四川省成都市树德实验中学2023-2024学年九年级上学期入学考数学试题
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算正确；
C：，运算错误；
D：，运算错误；
故答案为：B.
【分析】利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及合并同类项法则计算求解即可。
3．（2021·深圳）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞2，
∴x＞3，
在数轴上表示为 ：
故答案为：D.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4．（2020九上·重庆月考）方程 的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
方程整理，得，x2-x=0
因式分解得，x（x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x1=0，x2=1，
故答案为：C.
【分析】由题意先将原方程整理成一般形式，再用分解因式法即可求解.
5．（2016八上·孝南期中）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选C．
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
6．（2019八下·雁江期中）若分式 的值为零，则x的取值为（ ）
A．x≠3 B．x≠－3 C．x＝3 D．x＝－3
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为零的条件可得x2﹣9=0，x﹣3≠0，解可得答案．
解：由题意得：x2﹣9=0，x﹣3≠0，
解得：x=﹣3，
故答案为：D．
【分析】要使分式值为0，即是使分子为0且分母不为0，据此解答即可.
7．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解： 矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分，
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质判断求解即可。
8．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2 x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2 x，
∴x＝5 ，
∴阴影部分的面积＝（5 ）2＝50（cm2），
故答案为：C．
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2 x＝20，解方程即可解决问题．
二、填空题
9．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：= ．
【答案】x(x+1)(x﹣1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x﹣1)，
故答案为：x(x+1)(x﹣1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
10．（2017八下·海淀期中）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的取值应满足： ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得；x+3≥0，x≠0 ，解得x ≥ 3 且 x ≠ 0 .
11．如图，一次函数与正比例函数交于，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与正比例函数交于，
∴-2m=2，
解得：m=-1，
∴关于x的不等式的解集为：x≥-1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据题意先求出-2m=2，再求出m=-1，最后根据函数图象求解集即可。
12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线，交于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线，交于点N．连接，．若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=∠BAC-（∠B+∠C）=∠BAC-（180°-∠BAC）=2∠BAC-180°，
∵∠BAC=105°，
∴∠MAN=2×105°-180°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出MA=MB，NA=NC，再根据等腰三角形的性质求出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
13．（2020九上·宁化期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻转，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°.
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°.
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°. ∴∠ABE=30°.
∴在Rt△ABE中，AB= 2 .
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8.
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 .
故答案为：D.
【分析】根据翻折及矩形的性质可得：∠EFB=60°，可证出∠DEF=∠EFB=60°，在Rt△ABE中，利用30°.所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再求出AD，最后利用矩形的面积计算即可。
三、解答题
14．
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上；
（4）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
直接开方，得：或
解得：，
（2）解：
方程两边同乘，得
解得，
检验：时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解．
（3）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为：，
该解集在数轴上表示为：
（4）解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程求解即可；
（2）利用解分式方程的方法计算求解即可；
（3）利用不等式的性质求出不等式组的解集为：，再将解集在数轴上表示求解即可；
（4）先化简分式，再将a=2代入计算求解即可。
15．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系，在第二象限内，且顶点A、B、C均在格点上．
（1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）若P是y轴上一点，使得最小，则点P的坐标是 ；A到的距离是 ．
【答案】（1）解：如图，将线段分别绕点O顺时针旋转90°，得到，从而确定点，顺次连接得到，即为所求．
（2）解：如图，分别确定点关于点O的对称点，顺次连接得，即为所求．
（3）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理；作图-三角形
【解析】【解答】解：（3）①如图所示：连接，点P在x轴上，则，
当点三点共线，即点P为与x轴交点时，最小；
设直线的解析式为，
由题意可得： ，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴．
②令A到的距离是h，
由题意可得：， ，
∴，
解得，
故答案为：；.
【分析】（1）根据旋转的性质作三角形即可；
（2）根据关于原点对称作三角形即可；
（3）利用待定系数法求出直线的解析式为，再求出，最后利用三角形的面积公式和勾股定理等计算求解即可。
16．如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：设，则，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，，
∴在中，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用AAS证明 ，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，， 最后利用勾股定理和平行四边形的面积公式计算求解即可。
17．（2018九上·河南期中）已知关于x的一元二次方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知，去证明b2-4ac＞0即可解决问题。
（2）利用公式法求出方程的解，再利用等腰三角形的判断及第三边BC的长为5，分情况讨论，分别求出k的值即可。
18．综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
（1）观察发现：
如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则 °， ；
（2）问题探究：
如图2，若，，，求的长；
（3）拓展延伸：
，，若F为的三等分点，请求出的长．
【答案】（1）；
（2）解：延长交于K，
由折叠可知，，，，
又，，
为等腰直角三角形，
，
，
由得为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过F做的垂线交于点I，连接，
由得四边形为矩形，
中，，中，，
，
当点F是靠近D的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
当点F是靠近A的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
．
综上，的长为9或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=BC =10，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD= AB=10， ∠A= ∠BCD=90°，
∵F为AD边的中点，
∴DF=AF=5，
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D，B的对应点分别为点G，H，
∴BE= EG，DF= FG=5，
设BE = m，则AE = 10-m，
∴EF=EG+FG=m+5，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
由折叠可得：∠BCE = ∠GCE，∠DCF= ∠GCF，
∵∠BCD=90°，
∴，
故答案为：45；.
【分析】（1）根据正方形的判定方法求出四边形ABCD是正方形，再根据折叠的性质求出BE= EG，DF= FG=5，最后利用勾股定理等计算求解即可；
（2）根据折叠的性质求出 ，，，， 再求出△BCK为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用勾股定理等计算求解即可。
四、填空题
19．若，则的值为 ．
【答案】2024
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2024.
【分析】利用完全平方公式，将代入代数式计算求解即可。
20．（2018·十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
【答案】1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【分析】根据定义新运算列出方程，求解得出x的值。
21．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 一元一次不等式组 ，
解得：，
∵关于的一元一次不等式组的解集是，
∴a＜5，
∵方程，
∴，
解得：，
∵关于的分式方程有非负整数解， 且y≠1，
∴，且，
解得：a≥-3，且a≠-1，
综上所述：a的取值范围是：-3≤a＜5，且a≠-1，
∴a的取值是-3，-2，0，1，2，3，4，
∵当a的取值为-3，1，3时，是整数，
当a的取值为-2，0，2，4时，不是整数，
∴符合条件的所有整数a的和为：-3+1+3=1，
故答案为：1.
【分析】根据题意先求出，再求出a的取值范围是：-3≤a＜5，且a≠-1，最后判断求解即可。
22．如图，线段的长为，点D在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过D作与垂直的射线，点G是上一动点（不与点D重合），以为边作矩形，对角线与交于点O，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点B作BF⊥AI交于点F，当点O与点F重合时，OB最小，
∵四边形CDGH是矩形，
∴，，，
∴OC=OD，
∵AD=AC，
∴直线AO垂直平分CD，
∴点O始终在线段CD的垂直平分线上，
∵，
∴，
即线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质求出，，，再根据线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质等计算求解即可。
23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．
【答案】5
【知识点】点的坐标；矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵矩形的四个顶点依次是，的三个顶点的坐标分别是 ，
∴点P的坐标是（2，3），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），（0，3），
∴满足的点P有5个，
故答案为：5.
【分析】先作图，再根据点P到的距离的定义，矩形的性质等判断求解即可。
五、解答题
24．（2020八下·成都期中）为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）解：依题意得， ，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100.
经检验，m=100是原分式方程的解.
∴m=100.
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105.
∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案.
（3）解：设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双.
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样.
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用总价除以单价=数量结合“3000元购进甲种运动鞋的数量=用2400元购进乙种运动鞋的数量”，列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元”列不等式组求解，得出x的范围，即可得出方案数；
（3） 设总利润为W， 根据题意求出关于W和x的函数关系式，由于是一次函数，根据一次函数的性质讨论即可.
25．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标；
（3）如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，时，；时，，得；
∴点．
直线经过点A，C，所以
，解得．
∴；
（2）解：如图，，，
∴．
∵的面积为18，
∴点P在第二象限，或第四象限．设，
若点P在第二象限，则
，
解得，，；
若点P在第四象限，则
，
解得，，；
∴点P的坐标为或．
（3）解：存在；由平移知，，，轴；
设平移距离为s，则，，
①若以为对角线构成菱形，则，点M应在x轴上，令，
由，得，；
由，得；
∴
∴时，，构成菱形．
此时，
②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令
由，得，，解得，
∴，
由，得，
∴，
；
∴时，，四边形是菱形．
此时，
③若以为对角线构成菱形，
由，得，
解得（舍去）或，
∴，
由，设，由，得，
解得，（舍去）或，
此时，
∴时，，四边形构成菱形 ．
此时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用三角形的面积公式求出 ，再分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据平移的性质以及勾股定理求出 ，，轴，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质，勾股定理等计算求解即可。
26．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵把绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
如图，延长，交于点H，过点M作的垂直平分线，交于点F，交于点G，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即F为的中点，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即G为的中点，
∴当点D在点B时，点M在点F处，点D在点C处时，点M在点G处，
∴点D在边上运动时，点M的运动轨迹为线段，
∴点M运动的路径长为；
（3）解：连接，，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
，
即．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式求出 ， 最后根据旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC的值，再利用全等三角形的性质求出 ， 最后根据等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定方法求出 ， 最后利用勾股定理等计算求解即可。
四川省成都市树德实验中学2023-2024学年九年级上学期入学考数学试题
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·深圳）不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020九上·重庆月考）方程 的解是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1
5．（2016八上·孝南期中）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
6．（2019八下·雁江期中）若分式 的值为零，则x的取值为（ ）
A．x≠3 B．x≠－3 C．x＝3 D．x＝－3
7．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．每一条对角线都平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
8．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：= ．
10．（2017八下·海淀期中）函数 中，自变量 的取值范围是 ．
11．如图，一次函数与正比例函数交于，则关于x的不等式的解集为 ．
12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线，交于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线，交于点N．连接，．若，则 ．
13．（2020九上·宁化期中）如图，把矩形ABCD沿EF翻转，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是
三、解答题
14．
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上；
（4）先化简，再求值：，其中．
15．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系，在第二象限内，且顶点A、B、C均在格点上．
（1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的；
（2）画出关于原点O对称的；
（3）若P是y轴上一点，使得最小，则点P的坐标是 ；A到的距离是 ．
16．如图，已知为直角三角形，，F为斜边的中点，D为边上一点（不与A，C重合），连接，过B作交的延长线于E，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
17．（2018九上·河南期中）已知关于x的一元二次方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
18．综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，，分别将和沿，翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
（1）观察发现：
如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则 °， ；
（2）问题探究：
如图2，若，，，求的长；
（3）拓展延伸：
，，若F为的三等分点，请求出的长．
四、填空题
19．若，则的值为 ．
20．（2018·十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 ．
21．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
22．如图，线段的长为，点D在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过D作与垂直的射线，点G是上一动点（不与点D重合），以为边作矩形，对角线与交于点O，连接，则线段的最小值为 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．
五、解答题
24．（2020八下·成都期中）为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
25．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标；
（3）如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，运算错误；
B：，运算正确；
C：，运算错误；
D：，运算错误；
故答案为：B.
【分析】利用幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式以及合并同类项法则计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞2，
∴x＞3，
在数轴上表示为 ：
故答案为：D.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
方程整理，得，x2-x=0
因式分解得，x（x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x1=0，x2=1，
故答案为：C.
【分析】由题意先将原方程整理成一般形式，再用分解因式法即可求解.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选C．
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
6．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为零的条件可得x2﹣9=0，x﹣3≠0，解可得答案．
解：由题意得：x2﹣9=0，x﹣3≠0，
解得：x=﹣3，
故答案为：D．
【分析】要使分式值为0，即是使分子为0且分母不为0，据此解答即可.
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解： 矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分，
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质判断求解即可。
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2 x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2 x，
∴x＝5 ，
∴阴影部分的面积＝（5 ）2＝50（cm2），
故答案为：C．
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2 x＝20，解方程即可解决问题．
9．【答案】x(x+1)(x﹣1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x﹣1)，
故答案为：x(x+1)(x﹣1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
10．【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的取值应满足： ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得；x+3≥0，x≠0 ，解得x ≥ 3 且 x ≠ 0 .
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与正比例函数交于，
∴-2m=2，
解得：m=-1，
∴关于x的不等式的解集为：x≥-1，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据题意先求出-2m=2，再求出m=-1，最后根据函数图象求解集即可。
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法可得：DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=∠BAC-（∠B+∠C）=∠BAC-（180°-∠BAC）=2∠BAC-180°，
∵∠BAC=105°，
∴∠MAN=2×105°-180°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出MA=MB，NA=NC，再根据等腰三角形的性质求出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，最后利用三角形的内角和计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，连接BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，
∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°.
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°.
∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°. ∴∠ABE=30°.
∴在Rt△ABE中，AB= 2 .
∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8.
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 .
故答案为：D.
【分析】根据翻折及矩形的性质可得：∠EFB=60°，可证出∠DEF=∠EFB=60°，在Rt△ABE中，利用30°.所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再求出AD，最后利用矩形的面积计算即可。
14．【答案】（1）解：
直接开方，得：或
解得：，
（2）解：
方程两边同乘，得
解得，
检验：时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解．
（3）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为：，
该解集在数轴上表示为：
（4）解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；直接开平方法解一元二次方程；解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程求解即可；
（2）利用解分式方程的方法计算求解即可；
（3）利用不等式的性质求出不等式组的解集为：，再将解集在数轴上表示求解即可；
（4）先化简分式，再将a=2代入计算求解即可。
15．【答案】（1）解：如图，将线段分别绕点O顺时针旋转90°，得到，从而确定点，顺次连接得到，即为所求．
（2）解：如图，分别确定点关于点O的对称点，顺次连接得，即为所求．
（3）；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；勾股定理；作图-三角形
【解析】【解答】解：（3）①如图所示：连接，点P在x轴上，则，
当点三点共线，即点P为与x轴交点时，最小；
设直线的解析式为，
由题意可得： ，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴．
②令A到的距离是h，
由题意可得：， ，
∴，
解得，
故答案为：；.
【分析】（1）根据旋转的性质作三角形即可；
（2）根据关于原点对称作三角形即可；
（3）利用待定系数法求出直线的解析式为，再求出，最后利用三角形的面积公式和勾股定理等计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：设，则，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，，
∴在中，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用AAS证明 ，最后利用平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再求出，， 最后利用勾股定理和平行四边形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意可知，去证明b2-4ac＞0即可解决问题。
（2）利用公式法求出方程的解，再利用等腰三角形的判断及第三边BC的长为5，分情况讨论，分别求出k的值即可。
18．【答案】（1）；
（2）解：延长交于K，
由折叠可知，，，，
又，，
为等腰直角三角形，
，
，
由得为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解：过F做的垂线交于点I，连接，
由得四边形为矩形，
中，，中，，
，
当点F是靠近D的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
当点F是靠近A的三等分点时，
，，
设，则，，
由得，
解得，
．
综上，的长为9或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=BC =10，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD= AB=10， ∠A= ∠BCD=90°，
∵F为AD边的中点，
∴DF=AF=5，
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D，B的对应点分别为点G，H，
∴BE= EG，DF= FG=5，
设BE = m，则AE = 10-m，
∴EF=EG+FG=m+5，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
由折叠可得：∠BCE = ∠GCE，∠DCF= ∠GCF，
∵∠BCD=90°，
∴，
故答案为：45；.
【分析】（1）根据正方形的判定方法求出四边形ABCD是正方形，再根据折叠的性质求出BE= EG，DF= FG=5，最后利用勾股定理等计算求解即可；
（2）根据折叠的性质求出 ，，，， 再求出△BCK为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用勾股定理等计算求解即可。
19．【答案】2024
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2024.
【分析】利用完全平方公式，将代入代数式计算求解即可。
20．【答案】1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
【分析】根据定义新运算列出方程，求解得出x的值。
21．【答案】1
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 一元一次不等式组 ，
解得：，
∵关于的一元一次不等式组的解集是，
∴a＜5，
∵方程，
∴，
解得：，
∵关于的分式方程有非负整数解， 且y≠1，
∴，且，
解得：a≥-3，且a≠-1，
综上所述：a的取值范围是：-3≤a＜5，且a≠-1，
∴a的取值是-3，-2，0，1，2，3，4，
∵当a的取值为-3，1，3时，是整数，
当a的取值为-2，0，2，4时，不是整数，
∴符合条件的所有整数a的和为：-3+1+3=1，
故答案为：1.
【分析】根据题意先求出，再求出a的取值范围是：-3≤a＜5，且a≠-1，最后判断求解即可。
22．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点B作BF⊥AI交于点F，当点O与点F重合时，OB最小，
∵四边形CDGH是矩形，
∴，，，
∴OC=OD，
∵AD=AC，
∴直线AO垂直平分CD，
∴点O始终在线段CD的垂直平分线上，
∵，
∴，
即线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质求出，，，再根据线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质等计算求解即可。
23．【答案】5
【知识点】点的坐标；矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵矩形的四个顶点依次是，的三个顶点的坐标分别是 ，
∴点P的坐标是（2，3），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），（0，3），
∴满足的点P有5个，
故答案为：5.
【分析】先作图，再根据点P到的距离的定义，矩形的性质等判断求解即可。
24．【答案】（1）解：依题意得， ，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100.
经检验，m=100是原分式方程的解.
∴m=100.
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105.
∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案.
（3）解：设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双.
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样.
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用总价除以单价=数量结合“3000元购进甲种运动鞋的数量=用2400元购进乙种运动鞋的数量”，列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元”列不等式组求解，得出x的范围，即可得出方案数；
（3） 设总利润为W， 根据题意求出关于W和x的函数关系式，由于是一次函数，根据一次函数的性质讨论即可.
25．【答案】（1）解：，时，；时，，得；
∴点．
直线经过点A，C，所以
，解得．
∴；
（2）解：如图，，，
∴．
∵的面积为18，
∴点P在第二象限，或第四象限．设，
若点P在第二象限，则
，
解得，，；
若点P在第四象限，则
，
解得，，；
∴点P的坐标为或．
（3）解：存在；由平移知，，，轴；
设平移距离为s，则，，
①若以为对角线构成菱形，则，点M应在x轴上，令，
由，得，；
由，得；
∴
∴时，，构成菱形．
此时，
②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令
由，得，，解得，
∴，
由，得，
∴，
；
∴时，，四边形是菱形．
此时，
③若以为对角线构成菱形，
由，得，
解得（舍去）或，
∴，
由，设，由，得，
解得，（舍去）或，
此时，
∴时，，四边形构成菱形 ．
此时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用三角形的面积公式求出 ，再分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）根据平移的性质以及勾股定理求出 ，，轴，再分类讨论，结合函数图象，利用菱形的性质，勾股定理等计算求解即可。
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵把绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
如图，延长，交于点H，过点M作的垂直平分线，交于点F，交于点G，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即F为的中点，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即G为的中点，
∴当点D在点B时，点M在点F处，点D在点C处时，点M在点G处，
∴点D在边上运动时，点M的运动轨迹为线段，
∴点M运动的路径长为；
（3）解：连接，，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
，
即．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式求出 ， 最后根据旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC的值，再利用全等三角形的性质求出 ， 最后根据等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定方法求出 ， 最后利用勾股定理等计算求解即可。
