2023 学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
C B D D A B C A
二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全
部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
9.BC 10.ACD 11.AB 12.AD
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
5 2
13. 14.32 15. (0,2] 16.
4 2
四、解答题（共 6 小题，共 70 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：（1）由题得 A ( 1,2) --------------------------------------------------------------------------1分
当m 0时， B [1,3]，
故 A B [1,2) ----------------------------------------------------------------------------3分
A B ( 1,3] --------------------------------------------------------------------------5分
（2）由题知 B A
（i）当 B 时，1 m 2m 3 m 2即 符合题意；---------------------------7分
3
1 m 2m 3
B 1 1 2 1（ii）当 时， m ，解得 m .-------------------------9分
3 2
2m 3 2
综上所述，m 1 ( , ) --------------------------------------------------------------------10分
2
高一数学学科 试题 第 1页(共 4页)
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18. 解：（1）由题知 p为真命题，-------------------------------------------------------------------------2分
a x2即 对于 2 x 3恒成立，--------------------------------------4 分
得 a ( ,4] -------------------------------------------------------6 分
（2）由题得命题 q： x R, x2 2ax 2a 0为真命题--------------------7 分
即 4a2 8a 0 ---------------------------------------------------9 分
解得0 a 2 -------------------------------------------------------10 分
a 4
由命题 p和 q均为真命题，得 ------------------------------11 分
0 a 2
综上所述 a (0,2) --------------------------------------------------12 分
19. 解：（1）该二次函数的对称轴为直线 x a 2 -----------------------------------1 分
（i）当 a 2 1，即 a 3时，此时 f (x)在区间[1,5]上单调递增-----------2 分
所以 f (x)的最小值 g(a) f (1) 8 a；----------------------------3 分
（ii）当 a 2 5，即 a 7时，此时 f (x)在区间[1,5]上单调递减---------4 分
所以 f (x)的最小值 g(a) f (5) 48 9a；
（iii）当1 a 2 5，即3 a 7时，-------------------------------5 分
此时 f (x) 2的最小值 g(a) f (a 2) a 5a 1；-----------------6 分
8 a, (a 3)
2
综上所述， g(a) a 5a 1（3 a 7) ----------------------------7 分
48 9a (a 7)
（2）（i）当 a 2 3，即 a 5时，-----------------------------------------8 分
此时 f (x)的最大值 h(a) f (5) 48 9a；-------------------------9 分
（ii）当 a 2 3，即 a 5时，--------------------------------------10 分
此时 f (x)的最大值 h(a) f (1) 8 a；-------------------------------11 分
48 9a (a 5)
综上所述， h(a) ------------------------------12 分
8 a, (a 5)
高一数学学科 试题 第 2页(共 4页)
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a 8b (a 8b)(1 220. 解：（1） ) ----------------------------------------------------------1 分a b
1 2a 8b 2a 8b 16 17 2 17 8 25-------------------------------4 分
b a b a
2a 8b
a 5 b a
当且仅当 ，即 时，取得最小值，最小值为 25 ----------------------6 分
1 2
5
1
b
a b 2
1 1 1 a 2b 3 1
（2） -----------------------------------------------------7 分
a ab a ab a b
( 3 1)(a 2b) 3 6b a 2 5 2 6b a 5 2 6 --------------------10 分
a b a b a b
6b a a 3 6
当且仅当 a b ，即 6 时，取得最小值，最小值为5 2 6 ------------12 分
a 2b 1 b 1 2
1 x2y 300x 125000 1 125000
21.解：（1）每吨的平均处理成本为 2 x 300 ------------------2 分
x x 2 x
y 1
所以 2 x 125000 300 200，----------------------------------------------5 分
x 2 x
1 x 125000此时 ，---------------------------------------------------------------6 分
2 x
即 x 500时取到最小值------------------------------------------------------------7 分
（2）设该企业每月获利为 s(x)元，则 s(x) 100x y，
s(x) 100x (1 x2即 300x 125000) --------------------------------------------9 分
2
也就是 s(x) 1 x2 400x 125000，
2
s(x) 1即 (x 400)2 45000，其最大值为 45000，----------------------------11 分
2
说明该企业每月没有获利，该市政府至少需要补贴 45000元才能使该企业不亏损------------12 分
高一数学学科 试题 第 3页(共 4页)
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22.解：（1）由 f ( 1) 2，且 f (x)是奇函数，得 f (1) 2，
2
2 a b a 1 1
于是 ，解得 ，即 f (x) x ．-----------------------------------------2 分
2 2 b 0 x a b
经检验， f (x)是奇函数，满足题意；
函数 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，----------------------------------------3 分
证明如下：任取 x1, x2 0,1 ，且 x1 x2，
则 f x1 f
1 1 x x x 1
2 x1 x2 x xx x 1 2
1 2 ， x1, x2 0,1 ，且 x1 x2，
1 2 x1x2
x1 x2 0，0 x1x2 1，∴ x1x2 1 0， f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
函数 f x 在 0,1 上单调递减.
同理可证明函数 f x 在 1, 上单调递增．-------------------------------------------------5 分
1
（2）函数 g x 在 0, 上有两个零点，即方程 x m 0在 0, 上有两个不相等的实数根，
x
Δ m2 4 0
所以 x2
mx 1 0在 0, 上有两个不相等的实数根，则 m ，
0
2
解得m>2 .------------------------------------------------------------------------------7 分
h x x2 1 1 （3）由题意知
x2
2t x ，
x
z x 1令 ， y z 2 2tz 2，
x
1 1 5
由（1）可知函数 z x 在 ,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增， z
2, ，--------------8 分x 2 2
因为函数 y z 2 2tz 2的对称轴方程为 z t 0，
函数 y z 2 2tz 2在 2,
5
2
上单调递增，
当 z 2时， y z 2 2tz 2取得最小值， ymin 4t 2；
z 5 17当 时， y z 2 2tz 2取得最大值， y
2 max
5t .
4
所以 h x 4t 2 17min ， h x 5t max ，------------------------------------------------10 分4
1 15
又因为对任意的 x1， x2 , 2 都有 h x h x 恒成立， 2 1 2 4
h x h x 15 max min ，4
5t 17 15 3即 4t 2 ，解得 t ，-----------------------------------------------11 分
4 4 2
3
又 t 0，所以 t的取值范围是 t 0．---------------------------------------------12 分
2
高一数学学科 试题 第 4页(共 4页)
{#{QQABaYSQggioABIAAQhCUwHACgCQkBGCCCoOxEAEIAABQANABAA=}#}绝密★考试结束前
2023 学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 5 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．设集合U {1,2,3,4,5,6}， A {1,3,5}， B {3,4,5}，则CU (A B)
A．{3,5} B．{1,3,4,5} C．{2,6} D．{1,2,4,6}
2．“ a2 b2 ”是“ ( a )2 ( b )2”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题 p：“ x R， x2 ax 1 0”为假命题，则实数 a的取值范围为
A． ( ,2] B． ( 2,2)
C． ( , 2) (2, ) D．[ 2,2]
4．已知 x 0， y 0，且 x 2y 1，下列结论中错误的是
A． xy 1 x2 4y2 1的最大值是 B． 的最小值是
8 2
1 2
C． 的最小值是9 D x y． 2 4 的最小值是 2
x y
5．设 ( ,a) y x2是函数 4 | x | 5的一个减区间，则实数 a的取值为
A． a≤ 2 B． a≥ 2 C． a≥2 D． a≤2
高一数学学科 试题 第 1页(共 5页)
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6．已知函数 f (x) 2是偶函数， g(x)是奇函数，满足 f (x) g(x) x x 2，则 f (2)＝
A．1 B． 2 C．3 D． 4
3 2 2 3 2
7．已知 a ( ) 5 ，b ( )5 ， c (2 ) 5 ，则
5 5 5
A． a b c B． c b a C．b c a D． c a b
8．已知幂函数 f (x) x 的图象经过点 (2, 2)，则函数 f (x)为
A．非奇非偶函数且在 (0, )上单调递增
B．非奇非偶函数且在 (0, )上单调递减
C．奇函数且在 (0, )上单调递增
D．偶函数且在 (0, )上单调递减
二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
9．下列各组函数中是同一函数的是
A． f (x) x 1 x 1， g(x) (x 1) (x 1)
B． f (x) 1 x 1 x ， g(x) (1 x) (1 x)
C． f (x) | x |， g(t) t 2
D． f (x) x 1， g(t) t 1
10 x ax2．已知关于 的不等式 bx c 0的解集为{x | x 2或 x 3}，则下列说法正确的是
A． a 0
B．不等式bx c 0的解集是{x | x 6}
C． a b c 0
D cx2．不等式 bx 1 1 a 0的解集是{x | x 或 x }
3 2
高一数学学科 试题 第 2页(共 5页)
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11．如果函数 f (x)在[a,b]上是增函数，对于任意 x1, x2 [a,b] (x1 x2 )，则下列结论中正确的是
f (x1) f (x2 )A． 0 B． (x1 x2 ) f (x1) f (xx x 2 ) 01 2
C． f (a) f (x1) f (x2 ) f (b) D． f (x1) f (x2 )
12．形如 f (x) a x (a 0)的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：
x
a
该函数在 (0, a )上单调递减，在 ( a , )上单调递增．已知函数 f (x) x (a 0)在[2,4]上
x
的最大值比最小值大1，则 a的值可以是
A． 4 B．12 C．6 4 2 D．6 4 2
非选择题部分
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
1
20230 16 2 (1 8
2
13 2． ) ( ) 3 ．
2 27
14．集合 A {x Z | 2 x 3}的子集个数是 ．
15．若函数 f (x) x | x a | 在区间 (0,2]上既有最小值又有最大值，那么实数 a 的取值范围
是 ．
16 2．设 f (x)是定义在 R上的奇函数，且当 x 0时， f (x) x ，若对任意的 x [t, t 1]，不等式
f (x t) 2 f (x)恒成立，则实数 t的最小值是 ．
四、解答题（共 6 小题，共 70 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
1
已知集合 A {x | y }， B {x |1 m x 2m 3}.
x2 x 2
（1）当m 0时，求 A B， A B；
（2）若 B A时，求实数m的取值范围.
高一数学学科 试题 第 3页(共 5页)
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18.（本小题满分 12 分）
2 2
已知命题 p： x [2,3]， x a 0， 命题 q： x R， x 2ax 2a 0 .
（1）若命题 p为假命题，求实数 a的取值范围；
（2）若命题 p和 q均为真命题，求实数 a的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）
2
已知二次函数 f (x) x (2a 4)x a 3 (1 x 5) .
（1）记 f (x)的最小值为 g(a)，求 g(a)的解析式；
（2）记 f (x)的最大值为 h(a)，求 h(a)的解析式.
20.（本小题满分 12 分）
（1）已知正数 a,b 1 2满足 1，求 a 8b的最小值；
a b
1 1
（2）已知正数 a,b满足 a 2b 1，求 的最小值.
a ab
高一数学学科 试题 第 4页(共 5页)
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21.（本小题满分 12 分）
“绿色低碳、节能减排”是习总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应总书记的号
召，采用某项创新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排
效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本 y（元）与月处
1 2
理量 x（吨）之间的函数关系式可表示为 y x 300x 125000，且每处理一吨二氧化碳得到
2
可利用的化工产品价值为100元.
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？ 如
果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下
不亏损？
22.（本小题满分 12 分）
x2 1
已知函数 f (x) 是定义域上的奇函数，且 f ( 1) 2 .
ax b
（1）判断并用定义证明函数 f (x)在 (0, )上的单调性；
（2）设函数 g(x) f (x) m，若 g(x)在 (0, )上有两个零点，求实数m的取值范围；
2 1 1
（3）设函数 h(x) x 2 2t f (x) (t 0)，若对 x
1, x2 ,2
，都有x 2
h(x 151) h(x2 ) ，求实数 t的取值范围.4
高一数学学科 试题 第 5页(共 5页)
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