勾股定理专项训练
专题1 三角形中利用面积求高
1．一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为( )
A．13 B. C. D.
2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )
A. B.
C. D.
专题2 结合乘法公式巧求面积或周长
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
2．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( )
A．7cm B．10cm C．(5＋)cm D．12cm
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
专题3巧妙割补求面积
1．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
2．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求四边形ABCD的面积．
3.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
4.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，求阴影部分的面积.
专题4“勾股树”及其拓展类型求面积
1．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．21 C．47 D．196
第1题图 第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1＋S4＝100，S3＝36，则S2的值为( )
A．136 B．64 C．50 D．8
3.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．
专题5分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为( )
A．13 B．5 C．13或5 D．4
2．已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为( )
A．24 B．14＋2
C．24或14＋2 D．以上都不对
二、高的位置(在三角形内部或外部)不明需分类讨论
3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为( )
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC的长为__________．
专题6方程思想
一、利用“连环勾”列方程
1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D.若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
二、折叠问题中结合勾股定理列方程
2.如图，把长方形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．
3.如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积是多少？
4.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。
5.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
三、实际问题中结合勾股定理列方程
6．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，那么这根芦苇的长度是( )
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
7.在平静的湖面上有棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离是6分米，求这里的水深是多少？
8.在6米高的柱子顶端有只老鹰，看到一条蛇从距离柱子底端18米处的地方向柱子的底端的蛇洞游来，老鹰立即扑下.若它们的速度相等，问老鹰在离蛇洞多远处能抓住蛇（假设老鹰按直线飞行）.
9．如图，在一棵树CD的10米高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20米处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D沿直线跃入池塘A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？
专题7. 利用转化思想求最值
1．如图，一个圆柱形杯子高18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.
2．如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行了7km到达点C，此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
3.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
专题8 证明过程中的勾股定理
1.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
第1题 第2题
2.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入（填“能”或“不能”）．
3.如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了______米．
第3题 第4题
4.在一个广场上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了______米．
5.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______．
第5题 第6题
6.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm．
7.如图4所示，AB是一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐桃子，一只猴子从D往上爬到树顶A，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处下滑到B，又沿B跑到C，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB.
8.如图5所示，在△中，是边上的高；在△中，是边上的高，.△的面积是35，求∠的度数.
9.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC= 4，BC= 3，BD= 1.8，问△ABC是直角三角形吗？写出证明过程
10.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
11.如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积是多少？
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
基础练习
一、选择题
1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ）
A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米
2.如图所示，有一块三角形土地，其中∠C＝90°，AB＝39米，BC＝36米，则其面积是（ ）
A.270米2 B.280米2 C.290米2 D.300米
第2题 第7题 第8题
3.有一个长为40cm，宽为30cm的长方形洞口，环卫工人想用一个圆盖盖住此洞口，那么圆盖的直径至少是 ）
A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm
4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ）
A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3
C.三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25
5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ）
A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40
6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.10
7．如图，一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（ ）
A．米 B．2米 C．10米 D．米
8.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
9.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1mB．大于1m C．等于1mD．小于或等于1m
第9题 第10题
10.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里 B．30海里C．40海里 D．50海里
11.如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）
A．2 B．4 C．5 D．6
第11题 第12题
12.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）米．
A．5 B．7 C．8 D．12
13.小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（ ）
A．1m B．2m C．3m D． m
第13题 第22题
14.下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2．
15.Rt△ABC的三条边长分别是、、，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B.
C. D.
16.如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（ ）
A、2k B、k+1 C、k2－1 D、k2+1
17.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
18.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
19.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
20.若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（ ）
A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对
21.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足则三角形的形状是（ ）
A.底与边不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
二、填空题
22.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米，其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长是____米.
23.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞_____米.
24.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍.
25.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长是______，面积是_____.
26．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是 ．
27.等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.
28.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为
29.一个三角形三边之比是，则按角分类它
是 三角形．
30. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿.
31.在Rt△ABC中，斜边AB=4，则AB2＋BC2＋AC2=_____．
32.如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
33．若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．
34． 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 ．
三、解答题
35．如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
36.有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
37.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？
38.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
39.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
40.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？
A
D
B
C
·
图4
A
B
C
D
E
A
B
C
A
C
B
