成都东部新区养马高级中学 2023~2024学年度（上）
高 2022 级半期考试 数学试题
（时间：120分钟 总 分 ： 150 审题人：高 二 数 学组）
一、单项选择题
1. 已知点 (0,1), (1,0)，则直线 的倾斜角为（ ）
3π 2π π π
A. B. C. D.
4 3 3 4
2. 下列统计量中，能度量样本 1， 2，…， 的离散程度的有（ ）
A.方差 B. 中位数 C.众数 D.平均数
3. 现从 2 个男生 2 个女生共 4 人中任意选出 2 人参加养马中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的 2 人
中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（ ）
1 2 4 5
A. B. C. D.
2 3 5 6
4. 以 (3, 1)为圆心，且经过点 (7, 4)的圆的方程是（ ）
A．( 3)2 + ( + 1)2 = 5 B．( 3)2 + ( + 1)2 = 25
C．( + 3)2 + ( 1)2 = 5 D．( + 3)2 + ( 1)2 = 25
5. 已知直线ax + 2y + 6 = 0与直线 x + (a 1)y + a2 1= 0互相平行，则实数a 的值为( )
A. 2 B. 2 或 1 C. 2 D. 1
6. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ 的顶点 A(2,0) , B(0,1)，且
= ，则△ 的欧拉线的方程为（ ）
A. 2x + 4y 3 = 0 B. 4x 2y 3 = 0
C. 2x y 3 = 0 D. x 2y 3 = 0
7. 在如图所示的电路中，5 个盒子表示保险匣，设 5 个盒子被断开分别为事件 ， ， ， ， .盒子中所
示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）
1
A. ， 两个盒子串联后畅通 概率为
6
1
B. ， 两个盒子并联后畅通的概率为
15
1
C. ， B ， 三个盒子混联后畅通的概率为
2
7
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为
9
a
8. 已知△ 是锐角三角形，若sin2 A sin2B = sinBsinC，则 的取值范围是（ ）
2b
． (0,1) ． √2 √3 2 3A B ( , 1) C．( , 1) D． √ √( , )
2 2 2 2
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二、多项选择题
9.对于直线 l : x + y 1= 0，下列说法正确的有（ ）
A．直线 l过点(0，1) B．直线 l与直线 = 垂直
C．直线 l的一个方向向量为 (1,1) D．直线 l的倾斜角为 45°
10.某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿
险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对 5 个险种参保客户进行抽样
调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A. 54 周岁以上参保人数最少 B. 18～29 周岁人群参保总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐 D. 30 周岁以上的人群约占参保人群 20%
11. 下列结论正．确．的是（ ）
1 1
A. 过( 1, 1), ( 2, 2)两点的所有直线，其方程均可写为 = 2 1 2 1
B. 已知点 (3,1), (2,3)，点 P 在 y 轴上，则 PA + PB 的最小值为√29
C. 直线 2 2 = 0与直线2 4 + 1 = 0之间的距离为√5
D. 已知两点 ( 3,4), (3,2)，过点 (1,0)的直线 l与线段 有公共点，则直线 l的斜率的取值范围
是 ( , 1 1,+ )
12. 已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，下列四个结论中正．确．的是（ ）
A．直线 1 与直线 1所成的角为90°
B．直线B1C
3
与平面 1所成角的余弦值为
√
3
C． 1 ⊥平面 1
3
D．点 到平面D1B1C的距离为
√
2
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.无论 k为何值时，直线 kx－y＋2＋2k＝0 恒过定点________．
14. 某人有 3 把钥匙，其中 2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门 钥匙扔掉，
那么第二次才能打开门的概率为__________.
x y
15. 直线 l : + =1过点 A(1,2) ,则直线 l与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴围成三角形面积的最小值为__________．
m n
若非零实数对 (a,b)满足关系式 a +b+1 = 7a 7b+1 = 5 a2 2
a
16. +b ，则 = __________．的 b
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四、解答题：第 17题 10分，第 18~22题每道题 12分，共计 70分.解答应写出相应的文字说明、证明过程
或者演算步骤.
17.已知直线 l过点 (2, 1)．
（1）若直线 l与直线2x + y +3 = 0垂直，求直线 l的方程
（2）若已知直线 : + 2 2 = 0，点 ( 2, 1)关于直线 l的对称点的坐标．
18. 已知以点 C为圆心的圆经过点 A(-1，0)和 B(3，4)，且圆心 C在直线 x +3y 15 = 0上
（1）求圆 C的方程；
（2）设点 Q(-1， )(m>0)在圆 C上，求△QAB的面积.
19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不
同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分
（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分
成 5 组，其中第一组：[20, 25)，第二组：[25, 30)，第三组：[30, 35)，
第四组：[35, 40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，
已知第一组有 10 人.
（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第 80 百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任本市的
“中国梦”宣传使者.若有甲（年龄 38），乙（年龄 40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组
被抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
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20. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的
概率都为 ，乙同学答对每题的概率都为q( p q) ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲
1 1
乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 .
3 2
（1）求 和 的值；
（2）试求两人共答对 3 道题的概率.
π
21. 如图，四边形 ABCD与BDEF 均为菱形， AB = 2 ， DAB = ， FA = FC = 6 ，记平面 AEF
3
与平面 ABCD的交线为 l．
（1）证明：BD / /l；
（2）证明：平面BDEF ⊥平面 ABCD；
22. 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为a,b,c,c = 4 ，且
(a b)sinA+ (b+ c)sinB = (4+b)sinC ．
（1）求△ 外接圆半径.
（2）求△ 周长的最大值．
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