2023/2024 学年度第一学期第二次阶段检测试卷
高三数学
班级______ 姓名_______学号______ 成绩________
一.选择题: 共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项.
2
1．已知集合P ={ x | x 4}， N ={m}，若P M = M ，则m 的取值范围是
A. ( ,2 B. 2,2 C. 2,+ ) D. (- ，2 2，+ )
2．已知m,n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若m∥ ,n∥ ，则m∥n B．若m∥ ,m∥ ，则 ∥
C．若 ⊥ ,m⊥ ,m ，则m // D．若 ⊥ ,m ，则m⊥
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+ )上单调递增的是
x
3 2 2 , x 0
A． y = x B． y = x +1 C． y = log2 x D． y = 2 x , x 0
4.已知直线 l1 : mx + 2y 1= 0与直线 l2 : x+ (m 1) y m = 0平行，则m 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
2 2
5．已知圆O : x + y =1，过直线3x + 4y 10 = 0 上的动点P作圆O的一条切线，切点为 A，则 PA
的最小值为
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
6．关于函数 f (x) = sin x xcos x，下列说法正确的是
A． f (x)是偶函数 B．0 是 f (x)的极值点
C． f (x)在 ( , )上有且仅有1个零点 D． f (x)的值域是 1,1
2 2
7．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上
袤二丈，无广，高一丈。意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底
面宽 3丈，长 4丈，上棱长 2 丈，高 1丈.现有一刍甍，如图所示，则该刍甍
的体积为
A. 5立方丈 B. 20立方丈 C. 40立方丈 D. 80立方丈
8．已知a 和b 是两个互相垂直的单位向量，c = a+ b( R)，则“ =1”是“ c 和a 夹角为 ”
4
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知 A, B为双曲线E的左，右顶点，点 M 在双曲线E上，满足 ABM 为等腰三角形，顶角
为120 ，则双曲线E的离心率为
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
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10．如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为2，点O为底面 ABCD的
中心，点 P 在侧面BBC C 的边界及其内部运动.若DO⊥OP，则 1 1 1
△ D C P面积的最小值为 1 1
2 5 4 5
A． B． C． 5 D． 2 5
5 5
二.填空题: 共 5小题，每小题 5分，共 25 分.
1
11．已知抛物线C : y2 = ax的准线方程为 x = ，则a = .
8
x2 y2 3
12．已知双曲线 =1(a 0,b 0) 的两条渐近线方程为 y = x，若焦点到渐近线的距离
a2 b2 3
为 1，则双曲线方程为___________．
π
13．函数 f (x) = sin2x的图像向左平移_______个长度单位得到函数 g(x) = sin(2x + ) 的图像，若
4
函数 g(x)在区间 (0,a)单调递增，则 a 的最大值为_______
14．北京 2022 年冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建
一个面积为8m2 的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全
等的矩形宣传栏(如图所示)，要求上下各空 0.25m，左右各空 0.25m，
相邻宣传栏之间也空 0.25m.设三个宣传栏的面积之和为 S (单位:
m2 )，则 S 的最大值为 2 m .
sin x, x 0,2
15.对于函数 f (x) = 1 ，下列 4个结论正确的是 .
f (x 2) , x (2,+ )
2
①任取 x , x 0,+ )，都有 f (x1 ) f (x2 ) 21 2 ；
② f (x) = 2kf (x + 2k) (k N )，对一切 x [0,+ )恒成立；
③若关于 x 的方程 f (x) =m(m 0)有且只有两个不同的实根 x , x ，则 x1 + x2 = 31 2 ；
④函数 y = f (x) ln(x 1)有 5 个零点.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
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16.(满分 14分)
如图，在四边形 ABCD中， D = 2 B，
3
且 AD =1,CD = 3,cos B = .
3
（1）求 AC 的长；（2）若_________；求△ABC 的面积.
从①BC = 6 ；② BCA = 这两个条件中任选一个，补充在上
3
面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17. (满分 14分)
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥面 ABCD， AB CD，且
CD = 2, PA = AB = BC =1, AB ⊥ BC .
（Ⅰ）求证： AD ⊥ PC；
（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB的夹角；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M ，使得直线PC 与平面
ADM 垂直，如果垂直，求此时点M 到平面PCD的距离，
如果不垂直，说明理由.
18. (满分 14分)
智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，
使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误
差. 对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温
准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.
现在某社区随机抽取了 20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
序 智能体温计 水银体温计 序 智能体温计 水银体温计
号 测温（ C） 测温（ C） 号 测温（ C） 测温（ C）
01 36.6 36.6 11 36.3 36.2
02 36.6 36.5 12 36.7 36.7
03 36.5 36.7 13 36.2 36.2
04 36.5 36.5 14 35.4 35.4
05 36.5 36.4 15 35.2 35.3
06 36.4 36.4 16 35.6 35.6
07 36.2 36.2 17 37.2 37.0
08 36.3 36.4 18 36.8 36.8
09 36.5 36.5 19 36.6 36.6
10 36.3 36.4 20 36.7 36.7
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区 1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率. 从该社区中任意抽查 3 人用智能体温计测量体温，设随机变量 X 为使用
智能体温计“测温准确”的人数，求 X 的分布列与数学期望；
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（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3 C且不高于38 C时处于“低热”状态. 该社区
某一天用智能体温计测温的结果显示，有 3人的体温都是37.3 C，能否由上表中的数据来认定这
3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由.
19. (满分 14分)
已知椭圆C : x2 +3y2 = 6的右焦点为F .
（Ⅰ）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）直线 l : y = kx+m(k 0)过点F ，且与椭圆C 交于P，Q两点，如果点P关于 x 轴的对
称点为P '，判断直线P 'Q是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说
明理由．
20. (满分 15分)
ln x
已知函数 f (x) = 2 ，其中a 为常数. (x + a)
（Ⅰ）若a = 0，求函数 f (x)的极值；
（Ⅱ）若函数 f (x)在 (0, a) 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若a = 1，设函数 f (x)在(0,1)上的极值点为 x0 ，求证： f (x0) 2 .
21. (满分 14分)
对于向量 X0 = (a0 ,b0 ,c0 )，若 a0，b0，c0 三数互不相等，令向量 X i+1 = (ai+1,bi+1,ci+1)，其
中ai+1 = ai bi ，bi+1 = bi ci ，ci+1 = ci ai ， i = 0,1,2,3, .
（Ⅰ）当 X0 = (5,2,1)时，试写出向量 X100 ；
（Ⅱ）证明：对于任意的 i N ，向量 X i 中的三个数ai ，bi ，ci 至多有一个为 0；
（Ⅲ）若a0 ,b0 ,c0 N ，证明：存在正整数 t ，使得 X t = X t+3
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