2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题03 相似三角形的判定与性质
(
课标要求
)
一、三角形相似的判定
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理。
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。
3. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理。
4. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算。
5. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理。
6. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。
7. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算。
二、三角形相似的性质
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
(
自学知识点
)
一、相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
符号语言：
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推论1：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
推论2：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
二、相似三角形的性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3.注意：（1）相似三角形对应高的比等于相似比。
（2）相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。
(
思维方法
)
1.方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
2.方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
注意：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
3.判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
4.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【例题2】（2023湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．
【例题3】（2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
(
考点精炼
)
1. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的
是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
5. （2023武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．
6．如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是______。
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为_______cm．
8．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
9. 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．
10. （2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
11. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
12. 如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
14. 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长．
15.如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
16.如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.
求证：△ABC ∽△ADE.
17.如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
18. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．
19.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
20. 如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.
(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；
(2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值．
21. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用）
讲座二 相似
专题03 相似三角形的判定与性质
(
课标要求
)
一、三角形相似的判定
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理。
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。
3. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理。
4. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算。
5. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理。
6. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。
7. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算。
二、三角形相似的性质
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.
2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
(
自学知识点
)
一、相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
符号语言：
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
符号语言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推论1：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
推论2：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
二、相似三角形的性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3.注意：（1）相似三角形对应高的比等于相似比。
（2）相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比。
(
思维方法
)
1.方法总结：判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
2.方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
注意：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
3.判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定1；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
4.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
(
考点
例题讲析
)
【例题1】如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
【例题2】（2023湖南常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．
【答案】##0.8
【解析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
【例题3】（2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
(
考点精炼
)
1. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A.若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B.若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C.若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D.若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，，
，，
，，，
，，
又，，，
，，，，
同理可证，，，，，
，故选：C．
【点睛】主要考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
4. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
5. （2023武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________．
【答案】
【解析】【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6．如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是______。
【答案】25
【解析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
∵∴∴
∵∴∴∴
∵∴∴．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为_______cm．
【答案】
【解析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG=BG=EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴，
∴，
∴BF=6，
∴EF=（cm），
∴BG=EF=（cm），．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
点，分别是边，的中点
，即
又
则四边形的面积为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
9. 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．
【答案】见解析
【解析】当△ADP∽△ACB时，＝，∴＝，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，＝，∴＝，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为4或9.
方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．
10. （2023湖南邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
【答案】见解析
【解析】(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．
(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；
(2)设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.
方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．
12. 如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
【答案】见解析
【解析】(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．
解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，
∵S△PQC＝S四边形PABQ，
∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，
∵＝，
∴CP＝CA＝2；
（2）∵△PQC∽△ABC，
∴＝＝，∴＝，∴CQ＝CP.
同理可知PQ＝CP，
∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CP，
C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ
＝4－CP＋5＋3－CP＋CP
＝12－CP，
∴12－CP＝3CP，∴CP＝12，∴CP＝.
方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．
13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得＝＝，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．
解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2，∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．
14. 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长．
【答案】见解析
【解析】因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝＝＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝，∴CD＝AD＋AC＝＋3＝.
方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．
15.如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
【答案】见解析。
【解析】在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
16.如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.
求证：△ABC ∽△ADE.
【答案】见解析。
【解析】证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
17.如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
【答案】见解析。
【解析】在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
18. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．
【答案】见解析
【解析】求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．
过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB，
∴＝，即＝，且∠ABC＝∠DBE，
∴△EBD∽△CBA,
∴＝()2＝.
又∵DE＝3，∴AC＝4.5.
∵S△ABC＝AC·BF＝18,
∴BF＝8.
方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．
19.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
【答案】见解析。
【解析】∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
20. 如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.
(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；
(2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比．
解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以＝()2.因为AP∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因为S△ABC＝18，所以＝()2＝，所以S△APN＝2；
(2)因为PN∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以＝，＝()2＝()2.因为S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，所以＝＝()2，所以＝＝.
方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
21. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【详解】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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