嘉祥教育集团2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试题答案及评分意见
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
ACDB BDAC
8．解：由已知可得f（x）是偶函数，且在[ 0，+∞）上是增函数，
不等式f（ax + 1）≤ f（x－2）恒成立 ∣ax + 1∣≤∣x－2∣在[，1 ]上恒成立，
将x = 1代入得∣a + 1∣≤1， 所以 －2≤a≤0，排除ABD，选C．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．ABC
10．ABD
11．ACD
12．ABD
12．解：画f（x）的图象如图所示：
对A选项，因为 所以f（－x）= f（x）恒成立，故选项A正确；
对B选项，当x＞1时，f（x）=∣x－2∣，f（x－2）可以看做是f（x）向右平移两个单位，经过平移知f（x－2）≤f（x）恒成立，故选项B正确；
对C选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项C错误．
对D选项，由图知，当x∈R时，f（x）≥0，令t = f（x），由y = f（t）和y = t（t≥0）的图象知，当t≥0时，y = t在y = f（t）的上方，所以当t≥0时，t≥f（t），即f（f（x））≤f（x）成立，故选项D正确．
故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．单调递增
14．－3
15．（－∞，－2 ]∪[ 1，+∞）
16．解：作出函数f（x）的图象如图所示：
由题意可得m≤1，1＜n≤，3m + 1 = n2－1，
所以，于是t = n－m =，
所以当时，t的最大值为．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知集合M = { x｜1＜x＜4 }，集合N = { x｜3＜x＜5 }．
（1）求 M∩N 和 M∪（RN）；
（2）设A = { x｜a≤x≤a + 3 }，若A∪（RN）= R，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意，可得RN = { x｜x≤3或x≥5 }，
所以M∩N = { x｜3＜x＜4 }，M∪（RN）= { x｜x＜4或x≥5 }． ……………… 5分
（2）因为A = { x｜a≤x≤a + 3 }，若A∪（RN）= R，
所以 解得2≤a≤3，所以a的取值范围是[ 2，3 ]． ……………… 10分
18．（本题满分12分）
已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义证明；
（2）若f（2m－1）＞f（1－m），求实数m的取值范围．
证明：（1），x∈（0，+∞）．
任取0＜x1＜x2，可知．
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1 + 1＞0，x2 + 1＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．………… 6分
（2）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以根据f（2m－1）＞f（1－m），可得 解得 ＜m＜1．
故实数m的取值范围是（，1）． ……………… 12分
19．（本题满分12分）
已知实数x＞0，y＞0，且 2xy = x + y + a（x2 + y2），a∈R．
（1）当a = 0时，求2x + 4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值；
（2）当时，求x + y的取值范围．
解：（1）因为a = 0时，已知等式即为 2xy = x + y，结合x＞0，y＞0，所以，
故2x + 4y =≥，
当且仅当时等号成立，并结合2xy = x + y，解得，时，等号成立．
…………… 6分
（2）当时，已知等式即为 2xy = x + y +（x2 + y2） 4xy = 2（x + y）+（x2 + y2）
6xy = 2（x + y）+（x + y）2 ， 注意到 xy≤，所以2（x + y）+（x + y）2 ≤
4（x + y）≤（x + y）2 x + y≥4，等号取得的条件是x = y = 2．
所以x + y的取值范围是 [ 4，+∞）． ……………… 12分
20．（本题满分12分）
目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E = kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km∕h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km∕h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
（1）求E关于v的函数关系式；
（2）当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．
解：（1）由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间（v＞3），
则所消耗的能量（v＞3）． ……………… 6分
（2）有≥10k（6 + 6）= 120k，
当且仅当，即v = 6 km∕h时等号成立，此时取得最小值120k．
……………… 12分
21．（本题满分12分）
已知命题p：x满足 命题q：x满足x2－x－2＜0．
（1）若存在x∈（，3），p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1）当x∈（，3）时，由 得 －1＜ax≤2，所以．
而，，∴ ，
故实数a的取值范围是(－2，4)． ……………… 6分
（2）设集合A = { x︱} = { x︱－1＜ax≤2 }，B = { x︱x2－x－2＜0 } = { x︱－1＜x＜2 }．
若p是q的必要不充分条件，则BA．
当a = 0时，A = R，满足BA．
当a＞0时，A = { x︱}，∴ ≤－1且≥2，解得 0＜a≤1．
当a＜0时，A = { x︱}，∴ ≤－1且≥2，解得 ≤a＜0．
综上所述，实数a的取值范围是 [，1 ]． ……………… 12分
22．（本题满分12分）
对于函数f（x），若f（x0）= x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f [ f（x0）] = x0，则称x0为 f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A = { x︱f（x）= x }，B = { x︱f [ f（x）] = x }．
（1）求函数g（x）= 3x－8的“稳定点”；
（2）求证：A B；
（3）若f（x）= ax2－1（a，x∈R），且A = B≠，求实数a的取值范围．
解：（1）由g [ g（x）] = x，有 3（3x－8）－8 = x，解得x = 4，
所以，函数g（x）= 3x－8的“稳定点”为x = 4． ……………… 3分
（2）若A = ，则A B，显然成立．
若A≠，设t∈A，有f（t）= t，则有f [ f（t）] = f（t）= t，所以t∈B，故A B．
……………… 6分
（3）因为A≠，所以方程ax2－1 = x有实根，即ax2－x－1 = 0有实根，
所以 a = 0 或 解得 a≥．
又由f [ f（x）] = x得 a（ax2－1）2－1 = x，即 a3x4－2a2x2－x + a－1 = 0， （*）
由（2）知A B，故方程（*）左边含有因式 ax2－x－1，
所以，因式分解得 （ax2－x－1）（a2x2 + ax－a + 1）= 0．
又A = B，
所以方程a2x2 + ax－a + 1 = 0要么无实根，要么根是方程ax2－x－1 = 0的解．
（ⅰ）当方程a2x2 + ax－a + 1 = 0无实根时，可解得a＜．
（ⅱ）当方程a2x2 + ax－a + 1 = 0的根是方程 ax2－x－1 = 0的解时，
又ax2－x－1 = 0 a2x2－ax－a = 0．
比较两个方程，得 ax + 1 =－ax ，
代入方程ax2－x－1 = 0，解得．
综上，a的取值范围是[，]． ……………… 12分绝密 启用前
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数 学
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回．
2．选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A = { x｜－1＜x＜3 }，B = { x｜x≥1 }，则集合A∪B =（ ）
A．{ x｜x＞－1 } B．{ x｜－1＜x＜3 } C．{ x｜1≤x＜3 } D．R
2．如果A = { x｜1≤x≤2 }，B = { y｜1≤y≤4 }，那么下列对应法则不可以作为从A到B的函数的是（ ）
A．f:x→y = 2x B．f:x→y = x2 C．f:x→ D．f:x→y =｜x－4｜
3．下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则 B．若a＞b，则
C．若a＞b，c≠0，则 D．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
4．设x∈R，则“x（x－4）＜0”是“｜x－1｜＜1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．若，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周 第二周的猪肉价格分别为a元∕斤 b元∕斤（a≠b），甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲 乙购买猪肉的平均单价分别记为m1元∕斤，m2元∕斤，则下列结论正确的是（ ）
A．m1＜m2 B．m1＞m2 C．m1 = m2 D．m1，m2的大小无法确定
8．定义在R上的函数f（x）满足f（－x）= f（x），且 x1，x2∈[ 0，+∞），当x1≠x2时，都有，若对于任意的x∈[，1 ]，不等式f（ax + 1）≤ f（x－2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－5，1 ] B．[－5，0 ] C．[－2，0 ] D．[－2，1 ]
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列各组中M，P表示相同集合的是（ ）
A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
10．关于函数，正确的说法是（ ）
A．f（x）与x轴仅有一个交点 B．f（x）的值域为{ y∣y≠2 }
C．f（x）在（1，+∞）单调递增 D．f（x）的图象关于点（1，2）中心对称
11．若a＞0，b＞0，且a + b = 2，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．ab≤1 B．≤2 C．a2 + b2≥2 D．≤2
12．设函数f（x） = min {∣x－2∣，x2，∣x + 2∣}，其中min { x，y，z } 表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）为偶函数 B．当x∈（1，+∞）时，f（x－2）≤f（x）
C．当x∈[－4，4 ] 时，∣f（x－2）∣≥ f（x） D．当x∈R时，f（f（x））≤f（x）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．幂函数在（0，+∞）上的单调性是 ．（填“单调递增”或“单调递减”）
14．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）= x2－1，则f（－2）= ．
15．已知集合A = { x｜－1≤x≤4 }，集合B = { x｜2m＜x＜m + 1 }，且x∈A，xB为真命题，则实数m的取值范围为 ．
16．已知函数 若n＞m，且f（n）= f（m），设t = n－m，则t的最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知集合M = { x｜1＜x＜4 }，集合N = { x｜3＜x＜5 }．
（1）求 M∩N 和 M∪（RN）；
（2）设A = { x｜a≤x≤a + 3 }，若A∪（RN）= R，求实数a的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知函数，x∈（0，+∞）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义证明；
（2）若f（2m－1）＞f（1－m），求实数m的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知实数x＞0，y＞0，且 2xy = x + y + a（x2 + y2），a∈R．
（1）当a = 0时，求2x + 4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值；
（2）当时，求x + y的取值范围．
20．（本题满分12分）
目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E = kv2t，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km∕h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km∕h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E．
（1）求E关于v的函数关系式；
（2）当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值．
21．（本题满分12分）
已知命题p：x满足 命题q：x满足x2－x－2＜0．
（1）若存在x∈（，3），p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22．（本题满分12分）
对于函数f（x），若f（x0）= x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f [ f（x0）] = x0，则称x0为 f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A = { x︱f（x）= x }，B = { x︱f [ f（x）] = x }．
（1）求函数g（x）= 3x－8的“稳定点”；
（2）求证：A B；
（3）若f（x）= ax2－1（a，x∈R），且A = B≠，求实数a的取值范围．
