四川省绵阳市三台县部分学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
一.选择题：（3分×12＝36分）
1．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．90m B．100m C．150m D．190m
4．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
5．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）
A．34° B．56° C．62° D．68°
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
7．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
8．（3分）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
9．（3分）如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，1.5） B．（﹣4，1.5） C．（﹣3，2） D．（﹣4，2）
11．（3分）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④连接CO，则AO＝BO+CO．恒成立的结论有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．①②③④
二.填空题：（3分×6＝18分）
13．（3分）点A（3，2）与点B（x﹣4，6+y）关于y轴对称，则x+y＝ ．
14．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于 °．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠FDE＝α，则∠A＝ ．（用含α的式子表示）
17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．若∠DMC＝15°，BN＝1，则MN的长是 ．
18．（3分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动 秒时，△DEB与△BCA全等．
三、解答题：（共46分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．
20．（7分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
21．（7分）如图，点E是等边三角形ABC的高AD上一点，∠EBF＝60°，∠BCF＝30°，求证：△BEF是等边三角形．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
23．（8分）如图，AB∥CD，M是AD的中点，BM⊥CM，连接BC．
（1）求证：CM平分∠BCD；
（2）探究BC、CD、AB之间的数量关系．
24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．
参考答案与试题解析
一.选择题：（3分×12＝36分）
1．（3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
3．（3分）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离不可能是（ ）
A．90m B．100m C．150m D．190m
【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即10m＜AB＜190m．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）
A．34° B．56° C．62° D．68°
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，
∴∠BAE＝∠1＝56°，
∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，
∴∠AED＝∠B＝62°，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
7．（3分）如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD＝∠ADE，再根据∠DAE＝∠ADE＝15°得到∠DAE＝∠ADE＝∠BAD，求出∠DEG＝15°x2＝30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
【解答】解：如图所示，作DG⊥AC，垂足为G，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠ADE＝15°，
∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，
∴∠DEG＝∠DAE+∠ADE
＝15°+15°
＝30°，
∴ED＝AE＝8，
在Rt△DEG中，DG＝DE＝4，
∴DF＝DG＝4．
故选：D．
【点评】本题主考查了三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟练掌握性质．
8．（3分）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
9．（3分）如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，1.5） B．（﹣4，1.5） C．（﹣3，2） D．（﹣4，2）
【分析】先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD＝AO，AD＝BO，再根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA＝∠AOB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△ACD和△BAO中，
，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴CD＝AO，AD＝BO，
又∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），
∴CD＝AO＝2，AD＝BO＝1，
∴DO＝3，
又∵点C在第三象限，
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离．
11．（3分）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．
【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④连接CO，则AO＝BO+CO．恒成立的结论有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．①②③④
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，故①小题正确；根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；根据全等三角形的判定与性质来判断③；在AP上截取AH＝OC，连接BH，根据全等三角形的性质得到∠CAO＝∠CBO，根据全等三角形的性质得到BH＝BO，推出△BHO是等边三角形，得到OH＝OB，于是得到AO＝BO+CO．故④正确．
【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BPO＝∠APC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故③正确；
在AP上截取AH＝OC，
连接BH，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠CBO，
∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°，
∴∠CAO+∠CEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝60°＝∠ABC，
∵∠APB＝∠CPO，
∴∠BAH＝∠OCB，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCO（SAS），
∴BH＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△BHO是等边三角形，
∴OH＝OB，
∵AO＝AH+OH，
∴AO＝BO+CO．故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定的应用，需要多次证明三角形全等，仔细分析图形是解此题的关键．
二.填空题：（3分×6＝18分）
13．（3分）点A（3，2）与点B（x﹣4，6+y）关于y轴对称，则x+y＝ ﹣3 ．
【分析】关于y轴对称，y不变，x变号，根据这个知识，即可完成题目．
【解答】解：∵点A（3，2）与点B（x﹣4，6+y）关于y轴对称，
∴x﹣4＝﹣3，6+y＝2，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴x+y＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查了学生对点关于坐标轴对称问题认识：关于y轴对称，y不变，x变号，难度适中．
14．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 十二 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180° （n﹣2）＝360°×5，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于 20 °．
【分析】由折叠的性质可得∠C＝∠AED，由线段垂直平分线的性质可得∠B＝∠EDB，由外角的性质可得2∠B＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴∠C＝∠AED，
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴BE＝DE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠AED＝∠B+∠EDB＝2∠B＝∠C，
∴∠B+2∠B＝60°，
∴∠B＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查翻折变换，线段的垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠FDE＝α，则∠A＝ 180°﹣2α ．（用含α的式子表示）
【分析】利用SAS得到三角形BDF与三角形CED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于α的关系式，即可表示出∠A．
【解答】解：在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∴∠EDF＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B，
∵∠B＝（180﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠EDF＝α＝90°﹣∠A，
则∠A＝180°﹣2α．
故答案为：180°﹣2α
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．若∠DMC＝15°，BN＝1，则MN的长是 2 ．
【分析】连接CD，求出CD＝BD，∠CDM＝∠BDN，∠MCD＝∠DBN，证△DCM≌△DBN，求出CM＝BN＝1，∠MNC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，
∴∠CBA＝45°，CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DBN＝90°+45°＝135°，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，CD⊥AB，
∵DM⊥DN，
∴∠CDB＝∠MDN＝90°，
∴都减去∠BDM得：∠CDM＝∠BDN，
在△CDM和△DBN中，
，
∴△CDM≌△DBN（ASA），
∴DM＝DN，∠DMC＝∠DNB＝15°，CM＝BN＝1，
∵∠MDN＝90°，DN＝DM，
∴∠MND＝45°，
∴∠MNC＝30°，
∵∠ACB＝∠MCN＝90°，
∴MN＝2CM＝2BN＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
18．（3分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动 2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒，不合题意舍弃；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，关键是熟记判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题：（共46分）
19．（7分）如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，求出∠DAC度数，根据∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC可求∠EAD；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝×50°＝25°
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
20．（7分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度大约多少米？
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APB＝69°，
∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，
∴每层楼的高度＝＝3（米），
∴每层楼的高度大约为3米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（7分）如图，点E是等边三角形ABC的高AD上一点，∠EBF＝60°，∠BCF＝30°，求证：△BEF是等边三角形．
【分析】由∠EBF＝60°，∠ABC＝60°，得出∠ABE＝∠CBF，进而证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可．
【解答】证明：∵等边三角形ABC，∠EBF＝60°，
∴∠EBF＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠EBF﹣∠EBD＝∠ABC﹣∠EBD，
即∠ABE＝∠CBF，
∵点E是等边三角形ABC的高AD上一点，
∴∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（ASA）
∴BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定证明△ABE与△CBF全等．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；
（2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
23．（8分）如图，AB∥CD，M是AD的中点，BM⊥CM，连接BC．
（1）求证：CM平分∠BCD；
（2）探究BC、CD、AB之间的数量关系．
【分析】（1）延长BM交CD于点N，先证△ABM≌△DNM，再证△CBM≌△CNM，得到∠BCM＝∠NCM，所以CM平分∠BCD．
（2）BC＝CD﹣AB．由（1）△ABM≌△DNM，△CBM≌△CNM，即可得证．
【解答】（1）证明：延长BM交CD于点N，如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DNM中，
∴△ABM≌△DNM（AAS），
∴BM＝NM，
∵BM⊥CM，
∴∠CMB＝∠CMN＝90°，
又∵CM＝CM，
∴△CBM≌△CNM（SAS），
∴∠BCM＝∠NCM，即CM平分∠BCD．
（2）解：BC＝CD﹣AB，理由如下：
由（1）△ABM≌△DNM，△CBM≌△CNM，
∴AB＝DN，BC＝CN，
∴BC＝CN＝CD﹣DN＝CD﹣AB．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．
【分析】（1）利用等角的余角相等判断出∠ABD＝∠ACF，即可得出结论；
（2）先判断出BC＝CF，进而判断出CF＝2BD，即可得出结论；
（3）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出AH＝AG，即可得出AE是∠BEF的角平分线．
【解答】解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝CF＝BD；
（3）∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，作出辅助线是解本题的关键．
