福州市八县市一中2023-2024学年第一学期期中考联考
高中三年数学试卷
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“”的否定为（ ）
A. B. C. D.
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是( )
A． B．
C． D．
5．己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
7．若函数满足对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．“”是“与的夹角为锐角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
10．设，若，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．无极值点 C．的对称中心是 D．
11．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（ ）
A．圆台的体积为
B. 直线与下底面所成的角的大小为
C. 异面直线和所成的角的大小为
D. 圆台外接球的表面积为
12．已知实数满足：且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集 .
14．关于的方程其最小14个正实数解之和为 .
15．设是数列的前项和，写出同时满足下列条件数列的一个通项公式: .
①数列是等差数列； ②，； ③，
16．已知函数，直线、是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最值.
18．（本题满分12分）
已知函数.
（1）若在上有且仅有2个极值点，求的取值范围；
（2）将的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若的最小正周期为，求的单调递减区间.
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
20．（本题满分12分）
已知中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：.
高三年级（数学）评分细则
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
答案 1 2 3 4 5 6 7 8
题号 D D B B C C A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD BCD BC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． (0,4) 14．
15．形如：，其中，均可，比如
16．(0,1)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（1）． ……………………1分
当或时，；当， ……………………3分
故函数递增区间为和，递减区间为. ……………………5分
（2）由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增， ……………………6分
且，， ……………………8分
则在上的最大值， ……………………9分
最小值． ……………………10分
18．解：（1）， ……………………1分
因为，所以当时，， ……………………2分
依题意可得，函数在上有且只有2个极值点，
则， ……………………4分
解得，故的取值范围是. ……………………5分
（2）依题意可得，， ……………………6分
因为的最小正周期为，所以，即， ……………………7分
所以， ……………………8分
令，， ……………………10分
则，，
故的单调递减区间为. ……………………12分
19．（1）证明：取的中点，连接， ……………………1分
在中，因为分别为的中点，可得且，
又因为为的中点，所以且， ……………………2分
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面. ……………………5分
（2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，
又因为为的中点，所以，则，
又由平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，如图所示， ……………………6分
因为底面是菱形，且，，
可得，
则 ……………………8分 设平面的法向量为，则，
取，可得，所以， ……………………10分
易得平面的法向量为，设求平面与平面所成角为，
则， ……………………11分
所以平面与平面所成角的余弦值为. …………………12分
20．（1）解法一：由正弦定理得，则，即，① ………1分
又，由余弦定理得，即，② …………2分
由①②得，则有，所以， ……………………4分
由余弦定理逆定理得， ……………………5分
又，所以 ……………………6分
解法二：由正弦定理得， ……………………1分
即 ……………………2分
又，有，故， ……………3分
即，
得，即， ……………………4分
因为，所以， ……………………5分
所以，所以. ……………………6分
（2）由（1）得，，， ……………………7分
， ……………………8分
由三角形三边关系可得，代入化简可得， ……………………9分
令，，， ……………………10分
， ……………………11分
，的取值范围是. ……………………12分
21．解：（1）解：∵，
∴当时，，两式相减得，. ……………………1分
∵，，所以，∴， ……………………2分
∵，∴， ……………………3分
∴数列是以首项，公比为的等比数列． ……………………4分
∴ ……………………5分
（2）∵，∴， ……………………6分
∴，
∴，
∴
∴， ……………………9分
∵对任意恒成立，
∴，
∴， ……………………10分
∴恒成立， ……………………11分
∵，∴，
∴的取值范围是． ……………………12分
22．解：（1）由题得，其中， ……………………1分
令，，其中对称轴为， ．
①若，则，
此时，则，所以在上单调递增； ……………………2分
②若，则，
此时在上有两个根，，且，
所以当时，，则，单调递增；
当,时，，则，单调递减；
当,时，，则，单调递增， ……………………4分
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增． ……………………5分
由（1）知，当时，有两个极值点，，且，，
…………………6分
所以
． …………………9分
令，， …………………10分
则，故在上单调递减，
所以，所以，
即． …………………12分
