2023~2024上学年期中阶段评估卷
九年级数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，“雪花”图案可以呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到，这个角的度数可以是（ ）
A．30° B．120° C．150° D．90°
3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=41°，则∠AOB的度数为（ ）
A．41° B．20.5° C．82° D．123°
4．将二次函数的图象先向右平移5个单位长度再向上平移4个单位长度所得图象的解析式是
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积200公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至300公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率x，为根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在一个圆柱体容器内装入一些水，水面AB在圆心O下方，且AB=24cm，水的最大深度是8cm，则图中截面圆的半径为（ ）
A．8cm B．10cm C．13cm D．15cm
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，△ABC绕点C旋转到的位置，顶点在斜边AB上，则（ ）
A．25° B．30° C．60° D．条件不够无法求解
9．山西刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h=0.8m，与锅的水平距离L=0.5m，锅的半径R=0.5m．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线，要使其落入锅中（铝的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（ ）
（提示：，，水平移动距离）
A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
10．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x=1，有以下结论：①abc>0；②；③2a+b=0；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若是一元二次方程的一个根，则m的值为______．
12．若，是关于x的方程的两个根，则______．
13．如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB=4，∠ACD=30°，则AD=______．
14．已知二次函数的图象上有两点，，则______．（用“>”、“<”或“=”填空）
15．如图，第一段抛物线，记为，它与x轴交于点O，；将统点旋转180°得第二段抛物线，交x轴于点；将绕点旋转180°得第三段抛物线，交x轴于点……如此进行下去，直至得第十二段抛物线，若P（34，m）在上，则m=______．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
解方程：（1）．
（2）．
17．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（3，0），C（0，2）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的，并写出点的坐标．
（2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的．
18．（本题9分）国庆节期间，学校组织学生前往狮脑山百团大战纪念馆进行研学活动．学校物资队在美好超市采购矿泉水，超市每瓶矿泉水售价两元，每天可售出100瓶．据测算，若每瓶矿泉水每降价0.1元，则每天可多售出20瓶．物资队花300元买矿泉水，超市为尽快减少库存，每瓶水应降价多少元？
19．（本题9分）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落人篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
20．（本题8分）如图，⊙O的直径AC长为10，弦AD为长6．
（1）求DC的长．
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于点B，求AB，BC的长．
21．（本题7分）阅读与思考
在数学中我们规定若m=（a，b），n=（c，d），则m※n=ac+bd．例如：m=（1，2），n=（3，5）则m※n=1×3+2×5=13．
（1）已知m=（2，4），n=（2，-3），求m※n．
（2）已知m=（x-a，1），n=（x-a，x+1），y=m※n，问y=m※n的函数图象与一次函数y=x-1的图象是否有交点？请说明理由．
22．（本题12分）综合与实践
（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．
①证明：△ACF≌△BCD．
②证明：DE=EF．
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板中的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），在三角板另一直角边上取一点H，使CH=CF，在线段AB上取点G，使∠FCG=45°，连接AH，HG，请直接写出线段AG，GF，FB之间的数量关系．
23．（本题13分）综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是（-2，0），点C的坐标是（0，2），M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式
（2）P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为（m，0），△PCD的面积为S．
①求△PCD的面积S的最大值
②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
山西省2023~2024上学年期中阶段评估卷
九年级数学参考答案
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．D 10．D
11．1 12．-1 13．2 14．> 15．-2
16．解：（1），1分
，3分
解得，．5分
（2）∵a=2，b=1，c=-3，1分
∴，2分
∴，4分
∴，，5分
17．解：（1）如图，即为所求．3分
．4分
（2）如图，即为所求．7分
18．解：设每瓶水应降价x元．1分
由题意可得，3分
化简为，5分
解得，．7分
∵要尽快减少库存，
∴x=1．8分
答：每瓶水应降价1元．9分
19．解：设抛物线的解析式为．1分
将点A（1.5，3.05），B（0，3.5）代入，
得，3分
解得，5分
∴该抛物线的解析式为．6分
当时，．8分
答：篮球在该运动员出手时的高度为2.25m．9分
20．解：（1）∵AC是直径，∴∠ADC=90°．1分
在Rt△ADC中，．3分
（2）∵AC是直径，
∴∠ABC=90°．4分
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB．
∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC．6分
在Rt△ABC中，，
∴．8分
21．解：（1）∵m=（2，4），n=（2，-3），
∴m※n=2×2+4X（-3）=-8．2分
（2）∵m=（x-a，1），n=（x-a，x+1），
∴y=m※n．4分
令，
化简为．5分
∵，6分
∴方程无实数根，
∴两函数图象无交点．7分
22．解：（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=∠ACB=60．1分
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD．2分
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD（SAS），5分
②证明：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°-30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE．6分
在△DCE和△FCE中，
∴△DCE≌△FCE（SAS）．8分
∴DE=EF．9分
（2）．12分
23．解：（1）点B（-2，0），C（0，2）在抛物线上，
∴
解得，
∴抛物线的解析式．3分
（2）①∵M是抛物线的顶点，
∴．4分
设直线BM的解析式为，
可得
解得，，
∴直线BM的解析式为．6分
设，7分
，
当时，S的最大值为．
②存在足条件的点P的坐标为或，3分
提示：①如图1，当∠CPD=90°时，，
根据题意可得D（m，0），C（0，2），P（m，2）．
∵点P在的家上，，解得，
∴．
②如图2，当∠PCD=90°时，，
过点C作CE⊥DP于点E
根据题意可得D（m，0），C（0，2），，E（m，2），
在Rt△CEP中，，．
∵，
∴．
在Rt△CED中，，．
∵，
∴．
在Rt△PCD中，．
∵，
∴，
化简为，
解得，．
∵点P在第二象限，∴，
∴．
综上所述，，．
