2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期中
数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.（5分）已知，则（ ）
A. B. C.20 D.19
2.（5分）直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
3.（5分）已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A.1 B. C. D.
4.（5分）若圆关于直线对称，则等于（ ）
A.1 B. C. D.
5.（5分）已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.（5分）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.（5分）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.（5分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与相交的另一点为.点在轴上的射影为点，为坐标原点，若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（5分）关于直线，下列说法正确的有（ ）
A.过点 B.斜率为
C.倾斜角为 D.在轴上的截距为1
10.（5分）已知圆心为的圆与点，则（ ）
A.圆的半径为2
B.点在圆外
C.点与圆上任一点距离的最大值为
D.点与圆上任一点距离的最小值为
11.（5分）已知点是椭圆上一点，，是椭圆的左 右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A.的面积为
B.若点是椭圆上一动点，则的最大值为9
C.点的纵坐标为
D.内切圆的面积为
12.（5分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，，，分别为，，的中点，则（ ）
A.若的中点为，则四面体是鳖臑
B.与所成角的余弦值是
C.点是平面内的动点，若，则动点的轨迹是圆
D.过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（5分）若直线与直线平行，则实数的值为___________.
14.（5分）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则___________.
15.（5分）已知圆与圆只有一条公切线，则___________.
16.（5分）已知椭圆的左 右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知直线经过点，.
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程.
18.（12分）已知椭圆，点.
（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；
（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程.
19.（12分）如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）已知圆经过，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
21.（12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱上一点（不含端点）.
（1）当为何值时，；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22.（12分）已知椭圆，点为上的一动点，，分别是椭圆的左 右焦点，的周长是12，椭圆上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值及此时的方程.
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.【分析】由空间向量的数量积坐标公式求得结果.
【解答】解：因为，
所以，
则.
故选：.
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
2.【分析】根据题意，求出直线的斜率，由直线方向向量的定义分析可得答案.
【解答】解：根据题意，直线的斜率，则直线的一个方向向量为；
分析选项，向量与共线，则直线的一个方向向量为，
其他向量都与不共线，不是直线的方向向量.
故选：.
【点评】本题考查直线的方向向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题.
3.【分析】将椭圆方程转化为椭圆的标准方程即可求解.
【解答】解：由椭圆得：，
所以，解得，
所以长轴长.
故选：.
【点评】本题考查了椭圆方程 性质，属于基础题.
4.【分析】求出圆的圆心，代入直线方程，求解即可.
【解答】解：圆的圆心，
，.
故选：.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题.
5.【分析】利用向量坐标运算法则 向量夹角余弦公式直接求解.
【解答】解：因为，，
所以，
又，所以.
故选：.
【点评】本题考查向量坐标运算法则 向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
6.【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.
【解答】解：由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故选：.
【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于基础题.
7.【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.
【解答】解：曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
解得，当点在直线上时，，
可得，
所以实数取值范围为.
故选：.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
8.【分析】由椭圆的性质求解即可.
【解答】解：由题意可得：，，
由，
则，
又点在椭圆上，
则，
即，
即，
故选：.
【点评】本题考查了椭圆的性质，属基础题.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【分析】验证点不适合方程判断；求出直线在轴上的截距判断；化直线方程为斜截式，求得斜率判断；进一步求出直线的倾斜角判断.
【解答】解：对于直线，取时，，故错误；
取时，，即直线在轴上的截距为，故错误；
化直线方程为斜截式：，可得直线的斜率为，故正确；
设其倾斜角为，则，，故正确.
故选：.
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算求解能力，是基础题.
10.【分析】圆的方程配方求得半径可判断，把点的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断，求出圆上的点到定点的距离的最值可判断，
【解答】解：由圆得，知半径为，故错误；
把点代入圆的方程的左边代数式有，所以点在圆外，故正确；
圆心到的距离为，所以圆上任一点到的距离的最大值为，最小距离为；故正确；
故选：.
【点评】本题考查圆的半径的求法与判断圆与点的关系，数形结合法求圆上的点到一定点的距离的最值，属基础题.
11.【分析】由已知求得椭圆的长半轴 短半轴及半焦距，求解三角形判断；设，求出的最大值判断；利用三角形面积相等求解的纵坐标判断；利用等面积法求内切圆的半径，进一步求出内切圆的面积判断.
【解答】解：由椭圆，得，，.
又为椭圆上一点，， 为左 右焦点，
，，
，
，可得
，故正确；
设，则，，
，最大值为5，故错误；
设点纵坐标为，则，得，故错误；
设内切圆的半径为，则，得，
内切圆的面积为，故正确.
故选：.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.
12.【分析】对于：证明四面体各面均为直角三角形；
对于：用向量求解；
对于：先确定是以为长轴的椭球面，又可证所在平面与长轴垂直，可得的轨迹是圆；
对于：用空间向量求出截面与棱的交点，用空间距离计算周长.
【解答】解：连接，，，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以三角形为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以三角形为直角三角形，
又三角形，三角形均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以正确；
以为坐标原点，分别以为，，正半轴建系如图，
则故，，.
故与所成角的余弦值，故正确；
对于选项：因，，所以的轨迹是以，为焦点的椭球面，
又，，，，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点的轨迹是圆，所以正确；
对于选项：设平面的法向量为，
由可取，
设过点，，的平面与交于，与交于，设，，，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，，
所以截面周长为，故错误，
故选：.
【点评】立体几何作截面的方法，可考虑几何法与代数法两个方向：
一是用严格的几何方法作出截面多边形，用到的一些结论方法：
（1）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点.
（2）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点.
（3）两个平面平面被截面截得的两线平行.
二是用空间向量坐标法求特殊点的位置，由这些点连成截面，具体方法步骤：
（1）设特殊位置点的坐标.
（2）求出截面的法向量.
（3）利用截面内的线一定与法向量垂直求得特殊点的坐标.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【分析】直接利用直线平行的充要条件求出的值.
【解答】解：由于直线与直线平行，
故，解得或；
当时，两直线重合，
故.
故答案为：.
【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.
14.【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标进行求解即可.
【解答】解：设平面的法向量，3，为，
因为，
所以，
所以有.
故答案为：.
【点评】本题考查空间向量判定直线与平面位置关系，是基础题.
15.【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解.
【解答】解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，所以，即，
所以.
故答案为：16.
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.
16.【分析】由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，设直线，则联立椭圆方程与直线，化简整理即可求解.
【解答】解：如图所示，由椭圆定义可得，，设的面积为，的面积为，
由题意得，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得
，
令，则，
当时，有.
故答案为.
【点评】本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【分析】（1）先求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
（2）由直线与直线垂直，求出直线的斜率，得到直线存在斜率，设直线的方程为，由此能求出结果.
【解答】解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为.
（2）因为直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
所以直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
所以直线的方程为即.
【点评】本题考查直线的斜率 直线方程 直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
18.【分析】（1）结合椭圆的性质求解；
（2）由直线与椭圆的位置关系，结合直线方程的求法求解.
【解答】解：（1）已知椭圆，点，
则椭圆的左焦点是，上顶点，
方程为，
即，
点到直线的距离.
（2）已知点是椭圆的弦的中点，
设
则，，
又，，
，
，
直线的方程为，
即.
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题.
19.【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.
【解答】（1）证明：面，面，
，
又，，
平面.
（2）解：取的中点为，则，，两两垂直，
以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系如图，
则，
设面的法向量为，
，则
令，则，.
又面，面的法向量，
，
又二面角的平面角为锐角，余弦值为.
【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，是中档题.
20.【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果.
【解答】解：（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
【点评】本题考查圆的方程与直线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题.
21.【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，，表示出点的坐标，由，求出的值，即可得解；
（2）求出平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，即可得解.
【解答】解：（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
所以，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，则，
设直线与平面所成角为，则
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法处理线线垂直，求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感 逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
22.【分析】（1）根据题意，列出方程，解之即可求出结果；
（2）过点的动直线的方程为：，，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可.
【解答】解：（1）由题意得，解得：，，，
椭圆的方程是：.
（2）设，，
联立消去得：由题意可知：点，
所以
令，则，所以，，易知在单调递增，
所以当，，此时，所以直线的方程为：.
【点评】本题主要考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.
