鸡西实验中学2024届高三上学期第二次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、下列求导运算不正确的是( )
A. B. C. D.
2、已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3、已知,,则( )
A. B. C.1 D.
4、函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5、函数的零点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
6、已知,则( )
A. B. C. D.
7、已知定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A. B.
C. D.
8、函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的有( )
A.命题“,”的否定是“,”
B.若命题“,”为假命题,则实数m的取值范围是
C.若a,b,,则“”的充要条件是“”
D.“”是“”的充分不必要条件
10、下列命题为真命题的是( )
A.若幂函数的图像过点,则
B.函数的定义域为,则的定义域为
C.,若是奇函数,是偶函数,则
D.函数的零点所在区间可以是
11、已知函数,部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点中心对称
C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D.若方程在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
12、已知函数,则下列说法中正确的是( )
A.在上有两个极值点 B.在处取得最小值
C.在处取得极小值 D.函数在R上有三个不同的零点
三、填空题
13、若,,则______.
14、已知,则的值为______.
15、曲线在点处的切线与直线平行,则__________.
16、已知函数,的最大值为M,最小值为m,则___________.
四、解答题
17、（1）已知角终边所在直线经过点,求的值;
（2）已知,,,,求的值.
18、已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.
（1）求的解析式;
（2）解关于x的不等式.
19、苍苍黑土,漭漭龙江.北国骊珠,普育名庠.2023年10月6日,哈三中将迎来建校百年庆典.某公司为哈三中百年校庆设计了文创产品,并批量生产进行售卖.经市场调研发现,若本季度在原材料上多投入x万元,产品销售周可增加p千个,其中,每千个的销售价格为万元,另外每生产1千个吉祥物还需要投入其他成本0.5万元.
（1）写出该公司本季度增加的利润y与x(单位:万元)之间的函数关系;
（2）当x为多少万元时,该公司在本季度增加的利润最大 最大为多少万元
20、已知函数.
（1）若,求的极值;
（2）若在上有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.
21、已知函数.
（1）求函数的单调递减区间;
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,当时,求函数的取值范围.
22、已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）当时,证明:对任意的,.
参考答案
1、答案：B
解析:根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知,故选项B不正确.
故选:B
2、答案：A
解析:函数的定义域为,
不等式,可化为或,所以,
所以,,
所以.
故选:A.
3、答案：A
解析:由得出,
又,则.
所以.
故选:A.
4、答案：A
解析:函数的定义域为R,定义域关于原点对称,
又,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,C;
令,可得,
所以或,
所以或,,
当时,,排除D;
故选:A.
5、答案：C
解析:由题意可得,求函数的零点个数,
即求方程的解的个数.
数形结合可得,
函数的图象和函数的图象有1个交点,
故有一个零点,
故选C.
6、答案：D
解析:由题意可得:,整理得,
且,可得,
即,可得,
因为,可得,
所以.
故选:D.
7、答案：B
解析:由题意得,因为,则,
所以函数表示以4为周期的周期函数,
又因为为奇函数,所以,
所以,,
,
所以.
故选:B.
8、答案：D
解析:设,,
则,由已知当时,
所以,所以在上为增函数,
因为,所以,
所以不等式等价于,
所以,解得.
故不等式的解集为.
故选:D
9、答案：ABD
解析:命题“,”的否定是“,”,故A正确;
命题“,”为假命题,则关于x的方程无实数根,故,解得,故B正确;
可得;但当,时,有;
“若a,b,,则”是“”的充分不必要条件,故C错误;
当“”时,则“”成立;但当“”时,“或”;故“”是“”的充分不必要条件,故D正确.
故选:ABD﹒
10、答案：AC
解析:A.设,由题意可知:,
因此本选项正确;
B.因为的定义域为,所以,
即的定义域为,由,
因此的定义域为,所以本选项不正确;
C.因为是偶函数,所以,
因为是奇函数,所以由,
因此函数的周期为4,故,
所以本选项正确;
D.因为函数在时单调递增,而
,
所以该函数在时没有零点,
故选:AC
11、答案：AD
解析:由函数的图象可得,由,求得.
再根据五点法作图可得,即,
又,求得,函数,
,是最值,故A成立;
,不等于零,故B不成立;
将函数的图象向左平移个单位得到函数
的图象,故C不成立;
当时,,
,,
函数在上的图象如下,
由图可知,时,函数与直线有两个交点,
故方程在上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是,故D成立.
故选:AD.
12、答案：AC
解析:定义域为R,,
当时,;当时,;
在,上单调递增,在上单调递减,
极大值为,极小值为,
当时,,,恒成立;
可作出图象如下图所示,
对于A,的极大值点为,极小值点为,A正确;
对于B,不是的最小值,B错误;
对于C,在处取得极小值,C正确;
对于D,由图象可知,有且仅有两个不同的零点,D错误.
故选:AC.
13、答案：或
解析:由,得,解得,而,则,
所以.
故答案为:
14、答案：16
解析:因为,
所以,
故答案为:16.
15、答案：或
解析:由,得,
因为曲线在点处的切线与直线平行,
所以,得,
故答案为:
16、答案：14
解析:令,且,
,
所以为奇函数,且在上连续,
根据奇函数的对称性:在上的最大,最小值关于原点对称,
则,故.
故答案为:14.
17、答案：（1）;
（2）
解析:（1）角终边所在直线经过点,
,,.
.
（2）,,,,
,,
.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为是定义在R上的奇函数,
所以,当时,,
设,则,
,
,
,
则.
（2）当时,,,
,,,即,
当时,,满足不等式.
当时,,恒成立,
满足不等式,即,
综上所述,不等式的解集为:.
19、答案：（1）
（2）万元时,利润最大为8万元
解析:（1）本季度增加的利润,
当时,,
当时,,
所以该公司本季度增加的利润y与x(单位:万元)之间的函数关系为.
（2）当时,,
当且仅当,即时等号成立,此时y有最大值8;
当时,单调递减,时,y有最大值5.5,
综上可知,x为4万元时,该公司在本季度增加的利润最大,最大为8万元
20、答案：（1）极小值0,无极大值;
（2）
解析:（1）当时,,
时,,单调递增,
时,,单调递减,
故的减区间为,增区间为,
所以时,函数取到极小值0,无极大值;
（2）令,可得,
记,原问题等价于,的图象与直线有唯一的交点,,在上单调递增,且,
在上单调递减,在上单调递增,且,,当,,
做出函数,图象:
由图可知,当或时,的图象与直线有唯一的交点,
故实数a的取值范围为.
21、答案：（1）
（2）
解析:（1）,
令,则,
所以函数的单调递减区间为:.
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得到函数的图象,再将图象向左平移个单位,
得到的图象,
因为,所以,
所以值域为.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由题可知函数的定义域为,
,
即,
(i)若,
则在定义域上恒成立,
此时函数在上单调递增;
(ii)若,
令,即,解得,
令,即,解得,
所以在上单调递减,上单调递增.
综上,时,在上单调递增;
时,在上单调递减,上单调递增.
（2）当时,,
要证明,只用证明,
令,,
令,即,可得方程有唯一解设为,且,
所以,
当变化时,与的变化情况如下,
x
- 0 +
单调递减 单调递增
所以,
因,因为,所以不取等号,
即,即恒成立,
所以,恒成立,
得证.
