
【答案】69
【分析】观察数阵的排列规律，先确定在数阵中的行的值，再确定在该行的项数，由此可求.
【解析】观察可得数阵的第行排个数，
从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，
偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，
将数阵中的所有数从小到大排列记为数列，则，
令，可得，
因为2023在数阵的第行，
所以，，
所以，，
所以，所以2023排在第45行，
前45行共排了个数，即1035个数，
所以第45 的最大数为，
将第45行的数从左至右排列记为，则，
所以，即，
因为2023为数列的第项，故，
所以，故.
故答案为：69.
13．（22·23上·福州·期末）在等差数列中，若，，则
【答案】
【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.
【解析】记等差数列的公差为，则有
又，所以，解得
所以
故答案为：
14．（22·23上·宁德·期末）数列满足，则 .
【答案】
【分析】将变形得到，然后逐项列举，累加可得到，又，代入即可得出结果
【解析】由题意可得，
所以，， ，
上式累加可得
，
又，所以.
故答案为：
四、解答题
15．（22·23上·福州·期末）已知等差数列中，为其前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）可得，利用裂项求和即可求得答案.
【解析】（1）由题意等差数列中，，设公差为d，
可得，解得，
故.
（2）由（1）可得，
故
.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
