九年级第一学期学习评价
数学（2）
满分：120分
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
B、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2. 已知矩形的对角线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，且对角线，
，
故选D．
3. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般式的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式是解题的关键．
4. 具有四条边都相等的性质的四边形是（ ）
A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据“菱形的四边相等”即可求解．
【详解】解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形，
故选：D．
5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
实验次数 100 500 1000 2000 4000
频率 037 0.32 0.345 0339 0.333
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格数据，得出某一结果发生的概率大约为，在结合选项判断，哪个选项最接近，进而即可得出答案．
【详解】解：由表格数据，可知某一结果发生的概率约为，
∵，，，，
∴与最接近的是，
∴该结果发生的概率约为．
故选：B
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值是事件的概率．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根 D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据根的判别式的值进行判断即可．
【详解】解：依题意，因为一元二次方程，
所以，
∴方程有两个不相等实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
7. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 1.5cm D. cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据含30°直角三角形的性质求出AB，再根据直角三角形斜边中线的性质得出答案．
【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，AC=cm，∠B=30°，
∴AB=2AC=2cm，
∴AB边上的中线CD=AB=cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得：，
∴方程的另一个根是0，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，；是解本题的关键．
9. 2023年12月13日，是我国第十个南京大屠杀死难者国家公祭日．某地从《南京！南京！》《东京审判》《屠城血证》三部影片中随机选取两部进行展播，则恰好展播《南京！南京！》《东京审判》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：将《南京！南京！》，《东京审判》，《屠城血证》三部影片分别标记为，，，
从中随机选取两部的可能结果有：，，，共3种可能，
则恰好展播《南京！南京！》《东京审判》的概率，即选取的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的定义，熟练概率公式的应用是解题的关键．
10. 如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】利用三个角等于直角的四边形是矩形，即可证明．
【详解】解：因为四边形是平行四边形，
所以，
则，，
因为、、、分别是、、、的角平分线，
所以，，
所以，
在中，，
即；
在中，，
即；
在中，，
即；
所以四边形是矩形
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的判定，涉及到三个角是直角的四边形是矩形、平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，难度适中．
11. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵2、3月的总营业额为1000万元，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，，F为AB上一点，，P为AC上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作E关于直线AC的对称点，连接，则PF+PE的最小值为的长，过F作FG⊥CD于G，在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：作E关于直线AC的对称点，连接，则PF+PE的最小值为的长，
过F作FG⊥CD于G，
在中，
=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
二．填空题．（每题3分，共12分）
13. 方程的根为________．
【答案】，
【解析】
【分析】将方程化为()，对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解．
【详解】解∶，
或，
，．
故答案：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解法是解题的关键．
14. 为了解某地南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟只有10只戴着识别卡，由此可估计该湿地有______只A种候鸟．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了样本估计总体，在样本中“200只中有10只戴有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则，
解得．
故答案为：．
15. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，固定边，向左“推”矩形使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】由点的坐标为，可知，将矩形向左“推得，根据勾股定理可得的长，由点在第二象限即可写出点的坐标．
【详解】∵点的坐标为，
．
∵向左“推”矩形后得，
，
．
∵点在第二象限，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的概念、勾股定理、矩形的性质．推动矩形后的长度不变是解题的关键．
16. 在中，分别为边上的点，若四边形为正方形，则的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，根据题意画出图形，设则，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】如图所示，设则
因为四边形为正方形
所以
在中，根据勾股定理可得
解得或．
故答案为：或．
三．解答题．（本大题12个小题，共72分）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 解方程：(x＋3) ＝2(x＋3)；
【答案】
【解析】
【分析】运用因式分解法将原式分解因式,得出(x+3)(x+1)=0,即可得出答案.
【详解】解: (x＋3) ＝2(x＋3)
(x＋3) - 2(x＋3)=0,
(x+3)(x+1)=0,
x+1=0,或x+3=0,
解得:=-1,=-3.
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程,根据已知将原始分解为两式相乘等于0是解决问题的关键.
19. 用配方法求证：代数式的值恒为正数．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了配方法，将代数式配方，根据非负数的性质即可求解．
【详解】证明：，
原代数式的值恒为正数．
20. 已知的两边的长是关于的方程的两个实数根，当为何值时，四边形是菱形？写出解题过程．
【答案】当时，四边形是菱形．
【解析】
【分析】根据菱形的邻边相等可知方程有两个相等的实数根，利用根的判别式计算即可．
【详解】解：若是菱形，
∴，
∵的长是关于的方程的两个实数根，
∴，
整理得：，
解得：．
∴当时，四边形是菱形．
21. 如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，作分别交AB、BC于点E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长是多少？
【答案】5
【解析】
【分析】证明，则BE=CF，在中由勾股定理即可求得EF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，AB=BC，， ， ，
∵OE⊥OF，
，
，
在△BEO与△CFO中
，
，
∴BE=CF=3．
∴AB BE=BC CF．
即BF=AE=4．
∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明两个三角形全等是关键．
22. 已知方程的负数根也是方程的一个根，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】首先解方程，然后结合该方程的负数根是方程的根，代入求解即可．
【详解】解：解方程，
可得，
∵该方程的负数根是方程的根，
∴将代入方程，
可得，
解得．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
23. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2
【解析】
【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【详解】（1）证明：∵m≠0，
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
24. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
25. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
26. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）见详解 （2）△ABC的面积为
【解析】
【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
【小问1详解】
证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
27. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
【答案】（1）10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%；（2）当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
【解析】
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据10月份和12月份的大葱的批发价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设大葱的销售价格降低元，则每天可售出（）公斤，根据总利润＝每公斤的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为，
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．
（2）设大葱的销售价格降低元．
根据题意，得．
整理，得．
解得，．
因为最大限度让利于顾客，
则y=0.8
答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．
（1）求边上高的长度；
（2）连接，，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
【答案】（1）；
（2）当t为时，四边形为菱形；
（3）当t为或时，四边形为正方形．
【解析】
【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度；
（2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可；
（3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中， ，
∴，
由勾股定理得，
∴；
【小问2详解】
解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：∵于P，于Q，，
∴四边形为矩形，
∴当时，四边形为正方形．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键．九年级第一学期学习评价
数学（2）
满分：120分
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知矩形的对角线，则（ ）
A. B. C. D.
3. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 具有四条边都相等的性质的四边形是（ ）
A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形
5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
实验次数 100 500 1000 2000 4000
频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0333
A. B. C. D.
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根
7. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 1.5cm D. cm
8. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
9. 2023年12月13日，是我国第十个南京大屠杀死难者国家公祭日．某地从《南京！南京！》《东京审判》《屠城血证》三部影片中随机选取两部进行展播，则恰好展播《南京！南京！》《东京审判》的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
11. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，，F为AB上一点，，P为AC上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
二．填空题．（每题3分，共12分）
13. 方程的根为________．
14. 为了解某地南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟只有10只戴着识别卡，由此可估计该湿地有______只A种候鸟．
15. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，固定边，向左“推”矩形使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标是______．
16. 在中，分别为边上的点，若四边形为正方形，则的长为______．
三．解答题．（本大题12个小题，共72分）
17. 解方程：．
18. 解方程：(x＋3) ＝2(x＋3)；
19. 用配方法求证：代数式值恒为正数．
20. 已知的两边的长是关于的方程的两个实数根，当为何值时，四边形是菱形？写出解题过程．
21. 如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，作分别交AB、BC于点E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长是多少？
22. 已知方程的负数根也是方程的一个根，求的值．
23. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
24. 为了调动同学们学习数学积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
25. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
26. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，EAB中点，连接CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
27. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
28. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．
（1）求边上高的长度；
（2）连接，，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
