海安市高级中学2023-2024学年高三上学期11月阶段检测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．命题p：函数的最大值为M，函数的最小值为m；命题q：函数的最大值为，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
6．若曲线上恰有三个不同的点到直线的距离为，则实数a的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．－3或1
7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ）
A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B．早睡人群睡眠指数主要集中在
C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D．晚睡人群睡眠指数主要集中在
10．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是π
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于对称
D．若圆C的半径为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“，”的否定为______．
14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①﹔②两点，连线的中点对应的复数为，若O为坐标原点，则的面积为______．
15．设正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比为______．
16．剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C，重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC裁剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时，______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量，，．
设．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值．
18．（本小题满分12分）
电视传媒公司为了了解南京市区电视观众对某部韩剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对某部韩剧的态度，其结果如下：
态度城市 男 女 合计
喜欢 60 60
不喜欢 20 40
合计
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关
（2）经统计得，不喜欢该电视剧的为老年人，从老年人中任取5人，随机变量X表示所取男女老年人相差的个数．求X的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式：
（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．
20．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，．
（1）求证：平面ABCD；
（2）若为等边三角形，点Q为AE的中点，求面角的余弦值．
第20题图
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：过点，离心率为，其左右焦点分别为，．
（1）若点P与，的距离之比为，求直线被点P所在的曲线截得的弦长；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，Q为上异于，的任意一点，直线，分别与椭圆的右准线交于点M，N，求证：以MN为直径的圆经过x轴上的定点．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，且在点处的切线方程为．
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）若，设函数且方程恰四个不同的解，求实数a的取值范围．
海安市高级中学2023-2024学年高三上学期11月阶段检测
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．BCD 12．AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．， 14．20
15．3 16．
四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解；（1）
，
所以的最小正周期为π．
（2）由，由得，
所以，
则．
18．解：（1）由表格数据得：
没有97.5%以上的把握认为“喜欢韩剧”与“性别”有关．
（2）在不喜欢韩剧的60人中，老年人占15人，其中男的有10人，女的有5人．
X的可能取值为1，3，5，
则
X的分布列为分
X 1 3 5
P
所以．
19．（1）解：由得，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
因此，故．
于是当时，．
又，所以．
（2）证：因为是等差数列，所以，
又，所以，所以的公差满足，
所以．
故，
所以
，所以．
20．证明：（1）如图BC取中点G，连接FG，OG，
因为，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面FBC，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
因为O，G分别为BD，BC中点，所以，，
因为，，所以四边形EFGO为平行四边形，故，
所以，，且AB，平面ABCD，，所以平面ABCD．
（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，
向量是平面ABC的法向量，
设平面QBC的法向量，由题意可知，
所以，，，
所以，，
则，则，
所以．
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．
21．（1）解：因为椭圆：过点，所以．
又因为，即，故，
所以，即，所以，则，．
设，则，即．
其圆心到直线的距离为，
故弦长．
（2）由（1）知，所以，，右准线．
设，，
由：，则，同理．
下证：右焦点在以MN为直径的圆上，即证．
因为
，
因为Q点在椭圆上，所以，即，所以．
即以MN为直径的圆始终经过定点，故同时经过定点，
所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点和．
22．解：（1），由条件，得即
解得，，所以．
所以，其定义域为，
，
令，得（*）
因为，则，即的单调递增区间为．
（2）
当时，，，
令，得，且当时，；当时，，
所以在上有极小值，即最小值为．
当时，，，
令，得，
①若，当时，，当时，，
所以在上有极小值且是最小值为，
又因为，所以方程不可能有四个解，舍去．
②若，当时，，当时，，
所以在上有极大值且是最大值为，
又，的大致图象如图所示，
所以，解得．
此时，，
，满足，所以实数a的取值范围是．
