2023-2024秋学期锡东片九年级期中数学试卷评分标准
参考答案
1-5 BCAAC 6-10 BCCDB
11.34 12. 13.-3 14.5 15.9 16.90° 17.21 18.
19.解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， （2）x2+6x﹣16＝0，
（x﹣1）2＝2，……………2分 （x+8）（x﹣2）＝0，………………2分
x﹣1＝， x+8＝0，x﹣2＝0，
x1＝1+，x2＝1﹣；………4分 x1＝﹣8，x2＝2，…………………4分
20.解：（1）当时，
∴……………………2分
∴
∴另一个根是1…………4分
（2）Δ＝
＝
＝≥0，……7分
∴该方程总有两个实数根；……8分
21.（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；…………………6分
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴
∴………………………10分
22.（1）证明：∵BA∥OD，
∴∠OEC＝∠BAC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠D＝∠BCA，
∴∠BCA+∠DCE＝∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴CD是圆O的切线；……………5分
（2）∵AB＝2，BC＝2，∠BAC＝90°，
∴，
由（1）可知∠CAB＝∠DCO＝90°，
∴………………10分
23.（1）64……………………………………………………3分
（2）设每件应降价y元，
依题意，得（40﹣30﹣y）（48+4）＝504，……………………………………7分
整理，得y2﹣4y+3＝0，
解方程，得 y＝1，y＝3，…………………………………………………………9分
要尽快减少库存，所以取y＝3．
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．………10分
24.解：（1）证明：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，，
∴∠BAC＝∠E；……………………4分
（2）解：∵AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ADC＝90° AD＝4，CD＝2
∴AC2，…………6分
∵∠BAC＝∠E，
∵∠ACF＝∠ECA，
∴△ACF ∽△ECA，…………………8分
∴，
∴，
∴．…………………………10分
25.（1）如图，作△ABC的外接圆；
………………………………………………4分
∴点M即为所求………………………5分
（2）菱形ABCD中，AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10，∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°，
∵∠CAM＝∠PAC，
∴△CAM ∽△PAC，…………………8分
∴，
∴AM4．………………10分
26.解：（1）②④；…………………………………………………………………2分
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，
∴m＝4或m＝1，…………………………………………………………………4分
当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26；………………………………………5分
当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5，…………………………………………6分
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，
∴设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t＝﹣，t 2t＝，
∴t＝﹣，……………………………………………………………………8分
∴2（﹣）2＝，
∴2b2＝9ac．……………………………………………………………………10分
27.解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝4，∠ABC＝60°．
∴AB∥CD，AB＝CD＝8，
∴∠DCP＝∠ABC＝60°，
∵⊙O与DP相切，
∴DP⊥BP，
∴∠CPD＝90°，
∴∠CDP＝90°﹣∠DCP＝30°，
∴CPCD＝4，
∴⊙O的半径x＝4，……………………………………………………………………2分
（2）①∵点P与点C重合，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝30°，
∴BEBC＝2，
在Rt△BCE中，
CE2，
………………………………………4分
②如图2，连接OE，
∵，
∴∠BOE＝2∠BCE＝60°，
过点E作EH⊥OB于H，则∠OEH＝30°，
∴OHOE＝1，
∴EH，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE
2；……6分
（3）①当⊙O与直线CD相切时，如图3，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，
∵∠OCF＝∠ABC＝60°，
∴∠COF＝30°，
∴CFOC，
∵OB＝OF＝x，
∴OC＝4﹣x，CF（4﹣x），
∵CF2+OF2＝OC2，
∴[（4﹣x）]2+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝﹣12+8或x＝﹣12﹣8（舍去），…………………………………8分
②当⊙O与直线AD相切时，如图4，过点O作OT⊥AD于T，连接AC，
则OT＝OB＝x，
取AB的中点G，连接CG，
∴BG＝AGAB＝4＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCG是等边三角形，
∴CG＝BC＝4＝AG，
∴∠BAC＝∠ACG＝30°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC4，
∴∠ACO＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠TOC＝∠DTO＝∠ATO＝90°＝∠ACO，
∴四边形ACOT是矩形，
∴x＝OT＝AC＝4；
综上所述，x＝﹣12+8或4；…10分
28.解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，BC＝AB＝2，
∴△EFC ∽△EAB，
∴，
∴CF＝；……………………………………………2分
②过点A作AT⊥BC于点T，如图1，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠BAT＝30°，
∴BT＝1，CT＝BC﹣BT＝1，
∴AT＝＝，
∵CE＝4，
∴TE＝CT+CE＝5，
∴AE＝＝＝2．
∵AD∥BC，
∴△APD ∽△EPB，
∴，
∴AP＝PE＝AE＝．
∵AD∥BC，
∴△ADF ∽△ECF，
∴，
∴AF＝EF＝AE＝，
∴PF＝AF﹣AP＝；………………4分
（2）过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，过点N作NF⊥AD，交AD的延长线于点F，如图2，
∵BC∥AD，BE⊥AD，NF⊥AD，
∴四边形BEFN为矩形，
∴BE＝NF．
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝1，
∴BE＝＝，
∴NF＝BE＝．
∵M是AD的中点，
∴AM＝AD＝1，
∴EM＝AE+AM＝2，
∴BM＝＝．
∴MG＝＝．
∵MN⊥BM，
∴∠BME+∠NMF＝90°，
∵∠EBM+∠EMB＝90°，
∴∠EBM＝∠FMN．
∵∠BEM＝∠MFN＝90°，
∴△BEM ∽△NFM，
∴，
∴NM＝．
∵MN⊥BM，
∴∠BMG+∠NMQ＝90°，
∵∠BMG+∠MBG＝90°，
∴∠MBG＝∠NMQ．
∵∠BGM＝∠MHN＝90°，
∴△MGB ∽△NHM，
∴，
∴MH＝．
∴GH＝MG﹣MH＝；………7分
（3）连接AC，BD，AC与BD交于点O，连接BK，JL，BK与JL交于点O′，BD与AR交于点W，如图3，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝1，BO＝，
∴BD＝2，
∴．
∵四边形BJKL是菱形，∠JBL＝60°，
∴．
∴．
又∵∠ABJ＝∠DBK，
∴△ABJ ∽△DBK，
∴．……………10分2023-2024秋学期锡东片九年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．一元二次方程x2﹣16＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝4，x2＝﹣4
C．x1＝8，x2＝﹣8 D．x1＝16，x2＝﹣16
2．已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＝1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≠0
3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10π B．15π C．20π D．25π
6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315
7．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．125°
第7题图 第8题图
8．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第9题图 第10题图
10．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ GD，正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．
12．若，则的值为 ．
13．若关于x的一元二次方程的一个根是﹣1，则另一个根是 ．
14．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．
15．如图，点D、E分别在AB与AC上，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，DE＝3，则BC＝ ．
第15题图 第17题图 第18题图
16．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 ．
17．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当△AFD的面积为时，△ABC的面积为 ．
18．矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF＝45°，BE＝3，则DN的长为 ．
解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）x2+6x﹣16＝0
20．（8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）求证：该方程总有两个实数根．
21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD ∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求EC的长．
22．（10分）如图，∠BAC＝90°，点A在⊙O上，过点O作BA的平行线交AC于点E，交过点C的直线于点D，且∠D＝∠BCA．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，BC＝2，求CE的长．
23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．
（1）若每件降价2元，则每天可销售 件；
（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．
（1）求证：∠BAC＝∠E；
（2）若AB＝8，DC＝2，，求CF的长．
25．（10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．
（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的作图条件下，当AP＝25时，求线段AM的长度．
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；②；③6x2+x＝0；④，这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写出a，b，c的等量关系．
27．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝4，∠ABC＝60°．点P为射线BC上一点，以BP为直径作⊙O交AB、DC于E、F两点．设⊙O的半径为x．
（1）如图2，当⊙O与DP相切时，x＝ ．
（2）如图3，当点P与点C重合时，
①求线段CE长度；
②求阴影部分的面积；
（3）当⊙O与平行四边形ABCD边所在直线相切时，求x的值；
28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．
（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，
①求CF的长；
②求PF的长；
（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；
（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求的值.
