徐州一中2022级高二第一学期期中考试
数学试卷
（满分：150分 时长120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
2. 通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A. B. 3 C. D. 6
3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
A. 1 B. C. 2 D. 3
4. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则
A B. C. D.
5. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（ ）
A 10米 B. 20米 C. 米 D. 米
6. 若圆上恰有三点到直线距离为2，则的值为
A. 或2 B. 或 C. 2 D.
7. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分.
9. 已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（ ）
A B. 1 C. D.
10. 若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若曲线为双曲线，则或
B. 若曲线为椭圆，则
C. 曲线可能圆
D. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
11. 如图，已知椭圆的左 右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值 B.
C. D. 的最大值为
12. 已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若直线的斜率为2，则的面积为12
B. 的最小值为
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为等差数列的前n项和，且满足，，则_______.
14. 已知直线截圆所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则__________．
15. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为______．
16. 若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求满足不等式的的值.
18. 已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求满足的点P的轨迹方程．
19. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．
20. 已知抛物线C： y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B, 且
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足.证明直线过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.
21. 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.
22. 已知如图椭圆的左右顶点为、，上下顶点为、，记四边形的内切圆为．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M、N两点，试求三角形面积的最小值．
徐州一中2022级高二第一学期期中考试
数学试卷
（满分：150分 时长120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为
所以其倾斜角为
故选：D
2. 通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.
故选：B
3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．
【详解】双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为：，
双曲线的焦点到渐近线的距离：．
故选A．
【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．
4. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，
，选C．
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．
5. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为（ ）
A. 10米 B. 20米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的标准方程，即可解出．
【详解】解：建立如图的坐标系，
依题意，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，根据双曲线的对称性，点与点的纵坐标互为相反数，所以，则
由题意可知，，，，
设双曲线方程为：，
，解得，，
，
故选：．
6. 若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为
A. 或2 B. 或 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，
若圆上恰有三点到直线的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即，解得k=
故选D
7. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
8. 已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的中点为，中垂线与轴交于点，将代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出点坐标，由此可得直线方程，求得点坐标，由在线段上可构造的齐次不等式求得结果.
【详解】设的中点为，中垂线与轴交于点，
设，，
由得：，
，，
，
，，直线方程为：，
令，解得：，即，
在线段上，，整理可得：，即，
又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分.
9. 已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】当三条直线交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值
【详解】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为，
所以，得，
当直线与平行时，，得，
当直线与平行时，，得，
所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形，
故选：ACD
10. 若方程所表示曲线为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若曲线为双曲线，则或
B. 若曲线为椭圆，则
C. 曲线可能是圆
D. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用方程表示双曲线求解的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在轴上的椭圆求解可判断D.
详解】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；
对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；
对于C，当时，方程表示圆，故C正确；
对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；
故选：ACD
11. 如图，已知椭圆的左 右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值 B.
C. D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】设点的坐标为，，而，从而可求出直线的斜率，进而可得直线的方程，令，求出的值，可得点的坐标，然后可求出的斜率，进而可对选项A，B，C进行判断，求出直线，的方程，两方程联立可求出点的坐标，从而可表示出的长，进而可判断其最值
【详解】解：椭圆的左右顶点分别，
因为点在椭圆上，所以设点的坐标为，，
对于A，，所以A正确；
对于B，因为，
所以直线为，令，得，所以点的坐标为，所以，所以，所以B正确；
对于C，因为，所以，所以，所以C正确；
对于D，直线为，直线为，
由两直线的方程联立方程组，解得，
所以点的坐标为，
因为，
所以
当时，
所以的最大值为错误，
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点的坐标为，，然后求出直线的斜率，直线的方程，从而可求出点的坐标，再分析判断即可，属于中档题
12. 已知抛物线：，过点的直线交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若直线的斜率为2，则的面积为12
B. 的最小值为
C.
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式，即可判断ABC,利用斜率关系得，进而得，即可判断D.
【详解】若直线的斜率为2，则直线的方程为，即，设，，由 得，所以，，
所以的面积，故A错误；
由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
由得，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；，同理，可得，则
，故C错误；
，即，
所以，故D正确．
故选:BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为等差数列的前n项和，且满足，，则_______.
【答案】92
【解析】
【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
所以.
故答案为：
14. 已知直线截圆所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则__________．
【答案】0或##或0
【解析】
【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求.
【详解】由可知圆心为，半径为2，
设直线与圆交于A、B两点，又直线截圆所得两段圆弧的弧长之比为1：2，
∴，
∴圆心到直线的距离为半径的一半，
∴，解得或.
故答案为：0或.
15. 设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】不妨设点在第一象限，得，，，的坐标，再由，得，根据向量的数量积运算，得a，b，c的关系，从而可得答案.
【详解】解：不妨设点在第一象限，则，，，，所以，．
因为，所以，所以，又，所以整理得，
所以该双曲线渐近线的斜率．
故答案为：.
16. 若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为________________.
【答案】80
【解析】
【分析】位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程联立直线和抛物线得到横坐标，，由点点距公式得到根据点线距离公式得到，联立两式得到a的最值，进而得到面积最值.
【详解】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得
令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
联立两式解得或
故答案为80.
【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求满足不等式的的值.
【答案】（1）；（2）2，3，4.
【解析】
【分析】(1) 设数列的公差为,再根据基本量方法求解即可.
(2)先根据等差数列的求和公式求解,再利用二次不等式的方法求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为,
由,得①.
由,得②,
解得,,所以；
（2）因为,,所以,
由不等式得,
所以,解得,因为,所以的值为2,3,4.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量法运用以及求和等,属于基础题.
18. 已知圆C：与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）求满足的点P的轨迹方程．
【答案】（1），半径为1
（2）
【解析】
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，根据与轴相切求出可得；
（2）设，根据已知结合距离公式可求出.
【小问1详解】
圆方程可化为，
因为圆与轴相切，所以，解得，
所以圆心为，半径为1；
【小问2详解】
设，
则，
，
因为，所以，
即，
化简可得点P的轨迹方程为.
19. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）， .
【解析】
【分析】（1）根据所给的条件，即可求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，
依题意可得，又，所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
根据题意，设点，，
联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，
，即得，，
由弦长公式可得，
由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，，
所以，
当且仅当，即时，面积取得最大值为，
此时直线的方程为.
20. 已知抛物线C： y2=2px (p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B, 且
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不经过坐标原点O的直线与抛物线C相交于不同的两点M，N, 且满足.证明直线过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可得直线AB方程，进而可得，可求得p值，即可得答案.
（2）设直线l的方程为，，，联立直线与抛物线，根据韦达定理，可得，表达式，根据，可得，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案.
【小问1详解】
由已知A，B两点所在的直线方程为
则，故．
抛物线C的方程为．
【小问2详解】
由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为，，，
联立，消去x，得．
，，，
，，
又，，
，
解得或而，
此时
直线l的方程为，
故直线l过定点．
21. 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；
（2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可．
【小问1详解】
∵虚轴长为4，
∴，即，
∵直线为双曲线C的一条渐近线，
∴，∴，
故双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
由题意知，，，
由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
．
22. 已知如图椭圆的左右顶点为、，上下顶点为、，记四边形的内切圆为．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M、N两点，试求三角形面积的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）因为、分别为椭圆的右顶点和上顶点，
则，坐标分别为，可得直线方程为：，
则原点O到直线的距离为，即圆的半径，
故圆标准方程为．
（2）设直线方程为，由直线与圆相切，可知原点O到直线距离，整理可得，将直线方程代入椭圆可得
，
整理即有，
则，
即，故．
同理，故M、O、N三点共线，则．
设代入椭圆方程可得，则，
故，
同理，则
，
则，得，
则，当且仅当时等号成立，
故三角形面积的最小值为．
