2023-2024 学年上学期九年级期中学情诊断试卷(B 卷)
数学
一．选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．已知一元二次方程 3x2﹣5x﹣1＝0 的二次项系数为 3，则一次项系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1
2．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，
“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向
上”的概率是（ ）
A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．0.630
3．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具
有同一性质是（ ）
A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．平分一组对角
4．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长 15m，宽 12m 的矩形试验田．现需在试验
田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学
2
校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为 154m ．求小路的宽为多少米？若设小
路的宽为 xm，根据题意所列的方程是（ ）
A．（15﹣x）（12﹣x）＝154
2
B．（15﹣x）（12﹣x）﹣x＝154
C．（15﹣x）（12﹣x）＝77
D．15×12﹣（15﹣x）（12﹣x）＝154
九年级数学 B 卷 第 1 页 共 6 页
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5. 如图，点 P在△ABC 的边 AC 上，要判断
△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正
确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
6. 如图，已知 AB∥CD∥EF，BC：CE＝3：4，
AF＝21，那么 DF 的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
7. 如图，在长方形 ABCD 中，连接 AC，以 A为圆心
适当长为半径画弧，分别交 AD，AC 于点 E，F，分
别以 E，F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两
弧在∠DAC 内交于点 H，画射线 AH 交 DC 于点 M．
若∠ACB＝72°，则∠DMA 的大小为（ ）
A．72° B．54°
C．36° D．22°
8.如图，夏季的一天，身高为 1.6m 的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影
BA 由 B 到 A 走去，当走到 C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC
＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（ ）
A．8m
B．6.4m
C．4.8m
D．10m
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9.如图，在△ABC 中，点 D、点 E分别是 AB，AC 的中点，点 F是 DE 上一点，且∠AFC
＝90°，若 BC＝12，AC＝8，则 DF 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，有一块三角形余料 ABC，BC＝120mm，高线 AD＝90mm，要把它加工成一个
矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，点 P、M分别在 AB，AC 上，若满足 PM：PQ＝2：1，
则 PQ 的长为（ ）
A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm
二．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．若 ＝ ＝ ＝2，且 b+d+f＝4，则 a+c+e＝ ．
12．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5，
则 AC 的长为 ．
13．如图，点 E，F，G，H分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD 上的中点，连接
四边形 ABCD 各边中点，当四边形 ABCD 满足 条件，四边形 EFGH 是
矩形．
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14．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，M、N 分别是
AD、BC 的中点，MN∥AB，若矩形 DMNC 与矩形
ABCD 相似，则 AD 的长为 .
15．如图，在△ABC 中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点 E
从 C点出发到 A点止，点 D的运动速度为 1cm/s，点 E的运动速度为 2cm/s．若 D，
E两点同时出发，则当以点 A，D，E为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为
s．
三．解答题（共 8小题）
16．（10 分）解方程：
2 2
（1）（2x﹣1）＝9． （2）x﹣4x﹣5＝0．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的顶点分别是 A（1，1），
B（2，3），C（3，2）．
（1）作出△ABC 关于 x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的左侧画出△A2B2C2，使它与原三角形相似比
为 2：1；
（3）求△A2B2C2的面积．
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18．（9分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校组织七、八、九年级学生参加了
“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图
1和图 2不完整的统计图．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）参赛作文的篇数共 篇；
（2）图中：m＝ ，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数
为 °；
（3）把条形统计图补充完整；
（4）经过评审，全校共有 4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准
备从特等奖作文中选取 2 篇刊登在学校校报上，请用树状图或列表法求七年级特等
奖作文被刊登在校报上的概率．
19．（9分）关于 x 的方程 x2+2x+2k﹣1＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 取最大整数值时，求方程的两个根．
20．（9 分）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交
AC 于点 F．
（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；
（2）若 AE＝13，AD＝24，试求四边形 AEDF 的面积．
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21．（9分）如图，在△ABC 和△DEC 中，
∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若 S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求 EC 的长．
22.（10 分）某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了促进销售，商场
决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多
售出 2件，设每件商品降价 x元．据此规律，请回答：
（1）降价后，每件商品盈利 元，日销售量 件．（用含
x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，
商场日盈利可达到 2100 元？
23．（10 分）．如图（1），已知点 G在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为
点 E，GF⊥CD，垂足为点 F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形 CEGF 是正方形：
②推断： 的值为 ；
（2）探究与证明：
将正方形 CEGF 绕点 C顺时针方向旋转α角（0＜α＜45°），如图（2）所示，试探
究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延
长 CG 交 AD 于点 H．
①若 AG＝8，GH＝2 ，则 BC＝ ．
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