2023-2024学年黑龙江省绥化市海伦九中八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n），则m+n＝ ．
2．（3分）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则腰长为 ．
3．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx）的乘积项中不含x2项，则m＝ ．
4．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m＝ ．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，则∠1+∠2＝ ．
6．（3分）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ．
7．（3分）若的值是 ．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3cm，AB＝12cm cm2．
9．（3分）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．
10．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
二、选择题（每小题3分，满30分）
11．（3分）以下文字出自南开中学的校训，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
13．（3分）已知3m＝5，9n＝10，则3m+2n等于（ ）
A．25 B．50 C．200 D．500
14．（3分）如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
15．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，OB＝OC
16．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b）（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7
17．（3分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2
18．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
19．（3分）如图，△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．140° B．110° C．100° D．70°
20．（3分）下列计算中正确的个数有（ ）
①a2 a2＝2a2；
②（a﹣b）2＝a2﹣b2；
③a2+a3＝a5；
④（﹣2a2b3）3＝﹣6a6b3；
⑤（﹣a3）2÷a＝a5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（满分60分）
21．（8分）因式分解：
（1）a﹣4a3；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
22．（8分）亮亮计算一道整式乘法的题（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，得到的结果为6x2﹣5x﹣25．
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
23．（6分）如图，已知△ABC．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
24．（8分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交AB于点E．若AE＝6，△CBD的周长为20
26．（8分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）根据（1）中的数量关系，解决问题：
已知x﹣y＝5，xy＝﹣6，求x+y的值．
27．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．
28．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；
（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1 ．
2023-2024学年黑龙江省绥化市海伦九中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）在直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n），则m+n＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+7＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
2．（3分）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则腰长为 8或12 ．
【分析】设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②18是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
【解答】解：设腰长为x，
①若12是腰长与腰长的一半的和，则x+，
解得x＝5，
此时，底边＝18﹣，
2、8、14能组成三角形；
②若18是腰长与腰长的一半的和，则x+，
解得x＝12，
此时，底边＝12﹣12÷2＝6，
12、12，
综上所述，该等腰三角形的腰长是7或12．
故答案为：8或12．
【点评】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
3．（3分）已知（x﹣2）（x2+mx）的乘积项中不含x2项，则m＝ 2 ．
【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件求解即可．
【解答】解：（x﹣2）（x2+mx）
＝x7+mx2﹣2x4﹣2mx
＝x3+（m﹣2）x2﹣2mx，
∵乘积项中不含x6项，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝8．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）关于x的二次三项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m＝ ±6 ．
【分析】完全平方的公式为（x±y）2＝x2±2xy+y2，据此求解即可．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+mx+9是一个完全平方式，
∴x4+mx+9＝x2±4×3x+35，
∴m＝±6．
故答案为：±6．
【点评】此题考查完全平方公式，解题关键是m的值有两个解．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，则∠1+∠2＝ 240° ．
【分析】根据三角形的内外角之间的关系可得∠1+∠2＝240°．
【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，∠D＝60°，
∴∠1＝∠D+∠DFE，
∠2＝∠D+∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE+∠D＝180°，
∴∠4+∠2＝∠DEF+∠DFE+∠D+∠D＝180°+60°＝240°．
故答案为：240°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角和等于180°的知识点．
6．（3分）如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360° ．
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B＝∠1，∠E+∠F＝∠2，∠C+∠D＝∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．
【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1＝∠A+∠B，
∵∠7是△EFH的外角，
∴∠2＝∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠2＝∠C+∠D，
∵∠1、∠3，
∴∠4+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
7．（3分）若的值是 11 ．
【分析】把x﹣＝3利用完全平方公式两边平方展开，整理即可得解．
【解答】解：∵x﹣＝3，
∴（x﹣）2＝9，
即x5﹣2+＝9，
解得x2+＝9+8＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3cm，AB＝12cm 18 cm2．
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得CD＝DE，问题随之得解．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，如图，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm，
∵AB＝12cm，
∴，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，求得CD＝DE，是解答本题的关键．
9．（3分）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴2﹣2＜x＜3+8，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x＝3，
∴这个三角形的周长为2+3+5＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
10．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 2或3 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则 BP＝2t，
∵∠B＝∠C，
∴当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，
此时，4＝8﹣2t，
解得 t＝5，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点 Q 的运动速度为 （厘米/秒），
当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，
此时，3t＝8﹣2t，
解得t＝7，
∴点Q的运动速度为6÷2＝6 （厘米/秒），
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、选择题（每小题3分，满30分）
11．（3分）以下文字出自南开中学的校训，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A．“日”是轴对称图形；
B．“新”不是轴对称图形；
C．“月”不是轴对称图形；
D．“异”不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键．
12．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13．（3分）已知3m＝5，9n＝10，则3m+2n等于（ ）
A．25 B．50 C．200 D．500
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当3m＝5，2n＝10时，
3m+2n
＝3m×32n
＝2m×9n
＝5×10
＝50．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
15．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，OB＝OC
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等，所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．
【解答】解：根据题意知，BC边为公共边，
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，
故本选项不符合题意；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，
故本选项不符合题意；
C、由BO＝CO，
然后根据“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，
故本选项不符合题意；
D、由BO＝CO，
则由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，
故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b）（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，5，3 B．3，7，2 C．2，3，7 D．2，5，7
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．
【解答】解：长方形的面积为（a+3b）（2a+b）＝5a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b8，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张．
故选：C．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型．
17．（3分）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（ ）
A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2
【分析】用扩大后的面积减去原来的面积，即可求出答案．
【解答】解：（a+2）2﹣a6＝a2+4a+6﹣a2＝4a+7，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，注意完全平方公式的使用．
18．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得∠2＝45°，∠4＝30°，再根据角的和差可得∠3＝45°，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠8＝45°，
∴∠1＝∠3+∠5＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
19．（3分）如图，△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．140° B．110° C．100° D．70°
【分析】由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP＝BP，AQ＝CQ，又由等边对等角的性质可得：∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后由∠PAQ＝40°与三角形的内角和定理，求得∠BAP+∠CAQ的度数，则可求得答案．
【解答】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C+∠BAP+∠CAQ＝2（∠BAP+∠CAQ）＝180°﹣∠PAQ＝140°，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠CAQ＝110°．
故选：B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．熟练运用这些性质解决问题是本题关键．
20．（3分）下列计算中正确的个数有（ ）
①a2 a2＝2a2；
②（a﹣b）2＝a2﹣b2；
③a2+a3＝a5；
④（﹣2a2b3）3＝﹣6a6b3；
⑤（﹣a3）2÷a＝a5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别按照同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方及单项式除以单项式来验证即可．
【解答】解：①a2 a5＝a4，故①错误；
②（a﹣b）2＝a3﹣2ab+b2，故②错误；
③a6与a3不是同类项，不能合并；
④（﹣2a6b3）3＝﹣6a6b9，故④错误；
⑤（﹣a7）2÷a＝a6÷a＝a6，⑤正确．
综上，正确的只有⑤．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的各种运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
三、解答题（满分60分）
21．（8分）因式分解：
（1）a﹣4a3；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
【分析】（1）先提取公因式a，再用平方差公式分解；
（2）先提取公因式3，再用完全平方公式分解．
【解答】解：（1）原式＝a（1﹣4a3）
＝a（1+2a）（2﹣2a）；
（2）原式＝3（x5﹣2xy+y2）
＝3（x﹣y）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
22．（8分）亮亮计算一道整式乘法的题（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，得到的结果为6x2﹣5x﹣25．
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【分析】（1）根据题意可得（3x+m）（2x﹣5），应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得6x2﹣（15﹣2m）x﹣5m，由已知常数项相等可得﹣5m＝﹣25，计算即可得出答案；
（2）由（1）可知m的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
（3x+m）（2x﹣5）
＝6x2﹣15x+2mx﹣5m
＝6x4﹣（15﹣2m）x﹣5m，
即﹣3m＝﹣25，
解得m＝5；
（2）（3x﹣2）（2x﹣5）
＝8x2﹣15x﹣10x+25
＝6x4﹣25x+25．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
23．（6分）如图，已知△ABC．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积为4×4﹣×4×5﹣×4×2＝5，
答：△ABC的面积为5．
【点评】此题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关键．
24．（8分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝5（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝4cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交AB于点E．若AE＝6，△CBD的周长为20
【分析】根据AE＝6，AB＝AC，得出CD+AD＝12，由△CBD的周长为20，代入即可求出答案．
【解答】解：∵AE＝6，AB＝AC，交AB于点E，
∴AC＝AB＝2AE＝12，AD＝BD，
∵△CBD的周长为20，AC＝CD+BD，
∴BC＝20﹣（CD+BD）＝20﹣（CD+AD）＝20﹣AC＝20﹣12＝6，
∴△ABC的周长为12+12+8＝32．
【点评】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
26．（8分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）根据（1）中的数量关系，解决问题：
已知x﹣y＝5，xy＝﹣6，求x+y的值．
【分析】（1）观察第二个图形得到：大正方形的边长是m+n，中间小正方形的边长是m﹣n，长方形的长为m，宽为n，再利用大正方形的面积等于四个长方形面积+小正方形的面积，用字母表示出来三个式子的关系．
（2）根据（1）的数量关系，写出x、y之间的关系式，求出数值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝（m﹣n）2+6mn，
（2）由（1）得到：（x+y）2＝（x﹣y）2+5xy，
把x﹣y＝5，xy＝﹣6代入，
（x+y）7＝52+7×（﹣6）
（x+y）2＝8
x+y＝±1．
【点评】本题考查了用代数式表示完全平方公式的推理过程，关键用字母表示出图形的面积来进行求值．
27．（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．
【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：结论：AB+AC＝2AE．
理由：∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF＝BE，
∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∵AE＝AF，
∵AC＝AF+CF＝AE+BE＝AE+AE﹣AB＝2AE﹣AB．
即：AB+AC＝3AE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
28．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN；
（2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1 1.5 ．
【分析】（1）利用互余关系证∠MAC＝∠NCB，再证△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出结论；
（2）类似于（1）可证△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB．
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM＝CN，MC＝NB．
∵MN＝NC+CM，
∴MN＝AM+BN．
（2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝8.1，
∴MN＝CN﹣CM＝2.8﹣1.1＝7.5，
故答案为：1.3．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
