2023-2024学年人教版八年级数学上册《第11—15章》阶段性综合练习题（附答案）
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（ ）
A．50° B．65° C．50°或65° D．80°
3．长方形的面积为2x2+x，它的一条边长为x，则它的周长为（ ）
A．6x+2 B．6x+1 C．3x+1 D．2x+1xy
4．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．1.5
5．对于非零的两个有理数a，b，规定a b＝﹣，若2 （2x﹣1）＝0，则x的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．48 C．54 D．108
7．《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．10个
9．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…，利用你发现的规律回答：若（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝﹣2，则x2023的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．22016
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，PA＝PE．下列结论：①∠PAB+∠PEB＝30°；②△PAE为等边三角形；③AC＝CE+DP；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．＝ ．
12．已知x2﹣2（m+1）x+9是一个完全平方式，则m＝ ．
13．在长方形ABCD中，点P在AD上，连接PB、PC，将△APB沿PB折得到△A'PB，△DPC沿PC翻折得到△D'PC，已知∠D'PB＝15°，∠A'PC＝21°，则∠D'CB的度数为 度．
14．如图，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣1），分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，点P的坐标是 ．
三、解答题
15．解分式方程：．
16．化简求值：
已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值．
17．先化简，再求值：，其中1＜m＜5，从中选取一个整数值，代入求值．
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC关于x对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）求△AA1A2的面积．
19．某商场销售AB两种商品，售出1件A种商品比售出1件B种商品所得利润多100元，售出A种商品获利30000元的件数和售出B种商品获利20000元的件数相同．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，AB两种商品很快售完，商场决定再一次购进AB两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于7400元，求商场至少购进多少件A商品？
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证：
（1）AD∥CG；
（2）AF＝AD．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边作等腰三角形ACD，AD＝CD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB交于点E，连接CE．
（1）求证：AE＝CE＝BE．
（2）若AB＝5，BC＝3，点P是射线DE上的一点，则当点P为何处时，△PBC的周长最小，并求出此时△PBC周长．
22．先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣10m+16．
（2）若x2+y2﹣8x﹣14y+65＝0．
①当x，y，n满足条件：2x×4y＝8n时，求n的值；
②若△ABC三边长是x，y，z，且z为偶数，求△ABC的周长．
23．已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD．过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：BD与CE互相垂直平分．
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
①求∠CED的大小；
②若AF＝AE，求证：BE＝CF．
参考答案
一、单选题
1．解：选项A的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B、C、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；
（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；
所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．
故选：C．
3．解：另一边长为（2x2+x）÷x＝2x+1，
故周长为2[x+（2x+1）]＝2（x+2x+1）＝6x+2，
故选：A．
4．解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝5，
∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：C．
5．解：根据题中的新定义化简2 （2x﹣1）＝0得：﹣＝0，
去分母得：2﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝．
故选：C．
6．解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，CD＝4，
∴DE＝CD＝4，
∵AC＝12，AB＝15，
∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE＝54，
故选：C．
7．解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250﹣100+30＝180（步），
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x﹣30）步，
根据题意得：＝．
故选：D．
8．解：∵﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b，
∴m＝a+b＝﹣1+16或﹣2+8或﹣4+4或4+（﹣4）或2+（﹣8）或1+（﹣16），
即m＝±15或±6或0．
则m的可能值的个数为5，
故选：B．
9．解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
∴（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1＝﹣2，
∴x7﹣1＝﹣2，
∴x7＝﹣1，
解得：x＝﹣1，
∴x2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：A．
10．解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，
且AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAB+∠PEB＝30°．故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE＝∠PEA＝60°，
∴△PAE是等边三角形，故②正确；
如图，作点P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，
∴AP＝AP'，∠PAD＝∠P'AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP'，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P'AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P'AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P'AC≌△EAC（SAS），
∴CP'＝CE，
∵点P、P'关于AB对称，即PP'⊥AB，且PD＝P'D，
∵CD⊥AB，
∴C、P、D、P'共线，
∴CE＝CP'＝CP+PD+DP'＝CP+2PD，
∴，
若AC＝CE+DP，
则DP＝AC﹣CE，
因为AC﹣CE与不一定相等，故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠GPB＝120°，
又∵EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△MCE≌△BGE（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BM，
∴，
∵，
∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确．
所以其中正确的结论是①②④．
故选：C．
二、填空题
11．解：＝9+2＝11．
故答案为：11．
12．解：∵x2﹣2（m+1）x+9是一个完全平方式，
∴m+1＝±3，
解得：m＝﹣4或m＝2．
故答案为：﹣4或2．
13．解：由折叠性质知，
∠APB＝∠BPC+∠A′PC，∠DPC＝∠BPC+∠D′PB，
∵∠D'PB＝15°，∠A'PC＝21°，∠APB+∠BPC+∠DPC＝180°，
∴∠BPC+21°+∠BPC+∠BPC+15°＝180°，
∴∠BPC＝48°，
∴∠DPC＝∠BPC+∠D′PB＝48°+15°＝63°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠PCB＝∠DPC＝63°，
∴∠PCD＝90°﹣63°＝27°，
由折叠性质，得∠PCD＝∠PCD′＝27°，
∴∠D′CB＝90°﹣27°﹣27°＝36°，
故答案为：36．
14．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣1），
∴OA＝4，OB＝1，
∵等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，
∴BF＝OB＝1，
∴F（﹣1，﹣1），
过点E作EG⊥y轴于点G，
∴∠OAB＝∠GBE＝90°﹣∠OBA，EG∥BF，
∵，
∴△AOB≌△BGE（AAS），
∴OA＝GB＝4，OB＝GE＝1，
∵EG∥BF，
∴∠BFP＝∠GEP，
∵，
∴△BFP≌△GEP（AAS），
∴，
故OP＝OB+BP＝3，
故P（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
三、解答题
15．解：原方程可化为：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，解得x＝4，
把x＝4代入x﹣4得，4﹣4＝0，
故x＝4是原分式方程的增根，原方程无解．
16．解：原式＝x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
＝x2+x﹣3，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
则原式＝5﹣3＝2．
17．解：原式＝
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：m不能取2和3，
故m＝4，
原式＝＝1．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标（﹣2，4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标 （2，﹣4）．
（3）S＝8×4×＝16．
19．解：（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，则每件B种商品售出后所得利润为（x﹣100）元．
由题意，得，
解得，x＝300，
经检验x＝300是原分式方程的解，x﹣100＝200（元）．
答：每件A种商品售出后所得利润为300元、每件B种商品售出后所得利润为200元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件，
由题意，得300a+200（34﹣a）≥7400，
解得a≥6．
答：商场至少购进6件A商品．
20．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，AD⊥AB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠CBA＝∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴AD∥CG．
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，AD⊥AB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠CBA＝∠ACG＝∠BCG＝45°，
∵E为AC边的中点，
∴AE＝CE，
在△DAE和△GCE中，
，
∴△DAE≌△GCE（ASA），
∴AD＝CG，
在△ACF和△CBG中，
，
∴△ACF≌△CBG（ASA），
∴AF＝CG，
∴AF＝AD．
21．（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AF＝CF，
∴DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
∠CAE+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠B，
∴CE＝BE，
∴AE＝CE＝BE．
（2）解：如图，连接PA、PB、PC，
∴PA＝PC，
∴C△PBC＝BC+PB+PC
＝3+PB+PA，
∴PB+PA最小时，△PBC的周长最小，
∵当A、P、B三点共线时，PB+PA最小，
∴P与E重合时，PB+PA最小，
∴PB+PA＝AB时，PB+PA最小，
此时△PBC的周长最小，
∴C△PBC＝3+AB
＝3+5＝8，
∴△PBC的周长最小值为8．
22．解：（1）原式＝m2﹣10m+25﹣9
＝（m﹣5）2﹣9
＝（m﹣5+3）（m﹣5﹣3）
＝（m﹣2）（m﹣8）；
（2）由题意得：
x2﹣8x+16+y2﹣14y+49＝0
∴（x﹣4）2+（y﹣7）2＝0，
∴，
解得：，
①∴24×47＝8n，
∴24×214＝23n，
∴218＝23n，
∴3n＝18，
解得：n＝6；
②∴y﹣x＜z＜x+y，
∴3＜z＜11，
∵z为偶数，
∴z取4、6、8、10
∴C△ABC＝x+y+z
＝4+4+7＝15；
或C△ABC＝x+y+z
＝4+6+7＝17；
或C△ABC＝x+y+z
＝4+8+7＝19；
或C△ABC＝x+y+z
＝4+10+7＝21；
故△ABC的周长为：15或17或19或21．
23．（1）证明：设CE与BD交于点O，
∵CB＝CD，CE⊥BD，
∴DO＝BO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠BCO，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE≌△BOC（AAS），
∴OE＝OC，
∴BD与CE互相垂直平分；
（2）①解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC且DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE＝BE，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，
∴∠CED＝＝60°；
②证明：由①得AE＝EC，
又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，
∴∠ACE＝30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，
∴∠ACE＝∠ABF＝30°，
在△ACE与△ABF中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AC＝AB，
又∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
即BE＝CF．
