天津市和平区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科
一、选择题：将选择题答案填涂在答题纸.（每小题5分，共计50分）
1.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则的值为
A. B. C. D.
2.若直线与圆有公共点，则
A. B. C. D.
3.圆与圆的公切线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.如果一条直线过点且被圆所截得的弦长为8，那么这条直线的方程是
A. B.
C.或 D.或
5.若两条直线与互相垂直，则的值等于
A.3 B.3或5 C.3或或2 D.
6.作直线与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
7.已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为
A. B. C.2 D.
8.过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为
A. B. C. D.与弦斜率有关
9.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
10.设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数
①直线与垂直
②若点的坐标为，则直线方程为
③若直线方程为，则点的坐标为
④若直线方程为，则
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：将答案填涂在答题纸.（每小题4分，共计20分）
11.已知直线，曲线有两个公共点，则的取值范围是__________.
12.若圆上恰有相异的两点到直线的距离等于1，则的取值范围是___.
13.已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为____________.
14.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆上任意一点，，为其左右焦点，则的最小值是__________.
15.已知椭圆的左焦点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为__________.
三、解答题：（共计30分）
16.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，是棱的中点，且，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求.
17.（本小题满分8分）从圆外一点向圆作切线，为切点，且（为原点），求的最小值以及此刻点的坐标.
18.（本小题满分10分）已知椭圆的一个焦点为，上顶点为，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在圆上，点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于点（异于点），使得成立 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
天津市和平区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科参考答案
一、选择题：（每小题5分，共计50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C A B B D C
二、填空题：（每小题4分，共计20分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题：（共计30分）
16.（本题12分）解：（1）连接，根据题意，
，∴，∵，∴，
底面，∴，∴平面；
（2）如图建系，平面的法向量为，平面的一个法向量
为，，二面角为锐二面角，
∴二面角的大小为；
（3）设，，
平面的法向量，，
∴，即：，，∴.
17.（本题8分）解：由已知，圆的方程为，圆心的坐标是，半径长.
如下图，连结、.由平面几何，.
由已知，，所以，
即.
化简得，①
.②
①②消去，得.
当时，.
的最小值为，此刻点的坐标是.
18.（本题10分）解：（1）由椭圆的一个焦点为知：，即.①
又因为直线的方程为，即，所以
由①解得.故所求椭圆的标准方程为.
（2）假设存在过点的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，
于是可设直线的方程为，
由得.（*）
因为点是直线与椭圆的一个交点，且，
，所以，即点
所以，即.
因为点在圆上，所以
化简得，解得，所以.
经检验知，此时（*）对应的判别式，满足题意.
故存在满足条件的直线，其方程为.
