2024年中考九年级数学一轮复习训练卷之方程与不等式02
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．x2+2x＝x2﹣1
C．ax2+bx+c＝0 D．3(x+1)2＝2(x+1)
2．不等式组 的解集是（ ）
A．x＞－2 B．x＜1 C．－1＜x＜2 D．－2＜x＜1
3．若关于 的方程 有实数根，则 的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．语句“x的2倍与的和是正数”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
6．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0
7．已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知一元二次方程 的两根 、 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是 ．
12．分解因式： ；分式方程 的解为 .
13．已知关于 的方程 ( 为实数)两非负实数根 ，则 的最小值是 .
三、计算题
14．解方程： + =1．
15．用适当的方法解方程．
（1）
（2）
四、解答题
16．解不等式组 ，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的所有整数解。
17．某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．要想平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？
18．在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
五、综合题
19．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
（1）小明的解法从第几步开始出现错误；计算此题的正确结果
（2）用因式分解法解方程：x（2x-1）=3（2x-1）
20．今年年初新型冠状病毒感染的肺炎疫情在武汉爆发，以习近平同志为核心的党中央高度重视，社会各届积极行动，向武汉捐赠资金和抗疫物资，某爱心企业积极筹措资金购买A，B两种品牌的呼吸机100台，援助某治疗新型冠状病毒感染的肺炎的定点医院.已知每台A品牌呼吸机比每台B品牌呼吸机的进价多0.2万元，用20万元购买A品牌呼吸机的数量和用18万元购买B品牌呼吸机的数量相同.
（1）求A，B两种品牌呼吸机的进价各是多少万元
（2）已知该企业筹措的资金不超过185万元，那么至少购进B品牌呼吸机多少台？
六、实践探究题
21．阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 将原方程化为 ①，解得 ．
当 时
当 时， ，
原方程的解为
阅读后解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A、 ＝3不是整式方程，不符合题意；
B、方程整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
C、ax2+bx+c＝0没有条件a≠0，不一定是一元二次方程，不符合题意；
D、3(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：解不等式①可得：x＞－2；解不等式②可得：x＜1，∴不等式组的解为－2＜x＜1，
故答案为：D.
【分析】由题意先将每一个不等式的解集求出来，再找出各解集的公共部分即可求解。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根
∴
即
解得：
故可 满足此取值范围，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程有实数根，故 ，列出不等式并解不等式，在 的取值范围内的值即满足条件.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：语句“x的2倍与的和是正数”可以表示为．
故答案为：B．
【分析】和是正数，即得和＞0，据此列式即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选D．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】根据题意代入x=1，则原方程为
m﹣2+4﹣m2＝0
解得m1=-1，m2=2
当m2=2时，一元二次方程 （m﹣2）x2+4x﹣m2＝0 不存在
故m2=2要舍去
故选：B
【分析】根据题意代入x值后求解m，特别注意求得的m值要使原方程成立，如果不成立则必须舍去。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，将x=1代入
1-4+c=0
∴c=3
∴方程为x2-4x+3=0
∴（x-3）（x-1）=0
∴方程的另外一个根为3
故答案为：C.
【分析】根据题意，将根=1代入方程即可得到c的值，求出另外一个个根即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】原计划平均每天植树x课，则现在平均每天植树（x+50）棵，原计划植树450棵所需天数为 天，现在植树600棵的时间为 ，所以 = .
故答案为：A.
【分析】根据原计划植树600颗和450颗的时间相同，可列出方程。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】
解：由原不等式组可得：
当1-a=a-2时，a=1.5，此时，此不等式组无解。
当1-a＞a-2时，a＜1.5，此时不等式组无解。
当1-a
故答案为：D.
【分析】先化简不等式组，再分三种情形进行分析。
11．【答案】3
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴ =b2-4ac=12-4k=0，
解得：k=3．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式 =b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值即可．
12．【答案】；
【解析】【解答】解：原式 ；
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解.
故答案为： ；
【分析】观察此多项式的特点：有三项且含有公因式m，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解；先在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的解。
13．【答案】-15
【解析】【解答】解：由题意得：a+b=4,ab=t-2,
则
=(t-2)2-16+2(t-2)+1
=t2-4t+4-16+2t-4+1
=t2-2t-15
=(t-1)2-16,
△=b2-4ac=16-4(t-2)=-4(t-6)＞0，
t<6,
ab=t-2≥0,
则t≥2,
∴2≤t<6,
∵设y=(t-1)2-16,
当t>1时，y随t的增大而增大，
∴ymin=(2-1)2-16=-15,
故答案为：-15.
【分析】根据根与系数的关系先求两根之和和两根之积，把求值式变形，用两根之和与两根之积来表示，求得关于t的表达式，因为方程有两非负实数根，由判别式和两根之积大于零列式求出t的范围，根据二次函数的性质即可求出其最小值。
14．【答案】解：去分母得：2x﹣x2+2x+4=4﹣x2，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
15．【答案】（1）解：，
，
解得，
（2）解：，
，
，
解得，
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
16．【答案】解：解不等式2x-1<5，得： <3，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的所有整数解为-1、0、1、2
【解析】【分析】先分别求解两个不等式，然后找出两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集，最后找出解集中的整数解即可.
17．【答案】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200
整理，得x2﹣30x+200=0
解之得 x1=10，x2=20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应略去，
∴x=20，
答：每件衬衫应降价20元
【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；
18．【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
19．【答案】（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，
3x2-8x（x-2）=0，
x（3x-8x+16）=0，
x（5x-16）=0，
x1=0，x2=
（2）解：x（2x-1）=3（2x-1），
（2x-1）（x-3）=0，
2x-1=0或x-3=0，
x1= ，x2=3
【解析】【分析】（1）方程两边同时除以x，那么方程的根x=0就被丢掉了；（2）先利用提公因式方程对方程进行因式分解，即可求得方程的根.
20．【答案】（1）解：设B品牌的呼吸机的进价是x万元/台，则A品牌的呼吸机的进价是（x+0.2）万元/台，
依题意，得： ，
解得：x＝1.8，
经检验：x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝2.
答：A品牌的呼吸机的进价是2万元/台，B品牌的呼吸机的进价是1.8万元/台.
（2）解：设购进B品牌的呼吸机m台，则购进A品牌的呼吸机（100﹣m）台，
依题意，得：1.8m+2（100﹣m）≤185，
解得：m≥75.
答：至少购进B型呼吸机75台.
【解析】【分析】（1）设B品牌的呼吸机的进价是x万元/台，则A品牌的呼吸机的进价是（x+0.2）万元/台，根据数量＝总价÷单价结合用20万元购买A品牌呼吸机的数量和用18万元购买B品牌呼吸机的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进B品牌的呼吸机m台，则购进A品牌的呼吸机（100﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过185万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.
21．【答案】（1）换元；整体与划归
（2）令 ，则 ，解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时， ， ，方程无解，
综上：方程的解是 ， ．
【解析】【解答】解：（1）将 设为y，利用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想，
故答案是：换元，整体与划归；
【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；
（2）令 ，得 ，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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