南安市2023－2024学年度上学期初中期中教学质量监测
初二年数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟 内容：第11、12章）
学校： 班级： 姓名： 考生号：
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．4的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
7．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
8．如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
10．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．的立方根是 ．
12．比较大小：3 ．（填写“”、“”或“”）
13．若，则的值为 ．
14．若，，则的值是 ．
15．若，则 ．
16．若，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：．
18．（8分）因式分解：（1）； （2）．
19．（8分）先化简，再求值：，其中，．
20．（8分）一个正数的两个不同的平方根分别是和．
（1）求和的值；
（2）求的立方根．
21．（8分）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
22．（10分）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”．
（1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．
23．（10分）下面是小明同学探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，
∵，
∴可设，其中，可画出如图示意图，
∴，
又∵，
∴，
∵较小，我们可以略去，
得方程，
∴解得，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值(精确到0.1)．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
24．（12分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，＝ ；
（2）求展开式中各项的系数和；
（3）若今天是星期二，经过天后是星期几．
25．（14分）
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【直接应用】（1）若，，求的值；
【类比应用】（2）若，求的值；
以下是亮亮同学的解法：
解：∵，
∴，
∵，
∴．
爱动脑筋的琪琪同学看了亮亮同学的解法后，灵机一动说到：“我还有其它不同的解法．”请你结合材料，类比第（1）题进行解答；
【知识迁移】（3）两块形状大小都相同的直角梯形（）如图2所示放置，其中、、三点在同一直线上，连结、．若，每一个直角梯形的面积为69，且下底是上底的2倍，求△与△的面积之和．
南安市2023—2024学年度上学期初中期中教学质量监测
初二年数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是1分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．D；2．A；3．C；4．D；5．B；6．C；7．A；8．D；9．C；10．D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．； 12．＞； 13．9； 14．6； 15．12； 16．2．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解：原式
18．（8分）解：（1）原式
（2）原式
19．（8分）解：原式
当，时，原式
20．（8分）解：（1）由题意，得，
∴当时，，．
（2）由（1）可知，，
，的立方根为4．
21．（8分）解：（1），，
，，．
（2），由（1）知，，．
22．（10分）解：（1）、、这三个数是“完美组合数”．理由如下：
，，，
、、这三个数是“完美组合数”
（2），或，
或（不符合题意，舍去）的值是．
23．（10分）解：（1）8．
（2），可设，其中
可画出如图示意图，
由图中面积计算，
又，
较小，略去可得方程，解得，即
24．（12分）解：（1）
（2）赋值法：由题可得设
令，可得
的系数和为．
（3）法一：若今天是星期二，经过天后是星期四，理由如下：
由题可得．。
，
除以7的余数为1，除以7余数为2，经过天后是星期四。
法二：2除以7的余数为2，除以7的余数为3，除以7的余数为1，
除以7的余数为2，除以7的余数为4，除以7的余数为1，
除以7的余数为2，除以7的余数为4，除以7的余数为1，
依此类推……
可得规律，除以7的余数为2，
如果今天是星期二，经过天后是星期四．
25．（14分）解：（1），，
，，的值为1．
（2），，
令，，，，
．
的值为3．
（3）由题可设梯形的上底为，高为，则下底为
，
，
、、三点在同一直线上，
，
，
，
与的面积之和为52．
