2023～2024学年度第一学期
九年级期中考试数学试卷（Ⅴ）
说明：1.本卷满分120分；2.考试时间90分钟；3.答案请写在答题卷上.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.方程的根是（ ）
A. B. C.， D.
2.若点，在抛物线（）上，则它的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
3.下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ）
A.0， B.0，0 C.， D.，0
5.李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A.10.5% B.10% C.20% D.21%
6.二次函数图象的顶点坐标是，则的值为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
7.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A. B. C. D.
10.二次函数（）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.当时，
C. D.当时，随的增大而增大
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.与点关于中心对称的点的坐标为______.
12.在平面直角坐标系中，若抛物线与轴只有一个交点，则______.
13.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是______.
14.如图，在矩形中，，.矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形.若点的对应点落在边上，则的长为______.
15.对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为______.
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18各7分，共24分）
16.（1）解方程：.
（2）已知：二次函数的图象开口向上，并且经过原点.求的值.
17.已知是一元二次方程的一个解，且，求的值.
18.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上.
（1）以为原点建立直角坐标系，点的坐标为，直接写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转90°后的.
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
（1）求与的关系式；
（2）当取何值时，的值最大？
20.如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连结.
（1）直接写出旋转角的度数；
（2）求证：.
21.已知是关于的一元二次方程的一个根，且（其中为实数），求的值及方程的另一个根.
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
22.如图，矩形中，，，点在上，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接.
（1）作，垂足为，求证：；
（2）当时，求的长；
23.如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线（）经过点，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点，当时，求点的坐标.
2023～2024学年度第一学期
九年级期中考试数学试卷（Ⅴ）参考答案
一、选择题
CDDBB ADCCB
二、填空题
11. 12.1 13.17 14.1 15.或2
三、解答题（一）
16.（1）解：把方程左边因式分解，得.
从而，得，或.
所以，.
（2）解：图象开口向上，，
函数图象经过原点，，
解得，（舍去），；
答：的值为1.
17.解：把代入方程，得：，又
所以，.
18.解：（1）；
（2）如图，为所求.
四、解答题（二）
19.解：（1）；
与的关系式为：.
（2）
当时，的值最大.
20.（1）解：旋转角的度数为60°.
（2）证明：由题意可知：，，，
由（1）知：，为等边三角形.
，而，
，
21.解：由已知得：，，又，，
把代入原方程得：
整理得：，解这个方程得：，
当时，原方程化为：
解得：
当时，原方程化为：
解得：，
的值为1或，方程的另一根为：或.
五、解答题（三）
22.（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，，
（2）解：在中，，
，，
在中，，，
中，
答：的长为.
23.解：（1）当时，，解得，
当时，，则点，点，
把，，，
分别代入得
解得：，，，
该拋物线的解析式为.
（2）由不等式，得，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式的解集为；
（3）如图，作轴于点，交于点，
在中，，，，
在中，，，，
设点，则点，
当点在直线上方时，，
即，解得，则，点的坐标为：.
当点在直线下方时，，
即解得，，
或，
综上所述，符合条件的点坐标有或或.
