高中2023级学生学业发展指导（文化学科）测评数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
7. 红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A B. C. D.
8. 若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为（ ）
A B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 若，则或
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上的值域为
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
B. “”是“关于一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件
C. 命题“”的否定是：“”
D. 函数的定义域为的子集，值域，则满足条件的有3个
11. 关于函数的相关性质，下列正确的是（ ）
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数在上单调递减
D. 函数的最小值为0，无最大值
12. 已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（ ）
A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件
B. 若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数
C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
D. 若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为__________.
14. 设函数，则=_____________.
15. 在中，最大的数是__________.
16. 若函数为奇函数，则__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）关于的不等式的解集为，求的值.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19. 已知函数，且.
（1）若，求函数在上的值域；
（2）解关于的不等式.
20. 已知，且.
（1）求的最小值，并求出相应的值；
（2）是否存在实数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.
21. 辉煌企业团队研制出一款新型产品，决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1500万元，每生产一万台需另投入3800万元.设该企业一年内生产该产品万台（为整数）且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得年利润最大？并求出最大年利润.
22. 已知函数，.
（1）判断函数奇偶性及其单调性（不需写出判断单调性的过程）；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
高中2023级学生学业发展指导（文化学科）测评数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的运算即可得.
【详解】集合，则.
故选：D
2. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明判断ACD；利用指数函数单调性判断B.
【详解】当时，成立，而，A错误；
函数在R上单调递减，由，得，B正确；
当时，成立，而，C错误；
当时，，D错误.
故选：B
3. 命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由命题：为真命题，则满足，解得.
故选：C.
4. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为定义域上的偶函数，
再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确；
对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确；
对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误；
对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，所以D不正确.
故选：A.
5. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】由集合，且，
当时，即时，此时满足，符合题意；
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
6. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，可判断C，D错误，当时可判断A，B.
【详解】当时，，其在单调递增，C，D错误；
当时，，在单调递减，B错误，A正确.
故选：A
7. 红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，
面积，
墙长，所以，
解得，
对称轴方程，
抛物线开口向下，，函数在上递减，
当时，最大为（），
故选：C．
8. 若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，当时，得到不存在；当时，设和，结合函数的图象，列出关系式，即可求解.
【详解】由题意，不等式对任意恒成立，
当时，由不等式，即在上恒成立，此时不存在；
当时，由不等式，
可设函数和，
由函数的大致图象，如图所示，
要使得不等式对任意恒成立，
则满足，又因为是整数，可得或，
所以或.
故选：B.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 若，则或
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，由，若，则，解得，不合题意，
若，则，解得，故B错误；
对C，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对D，当时，的值域是，
当时，的值域为，
所以函数在上的值域为，故D正确.
故选：AD.
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
B. “”是“关于的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件
C. 命题“”的否定是：“”
D. 函数的定义域为的子集，值域，则满足条件的有3个
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断AB，由命题的否定的定义判断C，根据值域求出定义域可判断D．
【详解】对A，且时一定有，但时，
且不一定成立，如，A错误；
对B，关于的一元二次方程有两个不等实数根，
即，
所以能推出“关于的一元二次方程有两个不等实数根”，
当时有两个不等实根，不能推出，所以是“关于的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件，B正确；
对C，全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意，则”的否定是“存在，”，C错误；
对D，由，可得，所以函数的定义域可为或或，D正确.
故选：BD
11. 关于函数的相关性质，下列正确的是（ ）
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数在上单调递减
D. 函数的最小值为0，无最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】探讨给定函数的性质，再逐项判断即可得解.
【详解】函数的定义域为R，，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，A正确；
当时，，而函数是减函数，
则在上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确；
当时，，则，
当时，由是偶函数，得，
因此，，即函数的最小值为0，无最大值，D正确.
故选：ACD
12. 已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（ ）
A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件
B. 若定义在上奇函数有上界，则该函数是有界函数
C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
D. 若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由有界函数的定义，结合特殊函数、指数函数，以及函数的奇偶性的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，设函数，则恒成立，即函数有下界，
但函数在上没有最小值，即充分不成立；
反正：若函数有最小值，设最小值为，则成立，即必要性成立，
所以函数有下界是函数有最小值”的必要不充分条件，所以A正确.
对于B中，若定义在上的奇函数上上界，设函数的上界为，则，
根据题意，可得，恒成立，
若时，成立，则当时，，可得，
因为函数为奇函数，可得，所以成立；
若时，成立，则当时，，可得，
因为函数为奇函数，可得，所以成立；
当时，由奇函数的性质，可得，显然满足，
所以，成立，所以为有界函数，
即定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数，所以B正确；
对于C中，令函数，则函数只有下界，没有上界，
所以该函数不是有界函数，所以C错误；
对于D中，由函数，
当时，函数的图象如图（1）所示，
要使得函数在区间上为有界函数，且一个上界为，
则，解得，即；
当时，函数的图象如图（2）所示，当时，，
此时函数在区间不是有界函数，（舍去）.
综上可得，实数的取值范围为，所以D正确.
故选：ABD.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域即使得式子有意义，列出不等式，即可求.
【详解】由，解得：且，
则其定义域为.
故答案为：
14. 设函数，则=_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数定义先计算，再计算．
【详解】由已知,
.
故答案为：4．
15. 在中，最大的数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算，结合指数函数的性质，判断每个数的取值范围，比较大小即可得出答案．
【详解】因为，，
所以中，最大的数是，
故答案为：.
16. 若函数为奇函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数定义计算即得.
【详解】显然函数的定义域为R，
由是奇函数，得，即，
即，而不恒为0，则，解得，
所以.
故答案为：
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）关于的不等式的解集为，求的值.
【答案】（1）1；（2）16.
【解析】
分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用给定解集求出，再利用指数运算法则计算即得.
【详解】（1）
（2）不等式化为，
依题意，是方程的两个实根，则，解得，
所以.
18. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，由不等式的解法，求得，结合集合并集的概念与运算，即可求解；
（2）由是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，集合
又由不等式，解得，即，
所以.
【小问2详解】
解：由集合，，
因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数，且.
（1）若，求函数在上的值域；
（2）解关于不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，函数，
可得函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以函数的最大值为，
又由，所以函数的最小值为，
所以函数值域为.
【小问2详解】
解：由不等式，可得，即，
若，不等式即为，解得，即不等式的解集为；
若，不等式即为，
令，解得或
（1）当时，不等式等价于，解得或；
（2）当时，不等式等价于，
①当时，即时，解得，即不等式的解集为；
②当时，即时，此时不等式的解集为；
③当时，即时，解得，即不等式的解集为，
综上可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20. 已知，且.
（1）求的最小值，并求出相应的值；
（2）是否存在实数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）最小值为2，；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
（2）假定存在，结合已知求出，再与（1）的结论比对判断即得.
【小问1详解】
由，，得，于是，解得，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以的最小值为2，此时.
【小问2详解】
假定存在实数，使得成立，于是，而，，
于是，整理得，由（1）知，，而，
因此不存在存在实数，使得成立.
21. 辉煌企业团队研制出一款新型产品，决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为1500万元，每生产一万台需另投入3800万元.设该企业一年内生产该产品万台（为整数）且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量（万台）时，企业的年利润最大，最大值为万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；
（2）由（1）的解析式，求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．
【小问1详解】
由题意，年利润，
.
【小问2详解】
由（1），当时，，对称轴为，
所以函数在上单调递增，.
当时，
，当且仅当，即时等号成立.
综上，当年产量（万台）时，企业的年利润最大，最大值为万元.
22. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性及其单调性（不需写出判断单调性的过程）；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）偶函数；的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义可以判断为偶函数，根据复合函数可判断的单调性；
（2）先求利用基本不等式求的最小值为，故在恒成立，
再转化为恒成立，构造求其最小值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，，故为偶函数；
设，则在上单调递增，且，
设，根据对勾函数的单调性，
在上单调递减，在上单调递增，
当，即，
当，即，
故根据复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
，
当时，，
当且仅当即时等号成立，
故由题意对任意的，恒成立，
得即，
即，
由（1）可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
又，，
所以当时， ，
设，则单调递增，
所以，故，
所以实数的取值范围为
