第四章《几何图形初步》热考题型复习
一．认识立体图形（共2小题）
1．（2023秋 新城区校级月考）下列几何体中，面数最少的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春 兰陵县期中）下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B．
C． D．
二．几何体的表面积（共1小题）
3．（2023 南岗区校级开学）一个无盖的长方体水桶，长a厘米，宽b厘米，高h厘米，做这个水桶用料（ ）平方厘米．
A．abh B．abh+2ab
C．ab+2（bh+ah）
三．展开图折叠成几何体（共1小题）
4．（2023 平顶山模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
四．截一个几何体（共1小题）
5．（2022秋 抚州期末）用一个平面去截圆柱和球，如果其截面形状相同，那么截面是 ．
五．直线、射线、线段（共1小题）
6．（2023 江岸区校级模拟）若方程Ax+By＝0表示一条直线，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示（ ）条不同的直线．
A．20 B．22 C．28 D．30
六．直线的性质：两点确定一条直线（共1小题）
7．（2022秋 沈丘县月考）国庆节前，某绿化公司在公园的入口两边摆放时令花卉，小明观察到工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花，工人们这样操作，可用学过的知识解释为 ．
七．两点间的距离（共3小题）
8．（2023春 高青县期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且AC：CD＝2：3，点E为CB的中点．若DE＝3cm，AB＝30cm，则AE的长为（ ）
A．20cm B．18cm C．16cm D．14cm
9．（2023春 张店区期末）如图，D是AB的中点，E是BC的中点，若AD＝5，BC＝8，则下列说法中错误的是（ ）
A．AC＝18 B．DC＝13 C．DE＝10 D．BE＝4
10．（2022秋 射洪市期末）线段AB＝5厘米，BC＝4厘米，那么A，C两点的距离是（ ）
A．1厘米 B．9厘米
C．1厘米或9厘米 D．无法确定
八．比较线段的长短（共3小题）
11．（2023春 肇东市期末）M、N是数轴上的二个点，线段MN的长度为3，若点M表示的数为﹣1，则点N表示的数为 ．
12．（2023春 鲁甸县校级期末）如图所示，已知点C是AB上任意一点，D、E分别是AC、CB的中点，若AB＝16，求DE的长．
13．（2022春 东营区校级月考）如图，已知线段a、b（a＞b），画一线段，使它等于2a﹣2b．
九．角的概念（共1小题）
14．（2022秋 兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
A．n（n+1） B．
C． D．
十．钟面角（共1小题）
15．（2023春 浦东新区期末）四点这一时刻，分针和时针的夹角是（ ）
A．70° B．75° C．90° D．120°
十一．方向角（共2小题）
16．（2023 保定开学）如图，灯塔在轮船（ ）
A．北偏西30°方向50千米处
B．北偏东30°方向25千米处
C．北偏西30°方向25千米处
17．（2023春 乳山市期末）如图，小强从A处沿北偏东20°方向出发行走至B处，又沿南偏东40°方向行走至C处，此时他想将行走的方向调整到与出发时一致，则方向应该调整为（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
十二．度分秒的换算（共1小题）
18．（2022秋 射洪市期末）将21.54°用度、分、秒表示为 ．
十三．角平分线的定义（共2小题）
19．（2022秋 惠来县期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOD，且∠BOD＝30°，则∠BOC＝ ．
20．（2022秋 永川区期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；
（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；
（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．
十四．角的计算（共6小题）
21．（2023春 烟台期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可以用∠O来表示 B．∠β与∠BOC表示同一个角
C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
22．（2022秋 郑州期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ °．
23．（2022秋 河北区校级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
24．（2022秋 河西区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD＝14°，求∠AOC的度数．
25．（2022秋 六盘水期末）（1）如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．
（2）如图2，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°．求∠AOB．
26．（2022秋 横峰县期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？
十五．余角和补角（共6小题）
27．（2022秋 南平期末）将一副三角尺按如图的方式摆放，在这种摆放方式中∠α，∠β的关系一定正确的是（ ）
A．∠α+∠β＝90° B．∠α＝2∠β C．∠α+∠β＝180° D．∠α＝∠β
28．（2022秋 梅里斯区期末）如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD，并且OD是∠BOC的平分线，∠AOC＝28°52'，则∠AOD的度数为 ．
29．（2023春 宁乡市期末）如图，若∠1+∠2＝200°，则∠3＝ ．
30．（2022秋 石楼县期末）若∠α＝50°17'15″，则∠α的余角用度分秒表示为 ．
31．（2023春 宁德期末）已知∠1与∠2互补．若∠1＝50°，则∠2＝ °．
32．（2021秋 临沂期末）已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；
（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．
十六．作图—基本作图（共1小题）
33．（2023春 文登区期末）如图，已知∠AOB，用尺规以OB为一边在∠AOB的外部作∠COB＝∠AOB，对于弧PQ，下列说法正确的是（ ）
A．以点M为圆心，OM的长为半径
B．以点N为圆心，MN的长为半径
C．以点O为圆心，OM的长为半径
D．以点N为圆心，ON的长为半径
第四章《几何图形初步》热考题型复习
一．认识立体图形（共2小题）
1．（2023秋 新城区校级月考）下列几何体中，面数最少的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】弄清每个几何体的面数即可．
【解答】解：球有1个面，圆柱有3个面，圆锥有2个面，正方体有6个面，面数最少的是球．
故选：A．
2．（2023春 兰陵县期中）下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别判断选项的几何体即可得到答案．
【解答】解：选项中的几何体分别为：A．棱锥；B．正方体；C．圆锥；D．圆柱．
故选：A．
二．几何体的表面积（共1小题）
3．（2023 南岗区校级开学）一个无盖的长方体水桶，长a厘米，宽b厘米，高h厘米，做这个水桶用料（ ）平方厘米．
A．abh B．abh+2ab
C．ab+2（bh+ah）
【分析】求出无盖长方体水桶的侧面积和底面积，即可得到答案．
【解答】解：2ah+2bh+ab＝[2（ah+bh）+ab]（平方厘米），
∴做这个水桶用料[2（ah+bh）+ab]平方厘米．
故选C．
三．展开图折叠成几何体（共1小题）
4．（2023 平顶山模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，剪掉小正方形①或②或③阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形④阴影部分不能折叠成一个正方体，
故选：A．
四．截一个几何体（共1小题）
5．（2022秋 抚州期末）用一个平面去截圆柱和球，如果其截面形状相同，那么截面是 圆 ．
【分析】根据平面截几何体的截面的形状，即可得到答案．
【解答】解：∵用平面去截球体得到的截面的形状是圆，
又∵用平面去截球体与圆柱，得到的截面形状相同，
∴截面的形状是：圆，
故答案为：圆．
五．直线、射线、线段（共1小题）
6．（2023 江岸区校级模拟）若方程Ax+By＝0表示一条直线，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示（ ）条不同的直线．
A．20 B．22 C．28 D．30
【分析】分两种情况讨论，即可解决问题．
【解答】解：当A、B中有一个是0时，
若A＝0，则y＝0，表示一条直线，
若B＝0，则x＝0，表示一条直线，
∴此时有两条直线；
当AB≠0时，
从1，2，3，5，7这5个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，共有5×4＝20种组合，
∴此时有20条直线，
∴共可表示直线的条数是20+2＝22．
故选：B．
六．直线的性质：两点确定一条直线（共1小题）
7．（2022秋 沈丘县月考）国庆节前，某绿化公司在公园的入口两边摆放时令花卉，小明观察到工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花，工人们这样操作，可用学过的知识解释为 两点确定一条直线 ．
【分析】直接根据直线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线，
∴工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花．
故答案为：两点确定一条直线．
七．两点间的距离（共3小题）
8．（2023春 高青县期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且AC：CD＝2：3，点E为CB的中点．若DE＝3cm，AB＝30cm，则AE的长为（ ）
A．20cm B．18cm C．16cm D．14cm
【分析】利用比例设未知数x，解出x，从而求出线段AC，CE，BE的长度，进而求出AE的长度．
【解答】解：设AC＝2x，
∵AC：CD＝2：3，
∴CD＝3x，
CE＝CD+DE＝3x+3，
∵点E为CB的中点，
∴BE＝CE＝3x+3，
AB＝AC+CE+BE＝30cm
2x+（3x+3）+（3x+3）＝30，
解方程得x＝3，
∴AC＝2×3＝6（cm），CE＝3×3+3＝12（cm），
∴AE＝AC+CE＝6+12＝18（cm），
故选：B．
9．（2023春 张店区期末）如图，D是AB的中点，E是BC的中点，若AD＝5，BC＝8，则下列说法中错误的是（ ）
A．AC＝18 B．DC＝13 C．DE＝10 D．BE＝4
【分析】根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系分别求出AC、DC、DE、BE即可．
【解答】解：∵D是AB的中点，E是BC的中点，AD＝5，BC＝8，
∴AD＝BDAB＝5，BE＝CEBC＝4，
∴AC＝AB+BC＝18，因此选项A不符合题意；
DC＝DB+BC＝5+8＝13，因此选项B不符合题意；
DE＝DB+BE＝5+4＝9，因此选项C符合题意；
BE＝CEBC＝4，因此选项D不符合题意；
故选：C．
10．（2022秋 射洪市期末）线段AB＝5厘米，BC＝4厘米，那么A，C两点的距离是（ ）
A．1厘米 B．9厘米
C．1厘米或9厘米 D．无法确定
【分析】要确定A，C两点的距离，需要确定C点在哪里．
【解答】解：点C在线段AB上时，AC＝5﹣4＝1cm，
点C在线段AB的延长线上时，AC＝5+4＝9cm，
点C不在直线AB上时，1＜AC＜9，
所以，A、C两点间的距离为1≤AC≤9，故无法确定．
故选：D．
八．比较线段的长短（共3小题）
11．（2023春 肇东市期末）M、N是数轴上的二个点，线段MN的长度为3，若点M表示的数为﹣1，则点N表示的数为 ﹣4或2 ．
【分析】根据题意，正确画出图形，可分两种情况讨论：
（1）N在M的左边；
（2）N在M的右边．
【解答】解：如图，N的位置不确定：
（1）N在M的左边，可以看出点N表示的数为﹣4；
（2）N在M的右边，可以看出点N表示的数为2．
∴点N表示的数为﹣4或2．
12．（2023春 鲁甸县校级期末）如图所示，已知点C是AB上任意一点，D、E分别是AC、CB的中点，若AB＝16，求DE的长．
【分析】根据中点的定义可得DE的长等于AB长的一半，已知AB的长，则不难求得DE的长．
【解答】解：∵D、E分别是AC、CB的中点，AB＝16
∴DE＝DC+CE（AC+BC）AB＝8．
13．（2022春 东营区校级月考）如图，已知线段a、b（a＞b），画一线段，使它等于2a﹣2b．
【分析】这是一道开放性的题只要符合题意即可．
【解答】解：画法（如图）：①画射线AF；
②在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a；
③在线段AC上顺次截取AD＝DE＝b，则线段EC即为所要画的线段．
九．角的概念（共1小题）
14．（2022秋 兴城市期末）如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
A．n（n+1） B．
C． D．
【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形，根据图①，图②得出规律，即可．
【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；
图②：有4条射线，组成1+2+3个角；
∴当有a条射线，组成个角；
∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，
∴组成个角．
故选：B．
一十．钟面角（共1小题）
15．（2023春 浦东新区期末）四点这一时刻，分针和时针的夹角是（ ）
A．70° B．75° C．90° D．120°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案．
【解答】解：360°120°．
故选：D．
一十一．方向角（共2小题）
16．（2023 保定开学）如图，灯塔在轮船（ ）
A．北偏西30°方向50千米处
B．北偏东30°方向25千米处
C．北偏西30°方向25千米处
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：∵5×5＝25（km），
∴灯塔在轮船的北偏西30°方向25千米处．
故选：C．
17．（2023春 乳山市期末）如图，小强从A处沿北偏东20°方向出发行走至B处，又沿南偏东40°方向行走至C处，此时他想将行走的方向调整到与出发时一致，则方向应该调整为（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
【分析】根据方位角和平行线的性质求解，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，
∠1＝20°，∠2＝40°，
∵AE∥BF，
∴，
∴∠ABC＝∠3+∠2＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠BCD＝120°，
即调整方向为左转120°．
故选：D．
一十二．度分秒的换算（共1小题）
18．（2022秋 射洪市期末）将21.54°用度、分、秒表示为 21°32′24″ ．
【分析】根据不到一度的化成分，不得一分的化成秒，可得答案．
【解答】解：21.54°＝21°32′24″，
故答案为：21°32′24″．
一十三．角平分线的定义（共2小题）
19．（2022秋 惠来县期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOD，且∠BOD＝30°，则∠BOC＝ 105° ．
【分析】根据∠AOD是∠BOD的补角求得∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求∠DOC的度数．
【解答】解：∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠BOD＝30°，
∴∠AOD＝150°；
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠COD∠AOD＝75°，
∴∠BOC＝75°+30°＝105°
故答案为：105°．
20．（2022秋 永川区期末）如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；
（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；
（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．
【分析】根据图示找出所求各角之间的关系，∠EOD＝∠EOB+∠BOD，利用角平分线的性质，求出这两个角的度数，即可求结果．
【解答】解：（1）根据题意：
∵OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°，
∴∠EOB∠AOB90°＝45°
∠BOD∠BOC40°＝20°
所以：∠EOD＝∠EOB+∠BOD＝65°；
（2）根据题意：
∠EOB∠AOB90°＝45°
∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB＝70°﹣45°＝25°
所以：∠BOC＝2∠BOD＝50°．
故答案为65°、50°．
一十四．角的计算（共6小题）
21．（2023春 烟台期末）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可以用∠O来表示 B．∠β与∠BOC表示同一个角
C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠BOC
【分析】根据角的表示方法分别进行判断可得结果．
【解答】解：∠AOB不可以用∠O来表示，但∠AOB也可以用∠1来表示，所以A选项说法错误，符合题意；
∠β与∠BOC表示同一个角，所以B选项说法正确，不符合题意；
∠1与∠AOB是同一个角，所以C选项说法正确，不符合题意；
∠AOC＝∠AOB+∠BOC，所以D选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
22．（2022秋 郑州期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 30 °．
【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°．
故答案为：30．
23．（2022秋 河北区校级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可证∠DPC＝90°；
（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案；
（4）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，
又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
（2）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°﹣y，
∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x＝60°﹣y，
∴x+y＝30°，
∴∠EPF＝x+y＝30°．
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，
∵运动之前∠CPD＝90°，两个三角板运动的速度差为1°/秒，
∴∠CPD＝90﹣t．
∴．
（4）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴t≤36秒．
分三种情况讨论：
①当PC平分∠BPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝9030，
解得t36，符合题意；
②当PB平分∠CPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+2×30，
解得t＝37.5＞36，不符合题意应舍去；
当PD平分∠BPC时，根据题意列得方程5t﹣t＝90﹣30，
解得t＝15＜36，符合题意．
综上：当旋转时间为15或秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
24．（2022秋 河西区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD＝14°，求∠AOC的度数．
【分析】此题可以设∠AOB＝x，∠BOC＝2x，再进一步表示∠AOC＝3x，根据角平分线的概念表示∠AOD，最后根据已知角的度数列方程即可计算．
【解答】解：设∠AOB＝x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝3x，
又OD平分∠AOC，
∴∠AODx，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOBx﹣x＝14°，
∴x＝28°，
即∠AOC＝3x＝3×28°＝84°．
25．（2022秋 六盘水期末）（1）如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．
（2）如图2，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°．求∠AOB．
【分析】（1）直接利用两点之间距离分别得出CN，MC的长进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质以及结合已知角的关系求出答案．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，AC＝6cm，
∴MCAC＝63cm，
又因为CN：NB＝1：2，BC＝15cm，
∴CN＝155cm，
∴MN＝MC+CN＝3+5＝8cm，
∴MN的长为8cm；
（2）∵∠BOE＝2∠AOE，∠AOB＝∠BOE+∠AOE，
∴∠BOE∠AOB，
∵OF平分∠AOB，
∴∠BOF∠AOB，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF∠AOB，
∵∠EOF＝20°，
∴∠AOB＝120°．
26．（2022秋 横峰县期末）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如果（1）中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）如果（1）中，∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？
【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC＝60°，∠CON＝15°，最后根据∠MON＝∠MOC﹣∠CON求解即可；
（2）先求得∠AOC＝α+30°，由角平分线的定义可知∠MOCα+15°，∠CON＝15°，最后根据∠MON＝∠MOC﹣∠CON求解即可；
（3）先求得∠AOC＝β+90°，由角平分线的定义可知∠MOCβ+15°，∠CONβ，最后根据∠MON＝∠MOC﹣∠CON求解即可；
（4）根据计算结果找出其中的规律即可．
【解答】解：（1）∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°+30＝120°．
由角平分线的性质可知：∠MOC∠AOC＝60°，∠CON∠BOC＝15°．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON，
∴∠MON＝60°﹣15°＝45°；
（2）∠AOB＝α，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝α+30°．
由角平分线的性质可知：∠MOC∠AOCα+15°，∠CON∠BOC＝15°．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON，
∴∠MONα+15°﹣15°α．
（3）∠AOB＝90°，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝β+90°．
由角平分线的性质可知：∠MOC∠AOCβ+45°，∠CON∠BOCβ．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠CON，
∴∠MONβ+45°β＝45°．
（4）根据（1）、（2）、（3）可知∠MON∠BOA，与∠BOC的大小无关．
一十五．余角和补角（共6小题）
27．（2022秋 南平期末）将一副三角尺按如图的方式摆放，在这种摆放方式中∠α，∠β的关系一定正确的是（ ）
A．∠α+∠β＝90° B．∠α＝2∠β C．∠α+∠β＝180° D．∠α＝∠β
【分析】根据余角的定义的定义解答，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．
【解答】解：∠α+∠β＝90°．
故选：A．
28．（2022秋 梅里斯区期末）如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD，并且OD是∠BOC的平分线，∠AOC＝28°52'，则∠AOD的度数为 104°26' ．
【分析】先根据邻角互补计算出∠BOC，再利用角平分线计算出∠COD进而得出∠AOD．
【解答】解：∵∠AOC＝28°52'，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°52'＝151°08′，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝75°34'+28°52'＝104°26'．
故答案为：104°26′
29．（2023春 宁乡市期末）如图，若∠1+∠2＝200°，则∠3＝ 80° ．
【分析】先根据对顶角相等求出∠1和∠2的度数，然后根据邻补角定义用180°减去∠1的度数即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠2＝200°，
∴∠1＝∠2＝100°，
∵∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．
30．（2022秋 石楼县期末）若∠α＝50°17'15″，则∠α的余角用度分秒表示为 39°42'45'' ．
【分析】根据“和为90°的两个角互为余角”，用90°﹣50°17'15″即可．
【解答】解：90°﹣50°17'15″＝39°42'45''，
故答案为：39°42'45''．
31．（2023春 宁德期末）已知∠1与∠2互补．若∠1＝50°，则∠2＝ 130 °．
【分析】根据互为补角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
32．（2021秋 临沂期末）已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；
（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据互补的意义得到∠AOB+∠BOC＝180°，则可计算出∠BOC＝180°﹣∠AOB＝140°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数；
（2）根据互余的意义得到∠AOB+∠BOC＝90°，则可计算出∠BOC＝90°﹣∠AOB＝50°，然后根据角平分线的定义可得到∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠BOC互补，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD∠BOC＝70°；
（2））∵∠AOB与∠BOC互余，
∴∠AOB+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD∠BOC＝25°．
一十六．作图—基本作图（共1小题）
33．（2023春 文登区期末）如图，已知∠AOB，用尺规以OB为一边在∠AOB的外部作∠COB＝∠AOB，对于弧PQ，下列说法正确的是（ ）
A．以点M为圆心，OM的长为半径
B．以点N为圆心，MN的长为半径
C．以点O为圆心，OM的长为半径
D．以点N为圆心，ON的长为半径
【分析】利用作一个角等于已知角的方法进行判断即可．
【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法进行如下步骤的作图：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
②以点N为圆心，MN为半径画弧PQ，交已画的弧于点C，
③作射线OC．
故选：B．
