宜宾市2023-2024学年高二上学期期中联合考试
数学试题
满分150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B互斥不对立 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立
2.在四面体中，空间的一个点满足,若四点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数满足方程，则的最大值（ ）．
A．2 B．4 C． D．1
5．在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．5
7．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A．4 B． C． D．2
8．已知为椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ）
A． B. C．1 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．与直线垂直，且与点距离为2的直线方程可能为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的纵坐标为4 B.
C. 的周长为 D．的内切圆半径为
11．甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件：抽取的两个小球标号之积大于8，则（ ）
A．事件A与事件是对立事件 B．事件与事件是互斥事件
C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为
12．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹所围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则的取值范围
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 .
14. 已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 .
15.若双曲线的渐近线与圆相切，则 .
16. 在长方体，，，P为BC的中点，点Q为侧面内的一点，当，的面积最小值时，三棱锥Q-ACD的体积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)设直线与直线.
(1)若//，求之间的距离；
（2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线的方程.
18．(12分)甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
19．(12分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20. (12分)已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）经过点M（1，2）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．
21. (12分)已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为
（1）求圆的方程，
（2）设点是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
22. (12分)已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
宜宾市2023-2024学年高二上学期期中联合考试
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C B D B A A AB BC BC ABD
13. 14. 15. 16.
17．解析(1)若//，则，，
，
之间的距离为. 5分
（2）由题意，得，，直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，当时，的最大值为，
此时直线的方程为. 10分
18. 解析：把3个选择题记为，2个判断题记为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有，，，，，，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有，，共2种.因此基本事件的总数为. 6分
（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为 9分
（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为.
12分
19．解析：（1）证明：由题意，在矩形中，，，，
，分别是，的中点，，，
在四棱锥中，面面，面面，，平面，面，面，，
，，，
面，面，，
面，面，，
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，，，，面的一个法向量为，
，平面，平面．………………6分
（2）由题意及（1）得：在平面中，，，，
，，设平面的法向量为，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图得为钝角，二面角的余弦值为：
．……………………………………………………………12分
20．解析：（1）由题意得椭圆的焦点为
设双曲线方程为1，a＞0，b＞0，
则，∴，
解得，
双曲线方程． 4分
（2）把分别代入双曲线，两式相减，得，
把代入，得，
，直线的方程为，
把代入，消去y得，
.. 12分
21. 解析：（1）设圆心，则圆心到直线的距离，
由题意可得，,即
解得或（舍去）.圆C的方程为. 4分
（2）是直线上一点.设
为圆C的切线，，即过三点的圆是以为直径的圆.
设圆上任一点，则,
,
即，令 解得，或
经过三点的圆必过定点和． 12分
22. 解析：（1）为等边三角形，，，；
的周长为，，
解得：，，，
椭圆的方程为：. 4分
（2）假设在轴上存在定点，使得为定值；
由（1）知：，直线斜率不为零，可设，，，
由得：，则，
，，
；
为定值，，解得：，此时定值为；
存在定点，使得为定值. 12分
