定边县第四中学2024届高三上学期期中考试
理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（30%），数列、不等式（70%）。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知平面向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为，则当时需要的天数至少为（ ）
A.34 B.35 C.36 D.37
参考数据：
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7.若，满足不等式组，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.2
8.已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
9.已知数列满足，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知定义在上的奇函数在上单调递减.若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列的前项和为，且，若，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
12.已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列中，，，则________.
14.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________.
15.数列1，，1，，，1，，，，1，，，，，1，，，（即在第个1与第个1之间插入个），若该数列的前2022项的和为7899，则________.
16.已知，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知.
（1）若不等式的解集为，求实数，的值；
（2）解关于的不等式.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
已知等比数列的公比大于1，且满足，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
记的内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求角；
（2）若，，点在线段上，且，是线段中点，与交于点，求.
21.（本小题满分12分）
如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上.
（1）设，，求关于的函数关系式；
（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）设是的导函数，求在上的最小值；
（2）令，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
定边县第四中学2024届高三上学期期中考试
理科数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 由题意知，，所以，所以.故选B.
2.A 据题意，得，所以，所以.故选A.
3.C 因为，所以；令，，则；令，，则.故选C.
4.D 设第轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，所以，解得，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为.故选D.
5.A 因为，所以，所以函数为奇函数，排除选项C，D；又当时，，所以排除B.故选A.
6.B 由，得，所以
，所以.故选B.
7.B 作出不等式组表示的平面区域，易知表示平面区域内的点点的距离的平方.据题设分析知，的最小值为点到直线距离的平方，即为.故选B.
8.B 由题意，得，.法一：，当且仅当，即，时，的最小值为5.故选B.法二：由，得，则，当且仅当，即，时，的最小值为5.故选B.
9.D 据题设知，对一切恒成立，所以对一切恒成立，即对一切恒成立.又当时，，所以，所以所求实数的取值范围是.故选D.
10.A 根据奇函数的性质，得在上单调递减，且；由，得，即，所以，解得.故选A.
11.C 当时，，解得；当时，和两式相减，得，即，则数列是首项为16、公比为的等比数列，即各项依次为16，4，1，，，，，所以，，，结合，得的取值集合是.故选C.
12.D 当时，，得；
当时，，，两式相减得，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.因为，所以.
又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由，得，
所以，
所以.
又，所以，所以，
即对恒成立，
当为偶数时，，所以，
令，则数列是递增数列，所以；
当为奇数时，，所以，
所以，所以.
综上，实数的取值范围是.故选D.
13.3 ，所以，所以.
14. 因为等差数列，的前项和分别为，，且，所以，，又，，所以，，所以.
15.4 由题意知时，所以截止到第个1，数列共有项，当时，有项，所以前2022项中含63个1，其余的均为，故该数列前2022项的和为，解得.
16.12 ，当且仅当，时取“=”，即，时“=”成立，所以的最小值为12.
17.解：（1）因为的解集为，
所以1，3是方程的两根，……………………………………2分
所以解得，…………………………………………4分
（2）由题意知，
所以，
方程的两根分别为1，，………………………………5分
①当，即时，解得，故的解集为；……6分
②当，即时，解得或，故的解集为，或；…………………………8分
③当，即时，解得或，故的解集为，或.…………………………10分
18.解：（1）设等差数列的公差为，则，，.
因为是与的等比中项，
所以，………………………………2分
即，
化简得，……………………………………3分
解得或（舍），…………………………………………………4分
所以.……………………………………………………6分
（2）由（1）知，，
所以，……………………8分
所以
.………………………………………………………………12分
19.解：（1）设的公比为，依题意，得……………………2分
两式相除，得，整理得，结合，解得，………………4分
所以，所以.………………………………………………6分
（2）由（1）知，所以，从而，………………7分
所以，①
两边同乘以3，得，②………………………..9分
由①-②，得-，
所以.…………………………………………………………12分
20.解：（1）由余弦定理，得，所以.……2分
再由正弦定理，得.…………………………………………4分
因为，所以，又是三角形内角，所以.………………5分
（2）由余弦定理，得，
所以.……………………………………………………………………7分
因为，所以.
以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以，.………………………………………………………………10分
即为与的夹角，
所以.……………………………………12分
法二：用解三角形相关知识，求出，的正，余弦值，然后利用内角和为转化即可.
21.解：（1），∴，∴，∴.……3分
在中，，
所以.…………………………………………6分
（2）由（1）知，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.此时，且.……………………………………8分
令，则，，易证在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以.…………………………………………………………10分
所以.
所以的最大值为.此时与过点或过的高线重合.……………………12分
22.解：（1）由题意，得，……………………………………………………1分
令，则，
因为当时，，所以，
所以，即在上单调递增，………………………………………………3分
所以在上的最小值为.…………………………………………4分
（2）因为对于任意的恒成立，且，
又，所以.
①若，则.
令，则，显然在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增.………………………………5分
当，即时，，又，易证，所以，所以，使，
所以在上，所以在上单调递减，
所以对，，不合题意.…………………………………………7分
当，即时，，所以，所以在上单调递增，
所以，，符合题意，所以.………………………………8分
②若，只需证明当时，即可.
法一：由题意知，又因为，
所以，…………………………9分
令，则
.
因为，所以，所以，
因此，在上为增函数.………………………………………………10分
所以当时，，可得，
所以在上单调递增，
所以，即当时，在上恒成立.
故此时也符合题意.…………………………………………………………11分
综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………12分
法二：令，则，
令，则，显然在上单调递增，
又（因为，所以，即，，
所以存在，使得.……………………………………9分
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
的极小值为，又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，……………………………………10分
所以的极大值为，而，，
所以在上单调递增，
从而，即在上恒成立，
故此时也符合题意.…………………………………………………………11分
综上所述，实数的取值范围是.…………………………………………12分
