绝密★考试结束前
2023学年第一学期台州山海协作体期中联考
高二年级数学学科试题
命题学校：玉城中学、平桥中学 审题学校：城峰中学
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．0
2.已知双曲线C：，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3.平面的一个法向量为，一条直线l的方向向量，则这条直线l与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在四面体OABC中，，，点M在OA上，且M，N分别为OA，BC中点，则（ ）
A． B． C． D．
5.设，，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（ ）
（第7题图）
A． B．9 C． D．
8．如图，已知，是双曲线C：的左 右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ）
（第8题图）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D．平面内满足的动点P的轨迹为圆
10.正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点．则正确的是（ ）
A．
B．平面AEF
C．点B、C到平面AEF的距离相等
D．若P为底面ABCD内一点，且，则点P的轨迹是线段
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．题中的“欧拉线”的方程为：
B．圆M上的点到直线的最小距离为
C．若点在圆M上，则的最大值是
D．若圆M与圆有公共点，则
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．平面PAD⊥平面ABCD B．二面角P-BC-A的大小为30°
C．异面直线AD与PB所成的角为90° D．三棱锥P-ABD外接球的表面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线：，直线：，若，则 .
14.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为 .
15.已知点，，则满足点A到直线l的距离为2，点B到直线l距离为3的直线l的条数有
条.
16.已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，则动点T的轨迹方程为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题共10分）
已知△ABC的三个顶点是，，．
（1）求边AB上的中线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
18．（本小题共12分）
如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．
19.（本小题共12分）
在直三棱柱中，，D，F分别是，的中点，，
（1）求证：平面；
（2）求异面直线BD与AF所成角的余弦值；
（3）求直线AF与平面所成角的正弦值.
20.（本小题共12分）
已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心C的轨迹的方程.
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．（本小题共12分）
如图，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知，四边形ABCD是菱形，，，，．
（1）求证：平面ABCD．
（2）点P为直线上的动点，求平面PAB与平面所成角的余弦值的取值范围.
22.（本小题共12分）
已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.
（1）写出抛物线焦点及准线方程；
（2）求弦AB长的最小值；
（3）若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值.
2023学年第一学期台州山海协作体高二期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题老师：金晓蓬：13968479612 李飞红：15906868112 罗明月：17858961525
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B A C B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD AC ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.，1 14. 15.3 16.（）（算出就给5分）
8.【详解】延长与双曲线交于点P＇，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
16.由题知MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，
联立方程组，
消x整理得，，
设、，
则，.
因为AM的方程为，AN的方程为
两直线方程联立得：
因为.
所以，解得.
所以动点T的轨迹方程为（）
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）
∵，，
∴AB中点为，
所以中线斜率为，由，（两点式同等给分）
得边AB上的中线所在直线的方程为：.
（2），
边AB所在的直线方程为：，点到直线AB的距离
所以（公式1分，结果1分）
18.
（1）由已知，，．（A、B两点写对一个就给分）
解法1：
设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得
解得，
∴圆C的方程为
解法2：
设圆C方程为，将O，A，B三点代入得
解得，
∴圆C的方程为
（2）由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为．
∴海船行驶路线l:即
（斜率对1分，直线方程对2分）
圆心到l的距离
（圆心对给1分）
∵，
∴没有触礁危险．
19.
（1）∵D，F分别是，的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（坐标法同等给分）
（2）解法1：取BC中点E，连接EF，
∵中，且；
又∵，且，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴，
∴∠AFE是异面直线BD与AF所成角或补角。
，，，，
∴，
∴异面直线BD与AF所成角的余弦值为.
解法2：如图所示，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。
∴，，，，，，，
（建系有点坐标就给两分）
∴，，
设异面直线BD与AF所成角为，则，
∴异面直线BD与AF所成角的余弦值为.
（3），，设平面的一个法向量为，
，即，取，则，，（公式对就给2分）
设直线AF与平面所成角为，
∴直线AF与平面所成角的正弦值为.（公式对就给1分）
20.
（1）设动圆圆心，设C到直线的距离为d，则，
∴点C的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
设抛物线方程为：，由，得，
∴点C的轨迹方程为：.（单答案只给2分）
（2）设，，，
∵，显然直线AB斜率存在，
∴设直线AB的方程为：
，消x得：
，
设OA的斜率为，OB的斜率为，
∵
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线AB的方程为：，即，恒过定点
（其他解法同等给分）
21．
（1）证明：在三棱柱中，
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，
又∵
∴平面ABCD
（2）连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴
以O为原点，OA，OB为x，y轴，向上方向为z轴建立空间直角坐标系，
则，，设
∴，，
设为平面PAB的一个法向量，
由，得，
取，则.
∵是平面的一个法向量，
设平面PAB与平面所成角为
∴.
平面PAB与平面所成角的余弦值的取值范围为.
22.
（1）由题意得，
∴，焦点，准线方程为.
（2）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为，
证明如下：由于点在抛物线上，则，
联立，消去x得，，即，
所以，关于y的方程有两个相等的实根，此时，
因此，直线与抛物线相切，且切点为.
设点、，
则以A为切点的切线方程为，同理以B为切点的切线方程为，
∵两条切线均过点，
∴，即，
所以，点A、B的坐标满足直线的方程，
所以，直线AB的方程为，
在直线AB的方程中，令，可得，所以，直线AB过定点；
（二级结论不证不扣分）
由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为，
由，得，
恒成立，
由韦达定理得，，
由弦长公式可得，
当时，弦AB长的最小值为4.
（二级结论不证不扣分）
（3）设点P到直线AB的距离为d，则
设、，
由，得，
恒成立.
由韦达定理得，，
由弦长公式得.
（两个弦长对1个给2分，对2个给3分）
∴，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
