人教A版（2019）必修第一册期末总复习题01
一、单选题
1．下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（ ）
A． B．y= C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数既是定义域上的偶函数，又是 上增函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
10．设方程 的两个根分别为 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：.若函数，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．单调递增函数 D．非奇非偶函数
12．已知 是定义在 上的奇函数，对任意的 ， ，均有 .且当 时， ， ，那么表达式 （ ）
A． B．-65 C． D．
二、多选题
13．已知函数 ，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当时，f(x)的最大值为1
D．若，则的最小值为π
15．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
三、填空题
16．已知 , ,若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是 .
17．已知正实数 、 满足 ，则 的最小值为 .
18．若函数 是偶函数，则 的递增区间是 .
四、解答题
19．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．已知a>0，b>0，且a≠b，比较 与a＋b的大小．
21．已知是奇函数．
（1）求实数的值．
（2）判断在区间上的单调性，并用定义加以证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，
故答案为：A.
【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性，对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】，，.
故答案为：B.
【分析】根据交集定义直接求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】由题设，底面周长，而母线长为，
根据扇形周长公式知：圆心角.
故答案为：C.
【分析】由已知结合扇形弧长公式求解即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】由题意可得， ,
解得 .
故答案为：A.
【分析】由函数的限制条件，求得 的范围，即可求出函数的定义域.
5．【答案】A
【解析】【解答】∵ ，即 ， ，
等价于 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可得结果.
6．【答案】C
【解析】【解答】由题意知， ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：C
【分析】利用对数的真数大于零，分母不为零列出方程组，求解可得函数的定义域。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A： ，故A错误；
对于B：因为N,Q均为集合，则 ，故B错误；
对于C：因为空集不包含任何元素，可知 ，故C错误；
对于D：因为空集是任何集合的子集，则有 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断.
8．【答案】A
【解析】【解答】对于A中，函数 的定义域为 关于原点对称，
且满足 ，所以函数 为定义域上的偶函数，
又由当 时，可得 ，可得函数为单调递增函数，符合题意；
对于B中，当 时，函数 为单调递减函数，不符合题意；
对于C中，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，根据对数函数的图象与性质，可得函数 为非奇非偶函数，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义、增函数的定义，从而找出既是定义域上的偶函数，又是 上增函数的函数。
9．【答案】D
【解析】【解答】由 得 ，
分别作出函数 与， 的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数 的零点个数为2个，
故答案为：D.
【分析】函数 的零点个数 方程 解的个数 函数 与函数 图象交点个数．
10．【答案】D
【解析】【解答】 则 两个根分别为 ，则 得到 .
设 则： ，
两式相减得：
故
故答案选D
【分析】对应函数的定义域为 ，两个根分别为 ，则 得到 ，再根据 的范围得到 ，得到答案
11．【答案】D
【解析】【解答】由于，所以，
由此作出函数的图象，由图示可以得出是非奇非偶函数，不是单调递增函数。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，由于，所以，从而画出分段函数的图象，再结合奇函数和偶函数的图象的对称性，从而判断出函数f(x)的奇偶性。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：由 ，令 ，得 ，令 ，则 ﹐
当 时， ， ，
即 ， ，
且 ， ，
，
对任意的 ， ，均有 ， ，
同理 .
是奇函数，
，
故答案为：C
【分析】由 是定义在 ， 上的奇函数，且 ，推出 ， ，再结合当 时， ，推出 ， ， ， ，由题意可得 对任意的 ， ， ，均有 ，进而得 ，再由奇函数的性质 算出最终结果．
13．【答案】A,B,D
【解析】【解答】 ，
内存在零点，A正确；
，
内存在零点，B正确；
，
内不存在零点，C错误；
，
内存在零点，D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而找出函数存在零点的区间。
14．【答案】A,C
【解析】【解答】由图可知，A选项正确.
，
，
所以.
为奇函数，B选项错误.
，
，C选项正确.
，
若，则，，
，，
，
当时，取得最小值为，D选项错误.
故答案为：AC
【分析】由五点法作图求出 φ 的值，由特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐项进行判断，得出答案.
15．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，，则，故，A不成立．
对于B，设，则，
故，所以，B成立．
对于C，设，其中，
则，
若，则，故；
若，则，故，C成立．
对于D，由不等式，，可得或，
由题意，则或，D不正确．
故答案为：BC.
【分析】利用 “取整函数” 的定义和全称命题的真假性判断方法，再利用一元二次不等式求解方法，进而得出正确的选项。
16．【答案】
【解析】【解答】由题意，命题 , ,因为 是 的必要不充分条件,即 ，则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
【分析】由题意，命题 , ,因为 是 的必要不充分条件,即 ，根据集合的包含关系，即可求解.
17．【答案】10
【解析】【解答】由 （当且仅当 ， 时取“ ”）.
故答案为：10
【分析】由 结合基本不等式求解即可.
18．【答案】
【解析】【解答】因为函数 是偶函数，则 ，
即 ，
则 对任意的 恒成立， ，解得 ， .
所以，函数 的图象是开口向下的抛物线，则函数 的递增区间为 .
故答案为： .
【分析】由偶函数的定义得出 ，可得出函数 的解析式，然后再利用二次函数的性质可得出函数 的单调增区间.
19．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
.
（2）解：因为 ，所以 .
.
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式求出，，再利用正切的二倍角公式，即可求出 的值；
（2）先判断角的范围，利用同角三角函数基本关系式求出 ， 再利用两角和差的余弦公式，即可求出 的值.
20．【答案】解：作差法比较大小， ，a>0，b>0，且a≠b，所以 , >a＋b.
【解析】【分析】由已知利用作差法列式，得到 ，即可比较大小.
21．【答案】（1）解：设的定义域为，由题知，
因为是奇函数，
所以，，即，故．
由于，，
所以，即，故．
当，时，，
，
所以是奇函数，
所以，，．
（2）解：当时，．在区间上单调递增，理由如下：
证法一：，，且，
所以，，
因为，，，
所以，即．
进而有，即．
所以，在区间上单调递增．
证法二：，，且，
有
．
因为，，，，，
所以，
进而有，即．
所以，在区间上单调递增．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义和奇函数的性质，进而得出a，b的值。
（2）利用已知条件结合两种方法求解，再结合单调函数的定义，进而判断并证出 在区间上的单调性 。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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