2023~2024学年度第一学期期中学情调研
高二数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含[选择题(1~12))填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题
(第17~22题，共70分)。本次考试时问120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题
卡交回.
2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字
笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3.
答题时请用05毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效，
4.
如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、
单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.直线√5x-y-4=0的纵截距是()
·A.4
B.4
C.4v5
D.45
3
3
2点Px,刃在椭圆父+=1上，则2+0-4+F+0+4等于（）
925
A.6
B.8
C.10
D.12
3.过点（3,4)且与直线2+3y+1=0垂直的直线方程为(、，)
A.3x-2y+1-0
B.3x-2y-1-0
C.3x+2y+1=0
D.2c+3y-18=0
4.在平面直角坐标系中，军营所在区域为x2+y≤1，将军从点A(2,0)出发去河岸边饮马，然后再
去军营，河岸线所在直线方程为x+y=4,假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营，则将军
饮马的最短总路程是()
A.√10-1
B.2W5-1
C.25
D.10
5.直线ax+y-a+1=0(aeR)与圆x2+y2=4的位置关系为()
A.相交
B.相切
C.相离
D.三种关系均存在
6.双曲线C:士上
存京=1(a>0,6>0)一条渐近线的倾斜角为60°，则c的离心率为()
A.2
B.3
C.√2
D.5
,已知点P为椭圆苦+y=1上的-个动点，点R,片分别为该精圆的左、右焦点，当∠RPR-受
时，则△FFP的面积为()
A.1
B.2
C.3
D.4
高二数学第1页，共4页
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8.己知{an}为等差数列，数列{b}满足：a,+b=2,abn=2n2-n(neN),且5a=7a,则bn三
)
n2
A.
B.n
C.n2
2n-1
D.
2-n
n-1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.等差数列{an}的首项为a=-13,a3=-9，前n项和为Sn,则(，)
A.S =n2-14n
B.等差数列{an}中项的值有0
C.数列
不是等差数列
D,两点G,.(,连线斜率为1
10.已知实数xy满足方程x2+y2-4y+1=0,则下列说法正确的是(·)
A.y-x的最大值为V6+2
B.x2+y2的最大值为2+V3
C.y-x的最小值为V6-2
D.x2+y2的最小值为7-4V3
1.直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点0，)，(W,均在椭圆C上，则(
A.箱圆C的离心率为
B.直线1：x+y-k=0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.横圆C上两点AB中点坐标为L宁，则直线A的斜幸-习
12.已知两点A(-2,0),B(2,0),若直线上存在点P,使得|PA-PB=2,则称该直线为“点定差直线”，
下列直线中，是“点定差直线”的有()
A.y=x+1
B.y=3x+1
C.y=2x+4
D.y=v2x+3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上
13.已知点A1,V⑤)在抛物线C:y2=2px上，则A到C的准线的距离为▲
14.在△MBC中，AC1BC,sinM=亏，以A,C为焦点且经过点B的椭圆离心率记为9，以B,C为
焦点且经过点A的双曲线离心率记为，则=▲
e,
15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研
究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数1(1>0，且1≠1)，那么点P的轨迹为
圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.己知圆C:x2+y2=24,点M(2,2),平面内一定点N（异于点
M),对于圆上任意动点A,都有比值AN:AM为定值，则定点N的坐标为
高二数学第2页，共4页
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高二数学参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.B 4.B 5. A 6.A 7.A 8.B
二、多选题
9.AD 10. AD 11.BCD 12.AD
三、填空题
13. 9 14. 1 15.
4 6 (6,6)
16 5, 5
四、解答题
17. 解：方案一选择条件①.
（1）因为直线 3x 4y 2 0 3的斜率为 ，直线 l与直线 3x 4y 2 0平行，
4
3
所以直线 l的斜率为 k …………2分
4
3
依题意，直线 l的方程为 y 2 (x 1)，即 3x 4y 5 0 . …………4分
4
（2） x2 y2 5的圆心 (0, 0)到直线3x 4y 5 0的距离为：
d 5 1 . …………7分
32 42
又圆 x2 y2 5的半径为 r 5，所以 PQ 2 r 2 d 2 4 . …………10 分
方案二选条件②.
（1）因为直线 l过点 5, 5 及 1, 2 ，
x 5 y 5
所以直线 l的方程为 ， …………3 分
1 5 2 5
即 3x 4y 5 0 . …………4分
（2）圆 x2 y2 5的圆心 (0, 0)到直线 3x 4y 5 0的距离为
d 5 1 . …………7分
32 42
又圆 x2 y2 5的半径为 r 5，所以 PQ 2 r 2 d 2 4 . …………10 分
18. 解（1）设等差数列的公差为 d，
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
a2 a1 d 11 a1 d 11由题意可得 S 10a 10 9
，即 ， …………2 分
10 1 d 40 2a 9d 8 2 1
a1 13解得 ， …………4 分
d 2
所以 an 13 2 n 1 15 2n， …………6 分
（2 n）因为 13 15 2n Sn 14n n 2 ，2
令 a 15 2n 0 15，解得 n ，且 *， …………8 分n 2 n N
当 n 7时，则 an 0，
可得Tn a1 a2 an a1 a2 a S 14n n
2
n n ； …………10 分
当 n 8时，则 an 0，
可得Tn a1 a2 an a1 a2 a7 a8 an
S7 Sn S7 2S7 Sn 2 14 7 7 2 14n n 2 n 2 14n 98 ；
14n n2 , n 7
综上所述：Tn . …………12 分2
n 14n 98, n 8
19. 解：（1）因为点 P 是抛物线上的点，点 F为抛物线的焦点，
那么 P到直线 x 2 0的距离为 d 满足 d | PF | 1． …………2 分
注（这里，不提点 F 为焦点扣 1 分，透彻概念，逻辑推理）
意味着点 PD到焦点（-1.0）的距离与到直线 x 1的距离相等
p
所以抛物线C的准线为 x 1所以 1， p 2 …………4 分
2
所以抛物线C的标准方程为 y2 4x …………6分
（2）当直线 l的斜率不存在时，方程为 x 0，
此时直线 l恰与抛物线C相切 …………8分
当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y kx 1，
y kx 1
联立方程 ，得 k 2 x2 (2k 4)x 1 0y2 4x
若 k 0，显然不合题意（此处 1分，逻辑推理）
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
k 0，则 (2k 4)2 4k 2 16 16k 0，解得 k 1 …………11 分
此时直线 l的方程为 y x 1
综上，直线 l与抛物线C相切时， l的方程为 x 0或 y x 1 …………12 分
20. 解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线 x+3y+4 2 =0的距离 d＝r，
4 2
r d 4 5
10 5 ， …………2分
16
所以圆 C的方程为 x2+y2 ； …………4 分
5
（2）①解：连接 OA，OB，
因为 PA，PB是圆 C的两条切线，
所以 OA⊥AP，OB⊥BP，
SOAPB 2S
4 5 2 16 ． …………6 分
OAP OA PA PO 5 5
当 PO取最小值为 8时， S 4 5 16 16 19 ； …………8 分OAPB 64 min 5 5 5
②证明：由①得，A，B在以 OP为直径的圆上，
设点 P的坐标为（8，b），b R ，
b
则线段 OP的中点坐标为（4， ），
2
2
所以以 OP为直径的圆方程为 (x 4)2 (y b)2 16 b ， …………10 分
2 4
即 x2+y2﹣8x﹣by＝0．
因为 AB为两圆的公共弦，
x2 y2 16
所以由 5
2 x y
2 8x by 0
得直线 AB的方程为8x by 16 ，b∈R，
5
即 8(x 2 )+by＝0，
5
2
则直线 AB恒过定点( ，0)． …………12 分
5
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
b 2 a 3
21. 解：（1）由题意可得
2 2
a b c2 ，解得 b 2 ， …………2 分
c 5 e
c 5
a 3
2 2
所以椭圆方程为 y x 1 . …………3分
9 4
（2）由题意可知：直线 PQ的斜率存在，设 PQ : y k x 2 3, P x1 , y1 ,Q x2 , y2 ，
y k x 2 3
联立方程 y2 x2 ，消去 y得：
1 9 4
4k 2 9 x2 8k 2k 3 x 16 k 2 3k 0，
则Δ 64k 2 2k 3 2 64 4k 2 9 k 2 3k 1728k 0，
解得 k 0，
16 k 2 3k
可得 8k 2k 3 x x ,x x ， …………6分1 2 4k 2 9 1 2 4k 2 9
y
因为 A 2, 0 ，则直线 AP : y 1 x 2 ，
x1 2
2y
令 x 0，解得 y
2y
1 ，即M 0, 1 ,x1 2 x1 2
2y2 同理可得 N 0, ， …………8 分
x2 2
2y1 2y 2
则 x1 2 x2 2 k x1 2 3
k x2 2 3
2 x1 2 x2 2
kx1 2k 3 x2 2 kx2 2k 3 x 1
2
x1 2 x2 2
2kx1x2 4k 3 x1 x2 4 2k 3
x1x2 2 x1 x2 4
32k k 2 3k 8k 4k 3 2k 3
2 4 2k 3
4k 9 4k
2 9 108 3，
16 k 2 3k 16k 2k 3 36
2 44k 9 4k 2 9
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
所以线段 PQ的中点是定点 0,3 . …………12 分
22. 解：（1）因为 (| PF1 | | PF
2
2 |) 16，所以 || PF1 | | PF2 || 4
由双曲线的定义知： 2a 4， a 2
c 5
又因为 e ，所以 c 5，所以 b2 c2 a2 1 …………1 分
a 2
2
所以双曲线C 的方程为 x y2 1 . …………2分2 4
（2）（i）设 A x1 , y1 ， B x2 , y2 ，直线 AB的方程为 x ty 4，
x ty 4
由 x2 ，消元得2 t 2 4 y2 8ty 12 0 .
y 1 4
y y 8t 1 2
2
则 t 2， t 4 16t2 192 0，且 ， …………3分
y 12
1
y2 t 2 4
y1
k x 2 y x 2 y ty 2 ty y 2y
所以 AM 1 1 2 1 2 1 2 1
kBN y2 x1 2 y2 y2 ty1 6 ty1y2 6y2
x2 2
ty1 y2 2 y 1 y2 2y2 …………5分
ty1 y2 6y2
12t 16t 2y 4t2 2y
t 4 t
2 4 2 t
2 4 2 1 ；
12t
2 6y
12t
2 2 6y
3
t 4 t 4 2
y
或由韦达定理可得 1
y2 2t 3，即 ty
y y 3 1
y2 y1 y2 ，
1 2 2
y1 3
k x 2 y x 2 y ty 2 ty y 2y y1 y2 2y1
故 AM 1 1 2 1 2 1 2 1 2
kBN y2 x1 2 y2 y2 ty1 6 ty1y2 6y2 3 y1 y2 6yx2 2 2
2
y1 3y 1 2 ，
3y1 9y2 3
k 1即 与 k 的比值为定值 . …………7 分AM BN 3
（ii）设直线 AM： y k x 2 ，代入双曲线方程并整理得：
1 4k 2 x2 16k 2 x 16k 2 4 0 1 4k 2 0 ，
由于点 M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 2，
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
2 2 4k 2 1
由韦达定理得： 2x 16k 4 ，解得 .A 1 4k 2 xA 1 4k 2
2 4k 2 1
因为点 A在双曲线的右支上，所以 xA 2 0，1 4k
1
解得 k ,
1
，即 k
1 , 1 ，
2 2 AM 2 2
1 1
同理可得 k BN , 2
, ， …………8 分
2
1 1
由（2）中结论可知 kBN 3k
, AM ,
，
2 2
得 k 1 1 , , 1 1 1 1AM ，所以 k
, , AM ，
6 6 2 6 6 2
w 2 2故 k 2 2AM kBN kAM 3kAM k 2AM 2k ，3 3 AM
设 h x x2 2x，其图象对称轴为 x 1， …………10 分
则 h x 1 1 1 1 x2 2x在 , ， , 上单调递减，
2 6 6 2
h x 3 , 11 13 5故 4 36 ,
，
36 4
故w k 2 2
3 11 13 5
AM kBN 的取值范围为
, , …………12分3 4 36 36 4
{#{QQABIYSQggCoAAAAAQgCUwUwCgGQkAGCCIoOBEAEMAABwBFABAA=}#}
