广东省深圳市龙岗区丽湖学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
（第一章～第四章）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，有且只有一个是正确的）
1．根据下列表述，能够确定具体位置的是（ ）
A．北偏东方向 B．距学校处
C．深圳大剧院音乐厅8排6座 D．东经
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在一次函数的图像上，则k等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
5．下列说法正确的是（ ）
A．平方根是 B．16的算术平方根是
C．的算术平方根是 D．的立方根是1
6．已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）
A．y=2x+3 B．y=x﹣3 C．y=2x﹣3 D．y=﹣x+3
8．已知，中，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B． C．，， D．，，
9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
12．如图，一只跳蚤从点出发，先向上爬了个单位，又向左爬行了个单位到达点，然后跳到点关于轴成轴反射的点，则点的坐标为 ．
13．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数为 ．
14．直线过点，将它向下平移2个单位后所得直线的表达式是 ．
15．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，当取最小值时， ．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为，点B坐标为（1，1）．
(1)请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为__________；
(2)依次连接A，B，C，A，得到，请判断的形状，并说明理由；
(3)若点C关于直线的对称点为点D．则点D的坐标为__________；
(4)在y轴上找一点F，使的面积等于的面积，点F的坐标为__________．
18．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，画一个格点三角形，使得；
(2)在（1）的条件下，直接写出边上的高；
(3)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
19．如图，小区有一块三角形空地，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路隔开，．经测量，米，米，米，米．
(1)求的长；
(2)求小路的长
20．阅读理解．
因为，即，
所以．
所以的整数部分为1．
所以的小数部分为．
解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．
(1)求，的值；
(2)求的平方根；
(3)若是立方根等于本身的数，且，求的值．
21．综合与实践．
【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据：
时间 1 2 3 4 5
圆柱容器液面高度 6 10 14 18 22
【探索发现】（1）请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定与之间的函数表达式；
【结论应用】（2）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱容器液面高度达到时是几点？
22．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
(1)填空：________，________；
(2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
(3)在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据距离和方向可得具体位置，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、北偏东方向，没有距离，不能够确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
B、距学校处，没有方向，不能够确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
C、深圳大剧院音乐厅8排6座，能够确定具体位置，选项说法正确，符合题意；
D、东经，没有纬度，不能够确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定具体位置，解题的关键是确定具体位置需要两个量．
2．D
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则，逐项判定．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减和乘除运算法则．
3．C
【分析】把点代入一次函数即可得出k的值．
【详解】解：把点代入一次函数得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查待定系数求函数的解析式，代入点的坐标时要细心求解是本题的关键．
4．A
【分析】利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．
【详解】解：∵，关于y轴对称，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
5．C
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：A、没有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、16的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意；
C、的算术平方根是，原说法正确，符合题意；
D、的立方根是，原说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了求平方根，立方根，算术平方根，熟知三者的定义是解题的关键：对于实数a、b，如果满足，那么a就叫做b的平方根，如果a是正数，那么a就叫做b的算术平方根；如果，那么a就叫做b的立方根．
6．C
【分析】运用长方形周长计算公式进行变形、推导．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了实际问题中函数解析式的求解能力，关键是能准确理解并运用函数的定义，结合题意列出长方形的周长、长和宽之间的关系式并化简．
7．D
【详解】解：设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵过点A的一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），
∴可得出方程组，
解得，
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3．
故选：D．
8．D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．B
【分析】如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．
10．C
【分析】设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．
【详解】解：设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
（舍去）或，
，
连接，过点作于，如图所示：
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
11．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题的关键．
12．
【分析】把点M的纵坐标加2，横坐标减3，可得P的坐标，进而让点P的横坐标不变，纵坐标是点P的相反数，可得的坐标.
【详解】解：∵M（0，1），一只跳蚤从点出发，先向上爬了个单位，又向左爬行了个单位到达点，
∴P（3，3），
∵点关于轴成轴反射的点，
∴（3，3）.
故答案为（3，3）.
【点睛】本题主要考查坐标的平移及对称变化.
13．4
【分析】根据平方根的性质即可得到结果；
【详解】解：根据题意得，a-1+a+3=0，
解得，a=-1，
∴原数为22=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
14．
【分析】直线过点可求出，即可得到直线的解析式，再根据直线平移的规律“上加下减”即可得到答案．
【详解】解：直线过点，
，
，
直线表达式为：，
将直线向下平移2个单位后所得直线的表达式是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”，是解题的关键．
15．
【分析】利用一次函数图像上点的坐标性质得出．再求出的解析式以及点P的坐标，进而即可求解．
【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，连接，交直线于点P，
此时最小，
由题意可得出：，
∴，
设的解析式为：，
∴，解得：
∴
∴，解得：，
∴，即：，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图像上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先计算乘法，再合并，即可；
（3）先利用完全平方公式计算，再合并同类项及同类二次根式即可；
（4）先利用完全平方公式，负整数指数幂化简，再计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．(1)图形见解答，；
(2)是直角三角形，理由见解答；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据点B的坐标画出平面直角坐标系，再根据点C在坐标系中的位置写出坐标即可；
（2）由勾股定理算出三边的平方，根据两个小的数之和等于大数，即可；
（3）在图中作出点C关于直线的对称点为点D，即可；
（4）根据的面积等于的面积，这两个三角形同底，所以高相等，则点F、D到的距离相等，即可得到答案．
【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示，，
故答案为；
（2）为直角三角形，理由为：
由网格图，可知
，，，
∵，
即，
∴为直角三角形；
（3）在图中作出点C关于直线的对称点为点D，
∴，
故答案为：；
（4），理由如下：
∵的面积等于的面积，
∴点F、D到的距离相等，
则，
解得，
又∵点F在y轴上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，平面内的点与有序数对一一对应，勾股定理及其逆定理的运用，轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握各个知识点，灵活运用所学知识解决问题．
18．(1)图见解析
(2)2
(3)图见解析（答案不唯一）
【分析】（1）先结合网格特点，利用勾股定理画出，再利用勾股定理画出，然后连接即可得；
（2）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）参照（1）的方法，画出三边长分别为的直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：设边上的高为，
，
，
是直角三角形，
，即，
解得，
即边上的高为2．
（3）解：如图，即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
19．(1)9米
(2)米
【分析】（1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长；
（2）利用等积法求即可．
【详解】（1）∵米，米，米．，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：
（米）；
（2）∵，
∴，
即，
∴（米）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值；
（2）根据开平方运算，可得平方根；
（3）先根据题意求出c，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，即，
∴，
∵是的整数部分，是的小数部分，
∴；
（2）解：
，
∴的平方根为；
（3）解：∵是立方根等于本身的数，且，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．
21．（1）图象见解析，；（2）当圆柱容器液面高度达到时是
【分析】（1）根据表格得描点，连线，即可得函数的图象，由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为，根据点在该函数图象上得，进行计算即可得；
（2）根据题意得，当时，，进行计算即可得．
【详解】解：（1）描出各点，并连接，如图所示，
由图象可知该函数是一次函数，设该函数的表达式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴与之间的函数表达式为；
（2）当时，，
，
，
，
即当圆柱容器液面高度达到时是．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质．
22．(1)；3
(2)
(3)或
【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；
（2）过点M作轴于点N，可得，再根据三角形的面积，即可求解；
（3）先根据（2）的结论，设点P的坐标为，然后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
故答案为：；3
（2）解：由（1）得：，，
∴，
如图，过点M作轴于点N，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵的面积是的面积的5倍
∴，
设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
即点的坐标或．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形，正确得出相应点的坐标、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
