辽宁省鞍山市千山区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0时，则方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x+3）2＝17 C．（x﹣3）2＝1 D．（x+3）2＝1
2．（2分）如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）mm．
A．48 B．80 C．20 D．46
3．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
4．（2分）二次函数y＝2x2﹣bx﹣1的图象经过点（3，y0）和（9，y0），则b的值为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．12 D．24
5．（2分）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≤3且m≠1
C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数
6．（2分）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣
C．﹣＜a＜1 D．a＞1
7．（2分）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）若方程（m﹣1）﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
10．（2分）若α，β是方程x2+2x﹣2005＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
11．（2分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则y1、y2、y3用“＜”连接为 ．
12．（2分）把抛物线 y＝x2+2x﹣1 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 ．
13．（2分）如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为 cm．
14．（2分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．
15．（2分）如图，P为正方形ABCD内一点，，PB＝1，，则四边形ABCP的面积为 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，下面结论：①若AD是BC边上的中线，则DH＝；②若AD平分∠CAB，则；③若BD＝2CD，则AE＝3BE；④当CD＝BD时，AF＝2CF．正确的有（填序号） ．
三、解答题（共88分）
17．（6分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
18．（6分）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）能否围成面积为210m2的矩形菜园？为什么？
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
22．（8分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）求AB的边长．
23．（10分）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
（1）当销售单价为50元时，商家每天获利 元；
（2）物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．（10分）如图，为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F．
①求∠CED的度数；②求证：F为BC的中点．
25．（12分）已知，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）如图1，将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接BE交CO于点F，求证：BF＝EF．
（2）如图2，若CD＝4，点P是CD边上的点，且CP＝1，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转90°得到PH，连接BH交CO于点G．求OG的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0时，则方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x+3）2＝17 C．（x﹣3）2＝1 D．（x+3）2＝1
【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可．
【解答】解：移项，得x2﹣6x＝﹣8，
配方，x2﹣6x+9＝1，
则（x﹣3）2＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
2．（2分）如图，已知△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）mm．
A．48 B．80 C．20 D．46
【分析】设正方形的边长为x，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为xmm，
则AK＝AD﹣x＝80﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48mm，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AK的长度，然后列出比例式是解题的关键．
3．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
4．（2分）二次函数y＝2x2﹣bx﹣1的图象经过点（3，y0）和（9，y0），则b的值为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．12 D．24
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为，求解即可．
【解答】解：y＝2x2﹣bx﹣1的图象经过点（3，y0）和（9，y0），a＝2，二次函数的对称轴为，即
解得b＝24
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意确定函数的对称轴．
5．（2分）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≤3且m≠1
C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，知Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）×1≥0且m﹣1≠0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）×1≥0且m﹣1≠0，
解得：m≤5且m≠1，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（2分）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣
C．﹣＜a＜1 D．a＞1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，
则，
解得：a＜﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
7．（2分）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后代入已知条件即可得到BE的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
即＝，
∴BE＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把+bx1＝+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）若方程（m﹣1）﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0且m2+1＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）﹣x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
10．（2分）若α，β是方程x2+2x﹣2005＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 2003 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝，x1x2＝．而α2+3α+β＝α2+2α+（α+β），即可求解．
【解答】解：α，β是方程x2+2x﹣2005＝0的两个实数根，则有α+β＝﹣2．
α是方程x2+2x﹣2005＝0的根，得α2+2α﹣2005＝0，即：α2+2α＝2005．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝α2+2α﹣2＝2005﹣2＝2003．
故答案为：2003．
【点评】本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题．
11．（2分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则y1、y2、y3用“＜”连接为 y1＜y3＜y2 ．
【分析】先判断出二次函数的开口方向，再求出点（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．
∴对称轴为直线x＝﹣2，开口向下，
∵（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）与对称轴的距离y2最近，y1最远，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．
12．（2分）把抛物线 y＝x2+2x﹣1 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 y＝（x﹣1）2﹣3 ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴把抛物线 y＝x2+2x﹣1 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣1，即y＝（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（2分）如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为 5 cm．
【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE＝∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE＝∠BEA，等量代换后可证得AB＝BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE＝2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE，
∴AB＝BE＝6cm，
∴EC＝9﹣6＝3（cm），
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE＝2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6cm，BG＝4cm，
∴AG＝＝2（cm），
∴AE＝2AG＝4cm；
∵EC∥AD，
∴＝＝＝＝，
∴＝，＝，
解得：EF＝2（cm），FC＝3（cm），
∴EF+CF的长为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
14．（2分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为 5 ．
【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之和为4，结合方程的一个根为﹣1，即可求出方程的另一个根为5．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，
∴方程的两根之和为﹣＝4，
∵方程的一个根为﹣1，
∴方程的另一个根为4﹣（﹣1）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和为﹣，两根之积为”是解题的关键．
15．（2分）如图，P为正方形ABCD内一点，，PB＝1，，则四边形ABCP的面积为 ．
【分析】把△BCP绕点B逆时针旋转90°，得到△BAE，连接PE，则△BCP≌△BAE，可得，S△ABE＝S△BCP，从而得到四边形ABCP的面积等于S△APE+S△BPE，再根据勾股定理逆定理可得∠APE＝90°，分别求出S△APE，S△BPE，即可求解．
【解答】解：如图，把△BCP绕点B逆时针旋转90°，得到△BAE，连接PE，则△BCP≌△BAE，
∴，S△ABE＝S△BCP，
∴，四边形ABCP的面积等于S△BCP+S△BAP＝S△ABE+S△BAP＝S四边形AEBP＝S△APE+S△BPE，
∴S△BPE＝PB EB＝＝，
∵，
∴，
∴∠APE＝90°，
∴S△APE＝PA EP＝××＝2，
∴四边形ABCP的面积等于．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理的逆定理，图形的旋转，利用旋转图形得到四边形ABCP的面积等于S△APE+S△BPE是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，下面结论：①若AD是BC边上的中线，则DH＝；②若AD平分∠CAB，则；③若BD＝2CD，则AE＝3BE；④当CD＝BD时，AF＝2CF．正确的有（填序号） ①②③④ ．
【分析】根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CH，最后用勾股定理求出DH，据此判断①符合题意；
过点D作DM∥AC交BF于点M，根据题意推出DM是△BCF的中位线，则CF＝2DM，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出△ACH∽△CDH，△ACH∽△ADC，△DMH∽△AFH，根据相似三角形的性质即可判断②符合题意；
当BD＝2CD时，设CD＝a，则BD＝2a，AC＝BC＝3a，过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，结合题意及直角三角形的性质利用AAS推出△ACD≌△CBN（AAS），根据全等三角形的性质得到CD＝BN＝a，根据∠ACD+∠CBN＝180°，判断BN∥AC，进而推出△ACE∽△BNE，根据相似三角形的性质即可判断③符合题意；
过点D作DM∥AC交BF于点M，根据题意推出DM是△BCF的中位线，则CF＝2DM，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出△ACH∽△CDH，△ACH∽△ADC，△DMH∽△AFH，根据相似三角形的性质即可判断④符合题意；
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝BC＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AD＝＝2，
∵CE⊥AD，
∴S△ACD＝AC CD＝AD CH，
∴AC CD＝AD CH，
∴CH＝＝＝，
∴DH＝＝，
故①正确，符合题意；
如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴＝，
∵CM∥AB，
∴∠M＝∠MAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM＝∠BAM，
∴∠CAM＝∠M，
∴CM＝AC，
∵CM∥AB，
∴△CDM∽△BDA，
∴＝，
故②正确，符合题意；
当BD＝2CD时，设CD＝a，则BD＝2a，
∴AC＝BC＝2a+a＝3a，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，
∴∠CBN＝90°＝∠ACD，
∴∠N+∠BCN＝90°，
∵CE垂直AD，
∴∠BCN+∠HDC＝90°，
∴∠HDC＝∠N，
又AC＝BC，∠CBN＝∠ACD，
∴△ACD≌△CBN（AAS），
∴CD＝BN＝a，
∵∠ACD+∠CBN＝180°，
∴BN∥AC，
∴△ACE∽△BNE，
∴＝3，
∴AE＝3BE，
故③正确，符合题意；
如图，过点D作DM∥AC交BF于点M，
当CD＝BD时，
∴DM是△BCF的中位线，
∴CF＝2DM，
∵∠ACB＝90°，CE垂直AD，
∴∠ACD＝∠AHC＝∠DHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠ACH+∠DCH＝90°，
∴∠CAH＝∠DCH，
∴△ACH∽△CDH，
∴，
∵∠CAH＝∠DAC，∠ACD＝∠AHC，
∴△ACH∽△ADC，
∴，
∵AC＝4，CD＝2，
∴＝2，
∴AH＝2CH＝4HD，
∵DM∥AC，
∴△DMH∽△AFH，
∴＝，
∴AF＝4DM＝2CF，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点评】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共88分）
17．（6分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0
x2﹣2x﹣＝0
x2﹣2x+1＝+1
（x﹣1）2＝
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
18．（6分）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图，现准备利用校园围墙的一段MN（MN最长可用25m），用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
（1）当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
（2）能否围成面积为210m2的矩形菜园？为什么？
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（40﹣2x）m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
（2）根据矩形花园的面积为210m2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣20＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为210m2的矩形花园．
【解答】解：（1）设当AB长度为xm时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x（40﹣2x）＝150，
解得：x＝5或x＝15，
∵当x＝5时，40﹣2x＝30，不符合题意，
∴x＝5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
（2）不能围成，如果矩形菜园面积为210m2时，
则：2x2﹣40x+210＝0，Δ＝﹣80＜0方程没有实数根．
答：不能围成面积为210m2的菜园．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；
（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查了平移、中心对称、旋转作图，掌握相关的点的变换是解题关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了根的判别式．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；
（2）先证△CDE是等边三角形，可得∠CDE＝60°，CD＝DE，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD；
（2）连接DE，
∵BD＝5，
∴AE＝5，
由旋转可知：∠DCE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，，
∴CD＝DE＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（8分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）求AB的边长．
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，从而利用三角形内角和定理可得∠BAD+∠ADB＝120°，再利用平角定义可得∠ADB+∠EDC＝120°，从而可得∠BAD＝∠EDC，然后利用两角相等的两个三角形相似即可解答；
（2）利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝16，
∴AB的长为16．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键．
23．（10分）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．
（1）当销售单价为50元时，商家每天获利 10000 元；
（2）物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）单件的利润是20元，销售件数为600﹣10×10＝500，代入计算即可．
（2）设商品单件为x元，则单件的利润是（x﹣30）元，销售件数为600﹣（x﹣30）×10＝900﹣10x，构造二次函数求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意，单件的利润是20元，销售件数为600﹣10×10＝500，
故利润为500×20＝10000（元），
故答案为：10000．
（2）设商品单件为x元，则单件的利润是（x﹣30）元，销售件数为600﹣（x﹣40）×10＝1000﹣10x，
∴w＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10（x﹣65）2+12250．
∵40≤x≤60，﹣10＜0，
∴当x＝60时，w取得最大值，且为12000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，正确利用二次函数的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）延长ED交BC于点F．
①求∠CED的度数；②求证：F为BC的中点．
【分析】（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG＝CE，
由（1）△BAD≌△CAE，得BD＝CE，再利用AAS证明△BDF≌△CGF，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①解：如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G，
∴∠G＝∠BDF，
∵∠ADE＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠BDF＝30°，
∴∠G＝30°，
由（1）可知，BD＝CE，∠CEA＝∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝∠G＝30°；
②证明：∵∠CED＝∠G，
∴CE＝CG，
∴BD＝CG，
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
即F为BC的中点．
【点评】本题主要考查了几何变换综合题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（12分）已知，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）如图1，将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接BE交CO于点F，求证：BF＝EF．
（2）如图2，若CD＝4，点P是CD边上的点，且CP＝1，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转90°得到PH，连接BH交CO于点G．求OG的长．
【分析】（1）证明△BOF≌△ECF（AAS），可得结论；
（2）如图2中，过点P作PM⊥CD交OC于点M，连接MH．证明△CPO≌△MPH（SAS），推出CO＝MH，∠PMH＝∠PCO＝45°，再证明△BOG≌△HMG（AAS），推出BG＝MG，再利用勾股定理求解，可得结论．
【解答】（1）证明：∵将线段 CO绕点C顺时针旋转 90°得到 CE，
∴∠ECF＝90°，CE＝CO，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BD⊥AC，BO＝BD，OC＝AC，AC＝BD，
∴BO＝CO，∠BOF＝90°，
∴BO＝CE，∠BOF＝∠ECF，
又∠BFO＝∠EFC，
∴△BOF≌△ECF（AAS），
∴BF＝EF；
（2）解：如图2中，过点P作PM⊥CD交OC于点M，连接MH．
∵正方形ABCD，
∴AC＝BD，OC＝AC，BO＝OD＝BD，∠BCD＝90°，BC＝BD，
∴BO＝OC，∠OCD＝∠BCD＝45°，
∴∠CMP＝45°，
∴∠OCD＝∠CMP，
∴CP＝MP，
又∠CPM＝∠OPH＝90°，
∴∠CPM+∠OPM＝∠OPH+∠OPM，
即∠CPO＝∠MPH，
∵将线段 OP 绕点 P顺时针旋转 90°得到PH，
∴OP＝PH，
∴△CPO≌△MPH（SAS），
∴CO＝MH，∠PMH＝∠PCO＝45°，
∴BO＝CO＝MH，∠CMH＝∠HMG＝90°，
又∵∠BOG＝90°，
∴∠BOG＝∠HMG，
又∠BGO＝∠MGH，
∴△BOG≌△HMG（AAS），
∴BG＝MG，
∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝4，
∴，
∴OC＝BO＝BD＝×＝．
∵∠MPC＝90°，CP＝MP＝1，
∴，
∴OM＝OC﹣MC＝﹣＝，
∴OG＝GM＝OM＝×＝，
即OG＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了折叠的性质，二次函数的图象及性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定，折叠的性质，数形结合思想是解题的关键．
