黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知△ABC的三条边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|的结果为（ ）
A．2a﹣2b B．2a﹣2c C．a﹣2b D．0
3．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．300° D．360°
4．（3分）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
5．（3分）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠B＝∠C＝∠A
C．∠A﹣∠B＝90° D．∠A＝90°﹣∠B
6．（3分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
7．（3分）如图，已知∠B＝∠D，AB＝AD，添加下列条件：①AC＝AE；②∠1＝∠2；③BC＝DE；④∠C＝∠E中的一个，能使△ABC≌△ADE的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，，AB＝AE，且CD＝4，AE＝3，则五边形ABCDE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（3分）如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC，AC＝BC＝4，点A在DE上，若AD：AE＝1：3，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
10．（3分）如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC交于点H，两个外角角平分线BM、CM交于点M，BE延长线交CM反向延长线于点N．则下列结论中：①OD平分∠BOC；②当∠BAC＝60°时，BC＝BF+CE；③∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；④∠BOC﹣∠M＝2∠N；⑤S△ABC＝OH（AB+BC+AC）；⑥BH＝（AB+BC﹣AC）．其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 ，使Rt△ABC≌Rt△DFE．
12．（3分）若等腰三角形△ABC的周长是16，AB＝6，则BC＝ ．
13．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（3，3），B（﹣1，1），C（2，1），若要使△ABC与△DBC全等，则点D的坐标为 ．
15．（3分）如图，将△ABC沿着DE向内翻折，使点B落到点P处，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACB．若∠1+∠2＝80°，则∠APC＝ ．
16．（3分）已知△ABC，边AB、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，若∠PAQ＝30°，则∠BAC＝ 度．
17．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，∠EBC+∠ABE＝180°，EF⊥AB于点F，交DE于点E，AF＝10，BC＝8，则AB＝ ．
18．（3分）如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝ ．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠B＝2∠CDE，CE⊥DE，于点E，DE交AC于点F，若S△FCD＝4，则CE＝ ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，BM⊥CF交CF延长线于点M，CN平分∠ACB交AD于点G，交AB于点N，连接DF，则下列结论：①∠ADC＝∠BDF；②AD＝CF+DF；③S△ACD＝3S△CDF；④∠AGN＝∠BFD；⑤AE﹣BM＝EM；⑥∠ADF＝2∠CAD．其中正确的有 ．（只填序号）
三、解答题（满分60分）
21．（12分）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点在网格线交点上．
（1）作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标 ；
（2）作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 ；
（3）直接写出点A关于直线m（直线m上各点到x轴的距离都为1）的对称点的坐标 ．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，∠AED＝155°，CE+CD＝BC．
（1）求证：△BFD≌△CDE；
（2）求∠EDF的度数．
23．（8分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，点D在直线AB上，连接CD，若△ACD为直角三角形，请用尺规或三角板画出符合条件的图形，并直接写出∠BCD的度数．
24．（14分）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：
如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝3，AC＝5，求AD的取值范围．
“善思小组”通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE，可以证出△ADB≌△EDC，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与AD转化到△ACE中，进而求出AD的取值范围．
从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
请你利用“善思小组”的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADB≌△EDC的理由是 ；
A．SSS
B．AAS
C．HL
D．SAS
（2）求得AD的取值范围是 ；
A.3＜AD＜5
B.3≤AD≤5
C.1＜AD＜4
D.1≤AD≤4
解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中．
根据上面解题方法的启发，请你解答问题．
（3）如图②，在△ABC中，AB＞AC，点D，E在BC上，点E是CD的中点，DF∥AB交AE于点F，DF＝AC．
求证：AE平分∠BAC．
25．（14分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方法，某数学兴趣小组拟做以下探究．
如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，点G在直线CE上，CG＝AB，点F在直线BD上，BF＝AC，FN⊥BC于点N，GM⊥BC于点M．探究线段BC，FN，GM之间的数量关系．
（1）如图①，当△ABC是锐角三角形时，线段BC，FN，GM之间的数量关系是 ．
“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法：过点A作AP⊥BC于点P，利用全等三角形的性质进而得证．请你写出证明过程．
下面是小强的部分证明过程，仔细阅读并完成相应的任务．
证明：过点A作AP⊥BC于点P． ∴∠APB＝90°． ∴∠BAP+∠ABP＝90°． ∵CE⊥AB， ∴∠BCE+∠ABP＝90°． ∴∠BAP＝∠BCE． ∵GM⊥BC， ∴∠CMG＝90°． ∴∠APB＝∠CMG＝90°． 在△APB和△CMG中， ∵∠BAP＝∠GCM， ∠APB＝∠CMG，AB＝CG， ∴△APB≌△CMG（AAS）． ∴BP＝GM．
请你补全余下的证明过程．
（2）通过类比、转化、猜想，探究出：当△ABC是钝角三角形，且AB＞AC时，如图②线段BC，FN，GM之间的数量关系是 ；当△ABC是钝角三角形，且AB＜AC时，如图③，线段BC，FN，GM之间的数量关系是 ．
（3）“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后，提出下面问题请你解答：
在（1）和（2）的条件下，若MN＝2BC＝8，CD：AD＝1：3，则S△BCD＝ ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．
【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知△ABC的三条边分别是a，b，c，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|的结果为（ ）
A．2a﹣2b B．2a﹣2c C．a﹣2b D．0
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，再去掉绝对值符号后合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a+c＞b，b+c＞a，
∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c+a﹣b﹣c＝2a﹣2b，
故选：A．
【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a解答．
3．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．300° D．360°
【分析】根据三角形的内角和，可得答案．
【解答】解：在△ACE和△BDF中，
∠A+∠C+∠E＝180°，∠B+∠D+∠F＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝180°+180°＝360°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和，利用三角形的内角和是解题关键．
4．（3分）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
【分析】全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．
【解答】解：
A、根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（3分）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠B＝∠C＝∠A
C．∠A﹣∠B＝90° D．∠A＝90°﹣∠B
【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠B＝∠C，
∴设∠A＝∠B＝x，则∠C＝2x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、∵∠A﹣∠B＝90°
∴∠A＝90°+∠B＞90°
∴此三角形是钝角三角形，故本选项正确；
D、∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
6．（3分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，
∴（n﹣2） 180＝720，
解得：n＝6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
7．（3分）如图，已知∠B＝∠D，AB＝AD，添加下列条件：①AC＝AE；②∠1＝∠2；③BC＝DE；④∠C＝∠E中的一个，能使△ABC≌△ADE的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠B＝∠D，AB＝AD，
∴当添加AC＝AE，不能判断△ABC≌△ADE；
当添加∠1＝∠2时，则∠BAC＝∠DAE，所以△ABC≌△ADE（ASA）；
当添加BC＝DE时，所以△ABC≌△ADE（SAS）；
当添加∠C＝∠E时，所以△ABC≌△ADE（SSA）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
8．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，，AB＝AE，且CD＝4，AE＝3，则五边形ABCDE的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】可延长DE至F，使EF＝BC，可得△ABF≌△AED，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．
【解答】解：延长CB到F，使BF＝DE，连接AF，
∵AB＝AE，BF＝DE，∠E＝∠ABF＝90°，
∴△AFB≌△ADE（SAS），
∴AF＝AD，∠DAE＝∠FAB，AB＝AE＝3，
∵∠CAD＝∠BAE＝（∠DAE+∠BAD）＝∠FAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∴△AFC≌△ADC（ASA），
∴FC＝CD＝4，
∴五边形ABCDE的面积＝＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC，AC＝BC＝4，点A在DE上，若AD：AE＝1：3，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
【分析】连接BE，设AB与CE交于点O，过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BE于N，先证△DCA和△ECB全等得AD＝BE，∠D＝∠CEB，进而得BE：AE＝1：3，再证OM＝ON，根据三角形的面积公式可得出S△BOE＝BE ON，S△AOE＝AE OM，则S△BOE：S△AOE＝BE：AE＝1：3，然后根据△BOE和△AOE等高得S△BOE：S△AOE＝OB：OA＝1：3，由此可得OA：AB＝3：4，最后根据△OAC和△ABC等高得S△AOC：S△ABC＝OA：AB＝3：4，据此可求出S△AOC的面积．
【解答】解：连接BE，设AB与CE交于点O，过点O作OM⊥AE于M，ON⊥BE于N，如图：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACO+∠ECB＝∠ACO+∠DCA，
即∠DCA＝∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，∠D＝∠CEB，
∵AD：AE＝1：3，
∴BE：AE＝1：3，
∵∠DCE＝90°，DC＝EC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴∠D＝∠CED＝45°，
∴∠CEB＝∠CED＝45°，
即OE为∠AEB的平分线，
∴OM＝ON，
∵S△BOE＝BE ON，S△AOE＝AE OM，
∴S△BOE：S△AOE＝BE：AE＝1：3，
又∵△BOE和△AOE等高，
∴S△BOE：S△AOE＝OB：OA＝1：3，
∴OA：AB＝3：4，
∵△OAC和△ABC等高，
∴S△AOC：S△ABC＝OA：AB＝3：4，
∴S△AOC＝S△ABC＝××4×4＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等，正确地添加辅助线构造全等三角形，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC交于点H，两个外角角平分线BM、CM交于点M，BE延长线交CM反向延长线于点N．则下列结论中：①OD平分∠BOC；②当∠BAC＝60°时，BC＝BF+CE；③∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；④∠BOC﹣∠M＝2∠N；⑤S△ABC＝OH（AB+BC+AC）；⑥BH＝（AB+BC﹣AC）．其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】因AB≠AC，可知∠OBA≠∠ACO，即可得∠BOD≠∠DOC，判断①不正确；当∠BAC＝60°时，在BC上截取BI＝BF，连接OI，证明△OBI≌△OBF（SAS），可得∠OIB＝∠OFB，即得∠CIO＝∠CEO，从而证明△CIO≌△CEO（ASA），有CI＝CE，可得BC＝BF+CE，判断②正确；由∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），可得∠DOH＝∠ACB﹣∠ABC＝∠OCB﹣∠OBC，判断③正确；由BN平分∠ABC，BM平分∠PBC，可得∠MBN＝∠MBC+∠NBC＝（∠PBC+∠ABC）＝90°，故∠M＝90°﹣∠N；同理∠CON＝90°﹣∠N，即得∠M+∠CON＝180°﹣2∠N，即∠M+180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠N，得∠BOC﹣∠M＝2∠N，判断④正确；因O到AB，AC的距离都等于OH，故S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△COA＝AB OH+BC OH+AC OH＝OH（AB+BC+AC），判断⑤正确；过O作OK⊥AB于K，OT⊥AC于T，由（BK+AK）+（BH+CH）﹣（AT+CT）＝AB+BC﹣AC，而BH＝BK，AK＝AT，CT＝CH，可得BH＝（AB+BC﹣AC），判断⑥正确．
【解答】解：∵AB≠AC，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠ABC≠∠ACB，即∠OBA≠∠ACO，
∵∠BOD＝∠BAD+∠OBA，∠DOC＝∠DAC+∠ACO，∠BAD＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，
∴∠BOD≠∠DOC，
∴OD不是∠BOC的平分线，故①不正确；
当∠BAC＝60°时，在BC上截取BI＝BF，连接OI，如图：
∵∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠BAC）÷2＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠EOF＝∠BOC＝120°，
∴∠AFO+∠AEO＝180°，
∵∠CEO+∠AEO＝180°，
∴∠CEO＝∠AFO，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS），
∴∠OIB＝∠OFB，
∴180°﹣∠OIB＝180°﹣∠OFB，即∠CIO＝∠AFO，
∴∠CIO＝∠CEO，
在△CIO和△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA），
∴CI＝CE，
∵BC＝BI+CI，
∴BC＝BF+CE，故②正确；
如图：
∵OH⊥BC于H，
∴∠OHD＝90°，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，
∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），
∴∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝∠ACB﹣∠ABC＝∠OCB﹣∠OBC，故③正确；
∵BN平分∠ABC，BM平分∠PBC，
∴∠MBN＝∠MBC+∠NBC＝（∠PBC+∠ABC）＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠N；
同理可得∠MCO＝90°，
∴∠CON＝90°﹣∠N，
∴∠M+∠CON＝180°﹣2∠N，
而∠CON＝180°﹣∠BOC，
∴∠M+180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠N，
∴∠BOC﹣∠M＝2∠N，故④正确；
∵△ABC三条角平分线BE、CF、AD交于点O，OH⊥BC，
∴O到AB，AC的距离都等于OH，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△COA＝AB OH+BC OH+AC OH＝OH（AB+BC+AC），故⑤正确；
过O作OK⊥AB于K，OT⊥AC于T，如图：
∵BK+AK＝AB，BH+CH＝BC，AT+CT＝AC，
∴（BK+AK）+（BH+CH）﹣（AT+CT）＝AB+BC﹣AC，
∴（BK+BH）+（AK﹣AT）+（CH﹣CT）＝AB+BC﹣AC，
由角的对称性可知，BH＝BK，AK＝AT，CT＝CH，
∴2BH＝AB+BC﹣AC，
∴BH＝（AB+BC﹣AC），故⑥正确；
∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；
故选：C．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件 DE＝AC（答案不唯一） ，使Rt△ABC≌Rt△DFE．
【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：添加DE＝AC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即EF＝CB，
在Rt△ABC与Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
故答案为：DE＝AC（答案不唯一）．
【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答．
12．（3分）若等腰三角形△ABC的周长是16，AB＝6，则BC＝ 4或5或6 ．
【分析】根据等腰三角形的性质，需要分类讨论．
【解答】解：根据题意可知需要分三种情况：
①当AB＝BC＝6时，三角形的底边AC＝4，可构成三角形，符合题意；
②当AB＝AC＝6时，BC＝4，符合题意；
③当BC＝AC时，因为AB＝6，等腰三角形的周长为16，所以BC＝AC＝（16（16﹣6）÷2＝5，
综上，BC的长为4或5或6．
故答案为：4或5或6．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想等相关知识，知道在指代不明时需要分类讨论是解题的关键．
13．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为 7 ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，外角和等于360°列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°＝2×360°+180°，
n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角，熟记多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键，需要注意，任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（3，3），B（﹣1，1），C（2，1），若要使△ABC与△DBC全等，则点D的坐标为 （3，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，3） ．
【分析】根据全等三角形的性质解得即可．
【解答】解：∵A（3，3），B（﹣1，1），C（2，1），要使△ABC与△DBC全等，
∴D的坐标为：（3，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，3），
故答案为：（3，﹣1）或（﹣2，﹣1）或（﹣2，3）．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
15．（3分）如图，将△ABC沿着DE向内翻折，使点B落到点P处，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACB．若∠1+∠2＝80°，则∠APC＝ 110° ．
【分析】根据翻折的性质得出∠B＝∠DPE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE向内翻折，
∴∠B＝∠DPE，∠BDE＝∠EDP，∠BED＝∠DEP，
∵∠1+∠2＝80°，
∴∠BDE+∠BED＝（360°﹣80°）÷2＝140°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵AP，CP分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠PAC＝∠BAC，∠ACP＝∠ACB，
∴∠PAC+∠ACP＝70°，
∴∠APC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题考查翻折的问题，关键是根据翻折的性质得出∠B＝∠DPE解答．
16．（3分）已知△ABC，边AB、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，若∠PAQ＝30°，则∠BAC＝ 75或105 度．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP＝BP，AQ＝CQ，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：如图1，
∵边AB、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，
∴PB＝PA，QA＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∴∠BAP+∠CAQ＝×（180°﹣∠PAQ）＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAQ+∠PAQ＝75°+30°＝105°，
如图2，∵边AB、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，
∴PB＝PA，QA＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∴∠BAP+∠CAQ＝×（180°+∠PAQ）＝（180°+30°）＝105°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAQ﹣∠PAQ＝105°﹣30°＝75°，
故答案为：75或105．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论思想，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
17．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，∠EBC+∠ABE＝180°，EF⊥AB于点F，交DE于点E，AF＝10，BC＝8，则AB＝ 12 ．
【分析】连接EC，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于H，根据角平分线的性质得到EF＝EH，证明Rt△BEF≌Rt△BEH，得到BF＝BH，证明Rt△AEF≌Rt△CEH，得到AF＝CH，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：如图，连接EC，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于H，
∵∠EBC+∠EBH＝180°，∠EBC+∠ABE＝180°，
∴∠EBH＝∠ABE，
∵EH⊥BH，EF⊥BA，
∴EF＝EH，
在Rt△BEF和Rt△BEH中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△BEH（HL），
∴BF＝BH，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
在Rt△AEF和Rt△CEH中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△CEH（HL），
∴AF＝CH，
∴AB﹣BF＝BC+BH，即10﹣BF＝6+BF，
解得：BF＝2，
∴AB＝10+2＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
18．（3分）如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝ 3cm ．
【分析】过A点作AF⊥CD于F，根据AAS证明△ABE与△ADF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：过A点作AF⊥CD于F，如图，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC于点E，
∴AE＝AF，EC＝CF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝13cm，CD＝7cm，
∴BC＝BE+EC＝BE+CF＝BE+CD+DF＝2BE+CD，
即13＝7+2BE，
解得：BE＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ABE与△ADF全等解答．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上，∠B＝2∠CDE，CE⊥DE，于点E，DE交AC于点F，若S△FCD＝4，则CE＝ 2 ．
【分析】过点D作DG∥AB交CE的延长线于G，交AC于H，先证△DEG和△DEC全等得GE＝CE，则CG＝2CE，再证△HDC为等腰直角三角形得CH＝DH，进而可证△CGH和△DFH全等得CG＝DF，则DF＝2CE，然后根据S△FCD＝4即可求出CE的长．
【解答】解：过点D作DG∥AB交CE的延长线于G，交AC于H，如图所示：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠B＝2∠CDE，
∴∠CDE＝22.5°，
∵DG∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝45°，
∴∠GDE＝∠CDE＝22.5°，
∵CE⊥DE，
∴∠GED＝∠CED＝90°，
在△DEG和△DEC中，
，
∴△DEG≌△DEC（ASA），
∴GE＝CE，
∴CG＝2CE，
在Rt△DEG中，∠GDE＝22.5°，则∠G＝67.5°，
在Rt△CGH中，∠G＝67.5°，则∠GCH＝22.5°，
∴∠GCH＝∠GDE＝22.5°，
∵DG∥AB，∠BAC＝90°，
∴∠DHC＝90°，
又∵∠ACB＝45°，
∴△HDC为等腰直角三角形，
∴CH＝DH，
在Rt△DFH中，∠GDE＝22.5°，则∠DFH＝67.5°，
∴∠G＝∠DFH＝67.5°，
在△CGH和△DFH中，
，
∴△CGH≌△DFH（ASA），
∴CG＝DF，
∴DF＝2CE，
∵S△FCD＝4，
∴DF CE＝4，
即×2CE CE＝4，
∴CE＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，BM⊥CF交CF延长线于点M，CN平分∠ACB交AD于点G，交AB于点N，连接DF，则下列结论：①∠ADC＝∠BDF；②AD＝CF+DF；③S△ACD＝3S△CDF；④∠AGN＝∠BFD；⑤AE﹣BM＝EM；⑥∠ADF＝2∠CAD．其中正确的有 ①②③④⑤⑥ ．（只填序号）
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，BM⊥CF交CF延长线于点M，CN平分∠ACB交AD于点G，交AB于点N，连接DF，则下列结论：①∠ADC＝∠BDF；②AD＝CF+DF；③S△ACD＝3S△CDF；④∠AGN＝∠BFD；⑤AE﹣BM＝EM；⑥∠ADF＝2∠CAD．其中正确的有
【解答】解：①过点B作BH⊥BC交CM的延长线于H，如图所示：
∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，BH⊥BC，
∴∠ACE+∠2＝90°，∠ACE+∠1＝90°，∠ACB＝∠CBH＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（ASA），
∴∠ADC＝∠H，AD＝CH，CD＝BH，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD＝BH，
∵∠CBH＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∴∠FBH＝∠FBD＝45°，
在△FBH和△FBD中，
，
∴△FBH≌△FBD（SAS），
∴∠H＝∠BDF，∠BFH＝∠BFD，FH＝DF，
∴∠ADC＝∠BDF，
故结论①正确；
②∵AD＝CH＝CF+FH，
又∵FH＝DF，
∴AD＝CF+DF，
故结论②正确；
③∵点D为BC的中点，
∴△CDF和△FBD等底同高，
∴S△CDF＝S△FBD，
又∵△FBH≌△FBD，
∴S△FBH＝S△FBD，
即S△CDF＝S△FBD＝S△FBH，
∴S△CBH＝3S△CDF，
∵△ACD≌△CBH，
∴S△ACD＝S△CBH＝3S△CDF，
故结论③正确；
④∵AC＝BC，CN平分∠ACB，
∴CN⊥AB，
∴∠GAN+∠AGN＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠GAN+∠AFE＝90°，
∴∠AGN＝∠AFE，
又∵∠AFE＝∠BFH＝∠BFD，
∴∠AGN＝∠BFD，
故结论④正确；
⑤∵CE⊥AD，BM⊥CF，
∴∠AEC＝∠CMB＝90°，
在△ACE和△CBM中，
，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴AE＝CM，CE＝BM，
∴AE﹣BM＝CM﹣CE＝EM，
故结论⑤正确；
⑥∵CE⊥AD，
∴∠2+∠ADC＝90°，
即2∠2+2∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADF+∠BDF＝180°，
由结论①正确得：∠ADC＝∠BDF，
∴2∠ADC+∠ADF＝180°，
∴2∠2＝∠ADF，
即∠ADF＝2∠2＝2∠1＝∠CAD，
故结论⑥正确．
综上所述：正确的结论是①②③④⑤⑥．
故答案为：①②③④⑤⑥．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题（满分60分）
21．（12分）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点在网格线交点上．
（1）作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标 （﹣2，﹣4） ；
（2）作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 （2，4） ；
（3）直接写出点A关于直线m（直线m上各点到x轴的距离都为1）的对称点的坐标 （﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣6） ．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，注意对称轴m有两条．
【解答】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1 （﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示，△A2B2C2，即为所求，A2 （2，4），
故答案为：（2，4）；
（3）如图所示，A'（﹣2，﹣2）或A''（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，∠AED＝155°，CE+CD＝BC．
（1）求证：△BFD≌△CDE；
（2）求∠EDF的度数．
【分析】（1）根据AAS可证明△BFD≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD+CD＝BC，CE+CD＝BC，
∴BD＝CE，
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠DFB＝∠EDC＝90°，
在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（AAS）；
（2）解：∵∠AED+∠CED＝180°，∠AED＝155°，
∴∠CED＝180°﹣∠AED＝25°，
∵△BFD≌△CDE，
∴∠BDF＝∠CED＝25°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDF+∠BDF＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣∠BDF＝65°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（8分）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，点D在直线AB上，连接CD，若△ACD为直角三角形，请用尺规或三角板画出符合条件的图形，并直接写出∠BCD的度数．
【分析】根据三角形内角和定理和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
如图所示：
∵∠ACD＝90°，∠A＝50°，
∴∠D＝40°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝60°﹣40°＝20°．
综上所述，∠BCD的度数是30°或20°．
【点评】此题考查直角三角形的性质和三角形内角和定理，关键是分两种情况利用三角形内角和定理解答．
24．（14分）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：
如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝3，AC＝5，求AD的取值范围．
“善思小组”通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE，可以证出△ADB≌△EDC，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与AD转化到△ACE中，进而求出AD的取值范围．
从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．
请你利用“善思小组”的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADB≌△EDC的理由是 D ；
A．SSS
B．AAS
C．HL
D．SAS
（2）求得AD的取值范围是 C ；
A.3＜AD＜5
B.3≤AD≤5
C.1＜AD＜4
D.1≤AD≤4
解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中．
根据上面解题方法的启发，请你解答问题．
（3）如图②，在△ABC中，AB＞AC，点D，E在BC上，点E是CD的中点，DF∥AB交AE于点F，DF＝AC．
求证：AE平分∠BAC．
【分析】（1）如图①中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，利用SAS证明△ADB≌△EDC；
（2）根据全等三角形的性质推出AB＝CE＝3，再根据AC﹣CE＜AE＜AC+CE，可得结论；
（3）如图②，延长AE至点G，使得AE＝EG，连接DG．利用SAS证明△DEG≌△CEA，根据全等三角形的性质得出GD＝AC，∠G＝∠CAE，则GD＝DF，根据等腰三角形的性质得出∠G＝∠DFG，根据平行线的性质得出∠BAE＝∠DFG，等量代换推出∠CAE＝∠BAE，根据角平分线的定义即可得解．
【解答】（1）解：如图①中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
故答案为：D；
（2）解：∵△ADB≌△EDC，AB＝3，
∴AB＝CE＝3，
∵AC＝5，
∴AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
（2）故答案为：C；
（3）证明：如图②，延长AE至点G，使得AE＝EG，连接DG．
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEG和△CEA中，
，
∴△DEG≌△CEA（SAS），
∴GD＝AC，∠G＝∠CAE，
∵DF＝AC，
∴GD＝DF，
∴∠G＝∠DFG，
∴∠CAE＝∠DFG，
∵DF∥AB，
∴∠BAE＝∠DFG，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴AE平分∠BAC．
【点评】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
25．（14分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方法，某数学兴趣小组拟做以下探究．
如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，点G在直线CE上，CG＝AB，点F在直线BD上，BF＝AC，FN⊥BC于点N，GM⊥BC于点M．探究线段BC，FN，GM之间的数量关系．
（1）如图①，当△ABC是锐角三角形时，线段BC，FN，GM之间的数量关系是 BC＝GM+FN ．
“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法：过点A作AP⊥BC于点P，利用全等三角形的性质进而得证．请你写出证明过程．
下面是小强的部分证明过程，仔细阅读并完成相应的任务．
证明：过点A作AP⊥BC于点P． ∴∠APB＝90°． ∴∠BAP+∠ABP＝90°． ∵CE⊥AB， ∴∠BCE+∠ABP＝90°． ∴∠BAP＝∠BCE． ∵GM⊥BC， ∴∠CMG＝90°． ∴∠APB＝∠CMG＝90°． 在△APB和△CMG中， ∵∠BAP＝∠GCM， ∠APB＝∠CMG，AB＝CG， ∴△APB≌△CMG（AAS）． ∴BP＝GM．
请你补全余下的证明过程．
（2）通过类比、转化、猜想，探究出：当△ABC是钝角三角形，且AB＞AC时，如图②线段BC，FN，GM之间的数量关系是 BC＝GM﹣FN ；当△ABC是钝角三角形，且AB＜AC时，如图③，线段BC，FN，GM之间的数量关系是 BC＝FN﹣GM ．
（3）“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后，提出下面问题请你解答：
在（1）和（2）的条件下，若MN＝2BC＝8，CD：AD＝1：3，则S△BCD＝ 3或6 ．
【分析】（1）过点A作AP⊥BC于点P．可证得△APB≌△CMG（AAS），得出BP＝GM．再证得△APC≌△BNF（AAS），得出CP＝FN．即可证得结论；
（2）过点A作AP⊥BC于点P．可证得△APB≌△CMG（AAS），得出BP＝GM．再证得△APC≌△BNF（AAS），得出CP＝FN．即可证得结论；
（3）在图③中，过点D作DH⊥BC于H，由CD：AD＝1：3，可得＝，再由△DCH∽△ACP，可得＝，DH＝AP＝3，故S△BCD＝BC DH＝×4×3＝6；在图②中，过点D作DH⊥BC于H，由CD：AD＝1：3，可得＝，再由△CDH∽△CAP，可得DH＝AP＝，故S△BCD＝BC DH＝×4×＝3．
【解答】解：（1）如图①结论：BC＝GM+FN；
证明：∵AP⊥BC，
∴∠APC＝90°．
∴∠PAC+∠ACP＝90°．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠NBF+∠ACP＝90°
∴∠NBF＝∠PAC．
在△APC和△BNF中，
，
∴△APC≌△BNF（AAS）．
∴CP＝FN．
∵BC＝BP+CP，
∴BC＝GM+FN．
（2）如图②结论：BC＝GM﹣FN；
证明：过点A作AP⊥BC于点P．
∴∠APB＝90°．
∴∠BAP+∠ABP＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABP＝90°．
∴∠BAP＝∠BCE．
∵GM⊥BC，
∴∠CMG＝90°．
∴∠APB＝∠CMG＝90°．
在△APB和△CMG中，
，
∴△APB≌△CMG（AAS）．
∴BP＝GM．
∵AP⊥BC，
∴∠APC＝90°．
∴∠PAC+∠ACP＝90°．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠NBF+∠ACP＝90°
∴∠NBF＝∠PAC．
在△APC和△BNF中，
，
∴△APC≌△BNF（AAS）．
∴CP＝FN．
∵BC＝BP﹣CP，
∴BC＝GM﹣FN．
如图③结论：BC＝FN﹣GM；
证明：过点A作AP⊥BC于点P．
∴∠APB＝90°．
∴∠BAP+∠ABP＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABP＝90°．
∴∠BAP＝∠BCE．
∵GM⊥BC，
∴∠CMG＝90°．
∴∠APB＝∠CMG＝90°．
在△APB和△CMG中，
，
∴△APB≌△CMG（AAS）．
∴BP＝GM．
∵AP⊥BC，
∴∠APC＝90°．
∴∠PAC+∠ACP＝90°．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°．
∴∠NBF+∠ACP＝90°
∴∠NBF＝∠PAC．
在△APC和△BNF中，
，
∴△APC≌△BNF（AAS）．
∴CP＝FN．
∵BC＝CP﹣BP，
∴BC＝FN﹣GM．
故答案为：BC＝GM﹣FN；BC＝FN﹣GM．
（3）在图③中，过点D作DH⊥BC于H，
由（2）知：△APB≌△CMG，△APC≌△BNF，
∴BP＝GM，AP＝CM，CP＝FN，AP＝BN．
∴AP＝CM＝BN，
∴CM﹣BC＝BN﹣BC，即BM＝CN，
∵MN＝2BC＝8，
∴BC＝4，BM＝CN＝2，
∴CM＝BN＝AP＝6，
∵∠DHC＝∠APC＝90°，∠DCH＝∠ACP，
∴△DCH∽△ACP，
∴＝，
∵CD：AD＝1：3，
∴＝，
∴DH＝AP＝3，
∴S△BCD＝BC DH＝×4×3＝6；
在图②中，过点D作DH⊥BC于H，
由（2）知：△APB≌△CMG，△APC≌△BNF，
∴BP＝GM，AP＝CM，CP＝FN，AP＝BN．
同理可得：MN＝2BC＝8，BC＝4，BM＝CN＝2，CM＝BN＝AP＝6，
∵CD：AD＝1：3，
∴＝，
∵∠CHD＝∠CPA＝90°，∠DCH＝∠ACP，
∴△CDH∽△CAP，
∴＝＝，
∴DH＝AP＝，
∴S△BCD＝BC DH＝×4×＝3；
综上所述，S△BCD＝3或6．
故答案为：3或6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形面积等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
