2023-2024学年山东省青岛市市南区八年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24
4．如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
7．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边长为 ．
10．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ．
11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝ ．
12．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝ ．
13．如图，在桌面上的长方体ABCD﹣EFGH中，长AB为8米，宽BC为6米，高BF为4米，点M在棱HG上，且HM＝3MG．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬到M点，则它爬行的最短路程为 米．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 ．
三．解答题（共9小题，满分78分）
15．（16分）计算
（1）××；
（2）×
（3）（）
（4）﹣14﹣．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
17．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
18．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
19．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出：y甲，y乙与x的函数关系式．
（2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？
20．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城之间距离是多少？
（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（3）乙车出发多长时间追上甲车？
（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？
21．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：＝
特例4： ．（填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：×＝ ．
22．
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
四．附加题（共2小题，满分0分）
24．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
25．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
【分析】根据勾股数的定义判断即可．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
解：A、∵62+82≠122，
∴6，8，812不是一组勾股数，不符合题意；
B、∵0.6，0.8不是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，不符合题意；
C、∵82+152＝172≠162，
∴8，15，17不是一组勾股数，不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴9，12，15是一组勾股数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵52+122＝132，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2＝（b+c）（b﹣c），即a2＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24
【分析】根据勾股定理解答即可．
解：根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
4．如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．
解：由勾股定理，得
斜线的为＝，
由圆的性质得：点A表示的数为﹣1+，即﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
解：A．4﹣3＝，故此选项不合题意；
B．+无法计算，故此选项不合题意；
C．＝2，故此选项符合题意；
D．3+2无法计算，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
【分析】根据x轴上的点纵坐标为零可得a+1＝0，再解即可．
解：∵点P（a﹣2，a+1）在x轴上，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．
7．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可．
解：由图象可知A村、B村相离10km，
故①正确，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，
当2h时，甲到达C村，
故②正确；
v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10，
解得：v甲﹣v乙＝8，
故甲的速度比乙的速度快8km/h，
故③正确；
当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6），
设一次函数的解析式为s＝kt+b，
代入得：，
解得：，
∴s＝8t﹣10
当s＝4时，得4＝8t﹣10，
解得t＝1.75h
由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min），
同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b
将点（2，6）（2.5，0）代入得：
，
解得：，
∴s＝﹣12t+30
当s＝4时，得4＝﹣12t+30，
解得t＝，
由﹣1.25＝h＝55min
故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km，
故④正确．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
8．若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．已知直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边长为 5cm或cm ．
【分析】设第三边为xcm，再根据5cm是直角边和斜边两种情况进行讨论即可．
解：设第三边为xcm，
当4cm是直角边时，则第三边x是斜边，由勾股定理得，32+42＝x2，解得：x＝5；
若4cm是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，32+x2＝42，解得x＝，
故答案为：5cm或cm．
【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此类问题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
10．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ．
【分析】本题先求出16的算术平方根式4，再求出4的算术平方根式2，最后求出2的算术平方根是，即可求出y的值．
解：∵16的算术平方根式4，4是有理数，
又∵4的算术平方根式2，2是有理数，
∴还需求2的算术平方根是，
∵是无理数，
∴y的值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换．
11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝ 2b ．
【分析】根据实数a、b在数轴上的位置确定a与b之间的大小关系，再去绝对值符号即可．
解：根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a＜0＜b，|a|＞|b|
∴b﹣a＞0，a+b＜0．
∴|b﹣a|﹣|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b，
故答案为：2b．
【点评】本题考查数轴，绝对值的性质，整式的加减，熟练掌握这些知识点是解题关键．
12．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝ 3 ．
【分析】根据一次函数的定义得出m+3≠0且m2﹣8＝1，求出不等式的解即可．
解：∵y＝（m+3）x+3是一次函数，
∴m+3≠0且m2﹣8＝1，
解得：m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出关于m的不等式是解此题的关键．
13．如图，在桌面上的长方体ABCD﹣EFGH中，长AB为8米，宽BC为6米，高BF为4米，点M在棱HG上，且HM＝3MG．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬到M点，则它爬行的最短路程为 2 米．
【分析】画出图形，利用勾股定理求出AM的长即可．
解：如图1，AM＝＝＝2（米），
如图2，
AM＝＝2（米）
故它爬行的最短路程是2米．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，画出图形是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 217 ．
【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．
解：∵OA1＝1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，B1A2＝，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3＝2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（29，29）．
∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．
故答案为217．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共9小题，满分78分）
15．（16分）计算
（1）××；
（2）×
（3）（）
（4）﹣14﹣．
【分析】（1）利用根号外乘除，根号内乘除进行计算即可；
（2）先算乘法，后算减法即可；
（3）用括号里的每一项分别除以，再化简合并即可；
（4）先算乘除，后化简合并同类二次根式即可．
解：（1）原式＝（1×1÷3×）＝×＝；
（2）原式＝﹣＝6﹣7＝﹣1；
（3）原式＝﹣＝2﹣＝；
（4）原式＝﹣2+2＝﹣2+2＝2﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的乘除和加减计算法则．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 4 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 （﹣4，3） ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣＝4；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）；
故答案为：（﹣4，3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，
∴BP＝2，
∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，
故P点坐标为：（4，0）或（0，0）．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
17．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，可以先求出BC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC＝＝＝2，
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴AC2+BC2＝42+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×4×2﹣×4×2＝4﹣4．
故图中阴影部分的面积为4﹣4．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出BC的长．
18．已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
解：（1）∵43＝64，
∴6a+34＝64，
∴a＝5；
∵52＝25，
∴5a+b﹣2＝25，
又∵a＝5，
∴b＝2；
∵32＝9，
∴c＝3；
（2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得：
3×5﹣2+3＝16，
∵（±4）2＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是：±4．
【点评】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数x的平方是a，x叫做a的平方根；算术平方根：一个非负数x的平方是a，x叫做a的算术平方根；立方根：一个数x的立方是a，x叫做a的立方根，是解题的关键．
19．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出：y甲，y乙与x的函数关系式．
（2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？
【分析】（1）根据题意和两种优惠政策分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）得出的关系式，再把30代入求出两家花的钱数，然后进行比较即可得出答案．
解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝400+20（x﹣8）＝20x+240，
在乙店购买需付款：y乙＝0.8（20x+4×100）＝16x+320；
（2）当x＝30时，y甲＝20x+240＝20×30+240＝840（元），
当x＝30时，y乙＝16x+320＝16×30+320＝800（元），
∵840＞800，
∴选乙家比较合算．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠条件，能用代数式表示甲店的费用和乙店的费用．
20．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．
（1）A，B两城之间距离是多少？
（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（3）乙车出发多长时间追上甲车？
（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距40km？
【分析】（1）根据图象即可得出结论；
（2）根据图象求甲、车两车速度；
（3）由题意列方程解决问题；
（4）分两车相遇前和相遇后以及乙到达B城三种情况进行讨论即可．
解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300千米；
（2）由图象可知，甲的速度＝＝60（千米/小时），
乙的速度＝＝100（千米/小时），
∴甲、乙两车的速度分别是60千米/小时和100千米/小时；
（3）设乙车出发x小时追上甲车，
由题意：60（x+1）＝100x，
解得：x＝1.5，
∴乙车出发1.5小时追上甲车；
（4）设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40千米时甲车行驶了m小时，
①当甲车在乙车前时，
得：60m﹣100（m﹣1）＝40，
解得：m＝1.5，
此时是上午6：30；
②当甲车在乙车后面时，
100（m﹣1）﹣60m＝40，
解得：m＝3.5，
此时是上午8：30；
③当乙车到达B城后，
300﹣60m＝40，
解得：m＝，
此时是上午9：20．
∴分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40千米．
【点评】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程，属于中考常考题型．
21．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：＝
特例4： ．（填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：×＝ 2023． ．
【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证；
（4）利用（2）中的规律进行求解即可．
解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）∵例1：
特例2：
特例3：＝
..．
∴用含n的式子表示为：，
故答案为：；
（3）等式左边＝＝＝（n+1）＝右边，
故猜想成立；
（4）×
＝2023×
＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
22．
（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程；
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．
（2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；
（3）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
（cm）．
（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm＞AG＝cm，
所以最短路程为cm；
（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣x+4过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【分析】（1）先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
（2）设点P坐标为（p，p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△APC的面积，根据S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；
（3）根据S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，可知点P在直线y＝上运动，作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，则BP+CP的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
解：（1）∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
（2）设点P坐标为（p，p+4），
令＝0，得x＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴＝＝10，
∵点P在线段AB上，
∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC＝，
∵S△APC＝S△AOB，
∴＝10，
解得p＝，
∴点P坐标为（，）；
（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴点P与点A纵坐标相同，
∴×8Py＝10，
解得Py＝，
作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，
则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为（﹣5，0），
∴点B′坐标为（﹣5，5），
∴CB′＝＝，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴÷1＝（s），
∴t的最小值为．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，熟练三角形求面积的方法是解题的关键．
四．附加题（共2小题，满分0分）
24．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
25．在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
【分析】（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可得AC的长，确定OC的长，可得结论；
（3）分四种情况：①如图1，当AB＝AC时，②如图2，AB＝AC＝5，③如图3，AB＝BC，④如图4，AC＝BC，利用待定系数法可得结论．
解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），
∴，解得：，
∴直线n的函数表达式为：y＝x﹣2；
（2）∵△ABC的面积为9，
∴9＝ AC 3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，
∴C（0，4）或（0，﹣8）；
（3）分四种情况：
①如图1，当AB＝AC时，
∵A（0，﹣2），B（3，2），
∴AB＝＝5，
∴AC＝5，
∵OA＝2，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
设直线l的解析式为：y＝mx+n，
把B（3，2）和C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线l的函数表达式为：y＝﹣x+3；
②如图2，AB＝AC＝5，
∴C（0，﹣7），
同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；
③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
同理可得直线l的解析式为：y＝﹣x+6；
④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，
设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，
∴32+（4﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴OC＝﹣2＝，
∴C（0，），
同理可得直线l的解析式为：y＝x+；
综上，直线l的解析式为：y＝﹣x+3或y＝3x﹣7或y＝﹣x+6或y＝x+．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次方程的解法，三角形面积，等腰三角形，考查了分类讨论思想的运用，第（3）题要注意分类讨论的目的性，通过数形结合找等量关系．
