专题 弦图模型与勾股树模型
赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型
（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。
图1 图2 图3
（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
例2．（2023.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·杭州市九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8
例5．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，．若，，则正方形的面积为（ ）
A．144 B．104 C．72 D．52
模型2. 勾股树模型
例1．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________．
例2．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
例3．（2022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2
例4．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
例6．（2022·上饶市初二期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______．
例7．（2023·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
课后专项训练
1．（2023·江苏镇江·八年级期中）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，图中阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，则S3的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
3．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ）
A． B． C． D．32
4．（2022·浙江初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
5．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．13 B．16 C．36 D．55
6．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
7．（2022·涡阳县初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·重庆江津·八年级期中）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，AD＝2，则阴影部分的面积是__________
11．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．
12．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
14．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．
15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．
（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ；
（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ．
16．（2022·广东·八年级课时练习）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形．
（1）试画出2次操作后的图形．（2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和．（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？（4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？
17．（2022·湖南·八年级课时练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．
18．（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
专题 弦图模型与勾股树模型
赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型
（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。
图1 图2 图3
（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，，
∵，∴，∵，∴，故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
例2．（2023.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
【答案】16
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，
∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF） FG=EF FG=S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8 x）=2x2-16x+48=-16+48=32，
则S△CFP-S△AEP的值是16；故答案为：16．
【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
例4．（2022·杭州市九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8
【答案】D
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可．
【解析】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
，，，
，，
，
，，，，故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．
例5．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，．若，，则正方形的面积为（ ）
A．144 B．104 C．72 D．52
【答案】B
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，，
∴，，∴或（舍去），
∵，∴，解得，∴，
∴，故选．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题．
模型2. 勾股树模型
例1．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________．
【答案】14
【分析】根据勾股定理可知SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B、C、D的面积分别为3、7、1、3，
∴SA+SB=SF，SC+SD=SG，SF+SG=SE，∴SE=SA+SB+SC+SD=3+7+1+3=14，
∴正方形E的面积为14．故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，特别要注意条件中给出的是正方形的边长还是面积，属于基础题．
例2．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】连接AC，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】如图所示，连接， 在中，
即；同理，在中，
即则故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长平方即可．
例3．（2022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2
【答案】C
【分析】求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根据正方形的性质求出边长即可．
【详解】解：正方形⑤的面积是，各三角形都是等腰直角三角形，
正方形④的面积为，同理，正方形③的面积是，
正方形②的面积是，正方形①的面积是．故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，依次求出各正方形的面积是解题的关键．
例4．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个），
第二代勾股树中正方形有（个），
第三代勾股树中正方形有（个），
由此推出第五代勾股树中正方形有（个）故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．
例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值．
【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则，
观察图形可得：，即，
∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
例6．（2022·上饶市初二期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】50
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，
S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=
故答案为：50.
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
例7．（2023·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．
迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．
【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．
迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S1+S2=S3；迁移应用：47；【探究三】S1+S2=S3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为尺．
【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S1+S2=S3；
迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为正方形E的面积；
【探究三】利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小；
迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；
【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+2ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；
【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2= πa2+πb2=πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+ab-S3=ab，
∵a=5，c=13，∴12，∴阴影部分面积和=×5×12=30，故答案为：30；
【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：绳索长为尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·江苏镇江·八年级期中）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，图中阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，则S3的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据勾股定理，圆的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，平方厘米，故选：D．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
2．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可．
【详解】解：在图①中，正方形的边长为4，
∴等腰直角三角形①的直角边长为：
∴等腰直角三角形①的面积=
在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是
故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2
∴
如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为
∴= = = =
由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，故选A．
【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和．
4．（2022·浙江初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且 ，则 的长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．
【解析】如图2：
设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c b，DG＝c a，
则阴影部分的面积S＝HG DG＝（c b）（c a）＝2，
∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32 ，∴S＝c2 c（a＋b）＋ab＝c2 8c＋32 ＝2，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
5．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
A．13 B．16 C．36 D．55
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，易证，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积．
【详解】解：如图：
根据题意，得，，
，，，
在和中，，
，，，
，的面积分别为5和11，，，，
根据勾股定理，得，的面积为16，故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，然后求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．
【详解】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，
∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，
∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（负值已舍去），
∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，
∴正方形BCFG的面积为20，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得a2﹣b2＝16是解题的关键．
7．（2022·涡阳县初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
【解析】由于大正方形的边长的平方为，又大正方形的面积为13，
即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为
故本题正确答案为C．
【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．
8．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为即可求得，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴，∴，∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，∴，
∴，∴．
∵小正方形的面积为，又∵，∴，
联立可得 ，解得 ，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系．
9．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．
【详解】解：∵三角形较长直角边长为，较短直角边长为，∴四个三角形的面积为，
∵，大正方形的面积为，∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，∴，故选．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键．
10．（2022·重庆江津·八年级期中）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，AD＝2，则阴影部分的面积是__________
【答案】1
【分析】根据勾股定理得出AC2+CD2＝AD2，进而得出半圆面积解答即可．
【详解】解：∵△ACD是直角三角形，∴AC2+CD2＝AD2，
∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，
∴S半圆ACD＝π AD2，S半圆AEC＝π AC2，S半圆CFD＝π CD2，
∴S半圆ACD＝S半圆AEC+S半圆CFD，
∴所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）＝Rt△ACD的面积＝×2×1＝1；
故答案为：1．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是发现图中阴影部分的面积等于三角形ACD的面积．
11．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．
【答案】 12； s1+s2=s3
【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．
【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，
又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，
又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，
∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，
∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．
【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．
12．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，第一个正方形的边长为，
第一个正方形的面积为，由勾股定理得，，
，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，
“生长”第1次后所有正方形的面积和为，
同理，“生长”第2次后所有正方形的面积和为，
则“生长”第2023次后所有正方形的面积和为，故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
【答案】16
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意作出如下图，
得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，
△ADC面积＝（5×3 2×3）＝，阴影部分的面积S＝34 4×＝16， 故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．
14．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．
【答案】
【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积．
【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，，
则，，，
∵， ∴
，
∴． 故答案是：．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．
（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ；
（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据勾股定理求得Ⅲ的面积，根据图形面积相减即可求得图2的Ⅲ中有水部分的面积；
（2）根据正方形的中心对称的性质可知，过中心的线将正方形的面积平分，据此即可求得图3的Ⅱ中有水部分的面积
【详解】已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水
Ⅲ的面积是 Ⅰ的面积为AC Ⅱ的面积为
（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，
Ⅲ中有水部分的面积为 故答案为：
（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），
根据正方形是中心对称图形，经过点的直线将正方形的面积平分，
则Ⅲ中有水部分的面积为Ⅲ的面积的一半，
Ⅱ中有水部分的面积 故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2022·广东·八年级课时练习）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形．
（1）试画出2次操作后的图形．
（2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和．
（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？
（4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）根据题意在图②的基础上再进行一次操作，完成作图即可；（2）根据勾股定理可得每操作一次，增加的正方形的面积刚好等于第一个正方形的面积，即1cm2，进而求得操作2次操作后的图形中所有正方形的面积和；（3）观察图③即可求得答案；（4）根据等腰直角三角形和正方形都是轴对称图形，每次操作所产生的图形都是关于同一条对称轴对称，进而可得结论．
【详解】（1）2次操作后的图形如图所示．
（2）原来直角三角形的斜边为1cm,则最下面的正方形的面积为cm2,
根据勾股定理可得 则原图①中三个正方形的面积为2cm2，
根据勾股定理可得每操作一次，增加的正方形的面积刚好等于第一个正方形的面积，即1cm2；故2次操作后所有正方形的面积和为2+2=4(cm2）
2次操作后的图形中所有正方形的面积和为．
（3）如果一直画下去，则看起来像一棵树；
（4）如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，“毕达哥拉斯树”将是轴对称图形．
【点睛】本题考查了勾股树问题，掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2022·湖南·八年级课时练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．
【答案】(1)见解析(2)24(3)
【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式；
（2）设，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四个三角形面积计算即可；（3）设四边形MTKN的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD面积为8x+y，根据进行计算可得，即为的值．
(1)法一：，
另一方面，，即，则．
法二：
另一方面，∴整理得：
(2)，设，依题意有解得
．故该飞镖状图案的面积是24．
(3)将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且，
∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了三角形和正方形面积的应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键．
18．（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．
【分析】（1）运用等面积法计算即可；
（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法化简计算即可；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可；
（4）将风车周长表示出来，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可．
(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，
空白小正方形的面积为，整个围成的大正方形的面积为，
∵，即，故；
(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE 可知 ，
其中，，，，
代入可得，，即；
(3)由图2可知，，∵，，∴，
则=100，∴，故空白部分的面积为52；
(4)由题意可知，风车的周长为 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且，即，将c=9-b代入得，
，解得b=4，则．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
