无锡市2023-2024学年高三上学期期中考试
数 学
2023.11.7
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}．则A∩（ UB）＝（ ）
A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{1，3，5}
2．已知复数z＝2－i，则的虚部为（ ）
A．－2 B．－1 C．6 D．2
3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的是公式Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期k∈（－1，0），那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （ ）
（参考数据：ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）
A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07
7．记函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的最小正周期为T，且．将y＝f（x）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．设函数f（x）＝x＋lnx，g（x）＝xlnx－1，在（0，＋∞）上的零点分别为a，b，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．平面向量a，b是夹角为60°的单位向量，向量c的模为，则|a＋b＋c|的值有可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知a＞0，b＞0，，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最小值为12 B．a＋b的最小值为
C．a2＋b2的最小值为24 D．的最小值为2
11．已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的最小值为0
C．y＝f（x）的图象关于点（π，1）对称 D．y＝f（x）的图象关于直线对称
12．已知函数f（x）定义域为R，满足，当x∈（0，1]时，f（x）＝－4x（x－1）．则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程共有三个不同实根
C． D．使不等式成立的x的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知集合A＝{x|（x＋1）（x－1）＜0}，非空集合B＝{x|m＜x＜1}．若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为___________．
14．曲线在点（－π，0）处的切线方程为___________．
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sk＝－2，Sk＋1＝0，Sk＋2＝3．则正整数k的值为___________．
16．圆O1与圆O2半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆O1，O2上的动点，∠APB＝120°，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若c＝6，AB边上的高等于，求△ABC的周长．
18．（本小题满分12分）
在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，点P在线段DE上运动．
（1）当P为DE中点时，设，求λ＋μ的值；
（2）若∠BAD＝60°，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{bn}满足bn＝n－（－1）nSn，a1＋b1＝3，a2－b2＝5．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Tn．
①求T10；
②若集合A＝{n|n≤100且Tn≤100，n∈N*}，求集合A中所有元素的和．
20．（本小题满分12分）
设函数，
（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集：
（2）当a＞0时，若对任意，函数f（x）在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
各项均为正数的数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，且（Sn＋1＋1）an＝（Sn＋1）an＋1对一切n∈N*都成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在ak和ak＋1之间插入k个数，使这k＋2个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为ck，其中k＝1，2，…，n．求数列{cn}的前n项和．
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当a＝1时，求证：函数f（x）为减函数：
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且lnx1＋λlnx2＞1＋λ恒成立，求正实数λ的取值范围．
无锡市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学 答案
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟．本卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】，选A．
2．【答案】D
【解析】，虚部为2，选D．
3．【答案】B
【解析】，单调减，选B．
4．【答案】B
【解析】，选B．
5．【答案】C
【解析】在取极值，．在，，选C．
6．【答案】C
【解析】，选C．
7．【答案】D
【解析】．
为偶函数，
时，．
8．【答案】B
【解析】在，在，，
在，最大，，
，选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】ABC
【解析】设，
，
，选ABC．
10．【答案】AD
【解析】，A对．
，B错．
，
，
在，C错．
，D对，选AD．
11．【答案】BD
【解析】，不是的周期，A错．
，当时取“=”，B对．
，
，C错．
，D对，选BD．
12．【答案】ACD
【解析】方法一：，A对．
时，有两个根0，时，即有两个根，共4个根，B错．
是以1为首项为公比的等比数列，
，C对．
，则或时，．
成立的的最大值为，D对，选ACD．
方法二：时，，
当时，，…，时，，取时，，A正确．
作出大致图象如下，联立或，
与共四个交点，B错．
对于为奇数时，，为偶数时，．
，C正确．
对于D，当时，令或，
结合图象知，D正确；选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】，“”是“”的必要不充分条件，则，则．
14．【答案】
【解析】，切线：．
15．【答案】4
【解析】，
（舍）或4．
16．【答案】
【解析】方法一：如图建系，圆，圆
设，则，
．
方法二：设，，
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1），
．
（2），
且，
，
周长为．
18．（12分）
【解析】（1）为中点时，，．
（2）设，
，
．
19．（12分）
【解析】（1），结合，
，
．
（2）①
．
②事实上为偶数时，
，均满足，
为奇数时，
当时，
中所有元素的和为：．
20．（12分）
【解析】（1）时，由或，
解集为．
（2）显然在上单调递减，
，
，
而，
令，
．
21．（12分）
【解析】（1）①
时，②
，
．
（2）
记的前项和为，
①
②
．
22．（12分）
【解析】（1）时，，，
为减函数．
（2）有两个变号零点，，
当时，，在上不可能有两个零点，舍．
当时，在上↗；上↙
要使有两个零点，必有，
且注意到，
在和上各有一个零点，
，由
恒成立，令，
，令
在上↙，且，，
．
