浙江省宁波市北仑区精准联盟2023-2024学年八年级上学期期中质量数学调研卷
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若长度分别为a，4，8的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．14
3．（3分）若m＞n，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2 B．﹣n C．m﹣n＞0 D．1﹣2m＞1﹣2n
4．（3分）不等式3x﹣5＜3+x的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果a+b＜0，那么ab＜0
B．内错角相等
C．三角形的内角和等于180°
D．相等的角是对顶角
6．（3分）以下哪种不是判断两个三角形全等的依据（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，AB＝8，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
8．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，已知∠BAC＝72°，且∠BAC＝2∠B，那么∠EAC＝（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
10．（3分）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，则下列结论：
①△AED≌△AEF
②△AED为等腰三角形
③BE+DC＞DE
④BE2+DC2＝DE2，
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）要说明命题“若ab＝0，则a+b＝0”是假命题，可举反例 ．
12．（4分）若关于x的不等式（2﹣a）x＞3可化为x＜，则a的取值范围是 ．
13．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形周长为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，且PD∥AB，PE∥AC cm．
15．（4分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，∠B＝75°，∠FAE＝18° 度．
16．（4分）如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝4 ．
三、解答题（本大题有8小题，共66分。）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）
19．（6分）如图，在△ABC中，E点为AC的中点，DC＝3，BC＝．求DE的长．
20．（8分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：OB＝OC．
21．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝8，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，求DE的长．
22．（8分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
23．（12分）（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为50°的等腰三角形，点B，D，BC，DE分别是底边
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高
①求∠AEB的度数；
②证明：AE＝BE+2CM．
24．（12分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，△ABD与△ABC是共边直角三角形，求CD的长．
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD
2023-2024学年浙江省宁波市北仑区精准联盟八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）若长度分别为a，4，8的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．14
【分析】根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可．
【解答】解：由三角形三边关系可得：8﹣4＜a＜6+4，
即4＜a＜12，
3符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
3．（3分）若m＞n，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2 B．﹣n C．m﹣n＞0 D．1﹣2m＞1﹣2n
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵m＞n，
∴，故本选项不符合题意；
C．∵m＞n，
∴m﹣n＞0，故本选项符合题意；
D．∵m＞n，
∴﹣1.7m＜﹣1.2n，
∴4﹣2m＜1﹣6n，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
4．（3分）不等式3x﹣5＜3+x的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解．
【解答】解：解不等式3x﹣5＜3+x的解集为x＜4，
所以其正整数解是1，4，3，共3个．
故选：C．
【点评】解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果a+b＜0，那么ab＜0
B．内错角相等
C．三角形的内角和等于180°
D．相等的角是对顶角
【分析】根据有理数的加法法则、乘法法则，平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、当a＝﹣1，a+b＝﹣3＜5，
则如果a+b＜0，那么ab＜0；
B、两直线平行，本选项说法是假命题；
C、三角形的内角和等于180°；
D、相等的角不一定是对顶角；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）以下哪种不是判断两个三角形全等的依据（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：判断两个三角形全等的依据有：SAS，ASA，SSS，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，使AE＝AD．再分别以点D、E为圆心，大于，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，AB＝8，则△ABG的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
【分析】根据角平分线的性质得到GM＝CG＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作GM⊥AB于M，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GM⊥AB，
∴GM＝CG＝4，
∴△ABG的面积＝×AB×GM＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，三角形的面积，角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）．
9．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，已知∠BAC＝72°，且∠BAC＝2∠B，那么∠EAC＝（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
【分析】由AD平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠CAD的度数，由∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，可求出∠DAE的度数，再结合∠EAC＝∠CAD﹣∠DAE，即可求出结论．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝．
∵∠BAC＝2∠B，∠B＝4∠DAE，
∴∠DAE＝∠B＝×72°＝18°，
∴∠EAC＝∠CAD﹣∠DAE＝36°﹣18°＝18°．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出∠CAD及∠DAE的度数是解题的关键．
10．（3分）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，则下列结论：
①△AED≌△AEF
②△AED为等腰三角形
③BE+DC＞DE
④BE2+DC2＝DE2，
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS得△AED≌△AEF，证明△ABF≌△ACD，得出BF＝CD；由△AED≌△AEF，得到DE＝EF；证明∠EBF＝90°，即可解决问题．
【解答】解：∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝45°＝∠DAE，
在△AED与△AEF中，AE＝AE，AD＝AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
没有条件能证出△AED为等腰三角形，②错误；
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAC；
在△ABF与△ACD中，AB＝AC，AF＝AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF＝CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE＝EF；
∵BE+BF＞EF，而BF＝CD，
∴BE+DC＞DE，③正确；
∵∠EBF＝90°，
∴BE2+BF2＝EF4，
即BE2+DC2＝DE8，④正确；
综上所述：①③④3个均正确，
故选：B．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）要说明命题“若ab＝0，则a+b＝0”是假命题，可举反例 如a＝0，b＝1，则ab＝0，但a+b＝1≠0 ．
【分析】可先假设命题为真命题，再举出反例，推翻假设，进而得出结论．
【解答】解：假设其为真命题，即ab＝0；
当a＝0，b＝5时，但a+b＝1≠0，
所以假设不成立，所以命题为假命题．
【点评】能够运用反证法证明一些命题的真假．
12．（4分）若关于x的不等式（2﹣a）x＞3可化为x＜，则a的取值范围是 a＞2 ．
【分析】根据不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：若关于x的不等式（2﹣a）x＞3可化为x＜，则2﹣a＜7，
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个负数，不等号的方向改变．
13．（4分）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形周长为 20 ．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是8，底边长4，把三条边的长度加起来就是它的周长．
【解答】解：因为4+4＝8，
所以4作为腰不成立，
所以等腰三角形的腰的长度是8，底边长5，
周长：8+8+3＝20，
答：它的周长是20，
故答案为：20．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，且PD∥AB，PE∥AC 8 cm．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
15．（4分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，∠B＝75°，∠FAE＝18° 23 度．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠FAE＝18°，
∴∠FAC＝∠EAC+18°＝∠C+18°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+18°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴75°+∠C+18°+∠C+18°+∠C＝180°，
解得：∠C＝23°．
故答案为：23．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（4分）如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝4 2 ．
【分析】在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，先证明△ABE为等边三角形，得到AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，再证明△ABD≌△AEC（ASA），得到BD＝CE，AD＝AC，CE＝5，则BD＝5．再证△ACD是等边三角形，则AD＝CD，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠BCH＝30°，则BH＝BC，由勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如图，在CB的延长线上取点E，连接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵AB＝8，BC＝4，
∴CE＝BE+BC＝AB+BC＝2+7＝6，
∴BD＝6，
∵∠DAC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD，
过点C作CH⊥BD于点H，则∠BHC＝∠DHC＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠CBD﹣∠BHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴BH＝BC＝2，
∴CH＝BH＝2，
∴CD＝＝＝2，
∴AD＝CD＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明△ABD≌△AEC是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共66分。）
17．（6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【分析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣5，
由②得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
所有正整数解有：1、2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 5 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×7﹣×2×7＝12﹣2﹣2﹣8＝5．
故答案为：5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19．（6分）如图，在△ABC中，E点为AC的中点，DC＝3，BC＝．求DE的长．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵BD＝1，DC＝3，
又∵，
∴BD2+CD5＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝，
又∵E点为AC的中点，
∴DE＝＝3．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点，能求出△ADC是直角三角形是解此题的关键．
20．（8分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：OB＝OC．
【分析】（1）由SAS证得△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）得△ABD≌△ACE，得出∠ABD＝∠ACE，再由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，推出∠OBC＝∠OCB，即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝8，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，求DE的长．
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8，根据勾股定理得到BD＝＝10．由折叠的性质得到BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，设DE＝x，则C′E＝CE＝6﹣x．根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，
∴BD＝＝10．
由折叠可得BC′＝BC＝6，EC′＝EC，
∴C′D＝10﹣8＝2，∠DC′E＝90°，
设DE＝x，则C′E＝CE＝2﹣x．
在Rt△C′DE中，
x2＝（6﹣x）4+22，
解得x＝，
∴DE的长为．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
22．（8分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可；
（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
【解答】解：（1）设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米
解得：
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
（2）设A型挖掘机有m台，总费用为W元．
根据题意得
W＝4×300m+2×180（12﹣m）＝480m+8640
∵
∴解得
∵m≠12﹣m，解得m≠6
∴7≤m≤5
∴共有三种调配方案，
方案一：当m＝7时，12﹣m＝5，B型挖掘机2台；
方案二：当m＝8时，12﹣m＝4，B型挖掘机5台；
方案三：当m＝9时，12﹣m＝3，B型挖掘机6台．…
∵480＞0，由一次函数的性质可知，
∴当m＝7时，W小＝480×3+8640＝12000
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．
23．（12分）（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为50°的等腰三角形，点B，D，BC，DE分别是底边
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高
①求∠AEB的度数；
②证明：AE＝BE+2CM．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD＝CE；
（2）①先判断出AC＝AB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，进而得出∠ACD＝∠BCE，△ACD≌△BCE（SAS），得出∠ADC＝∠CEB，即可求出答案；
②先判断出DE＝2CM，再判断出AD＝BE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝50°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠CEB，
在Rt△CDE中，CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°，
∴∠CEB＝135°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°；
②证明：在Rt△CDE中，CD＝CE，
∴DE＝2CM，
由①知，△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（12分）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C＝90°（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，△ABD与△ABC是共边直角三角形，求CD的长．
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD＝CD
【分析】（1）根据共边直角三角形的概念作图；
（2）取AB的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形的性质得到OC＝OD，根据三角形的面积公式求出CE，结合图形计算得到答案；
（3）分别延长AC、BD交于点F，证明BD＝DF，根据等腰三角形的性质证明．
【解答】解：（1）作出△ABC的共边直角三角形如图1所示△ABD即为所求作的三角形；
（2）取AB的中点O，连接OC，
由勾股定理得，AB＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，点O为AB的中点，
∴OC＝ABAB，
∴OC＝OD，又CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴×AC×BC＝，即×7×8＝，
解得，CE＝，
∴CD＝2CE＝；
（3）证明：分别延长AC、BD交于点F，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠DCF，
∴DC＝DF，
∴BD＝DF，又AD⊥BF，
∴AB＝AF，又AD⊥BF，
∴AD平分∠CAB．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、掌握等腰三角形的三线合一、勾股定理的应用是解题的关键．
