2023-2024学年吉林省长春八十七中九年级（上）期中数学试卷
一.选择题
1．若a的倒数为﹣，则a是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线（ ）
A．经过一点有无数条直线
B．经过两点，有且仅有一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．x2 x5＝x10 C．（﹣x4）2＝x8 D．x+x3＝x4
5．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，则乙楼的高度为（ ）
A．（36+100sin26°）米 B．（36+100tan26°）米
C．（36+100cos26°）米 D．（36+）米
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结BD，若∠B＝32°（ ）
A．32° B．64° C．26° D．36°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二.填空题
9．因疫情防控的需要，小明爸爸购买3个单价为a元的温度计，b个单价为1元的口罩 元．（用含a、b的代数式表示）
10．分解因式：﹣mn+m2＝ ．
11．如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，则∠PAC的大小为 度．
12．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．
14．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是 ．
三.解答题
15．先化简，再求值：，其中
16．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率；
（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
17．随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务
18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在给定的网格中，以AB为边画三角形．按下列要求作图：
（1）在图①中，画一个等腰△ABC，使其面积为3．
（2）在图②中，画一个直角△ABD，使其面积为．
（3）在图③中，画一个△ABE，使其面积为
20．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．
（1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是 分，他两次活动的平均成绩是 分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；
（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）：
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是 ；
（3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为 ．
21．甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作过程中的工作效率均始终保持不变．甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，当甲机器臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作．如图是两个机器臂组装零件的总量y（个）（分）之间的函数图象．
（1）甲机器臂在正常工作过程中的工作效率是每分钟组装 个零件．
（2）求甲机器臂排除故障后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）本次工作中甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用了多少分钟？
22．（1）如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点D在线段BO延长线上，连接AD ．
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）第一问的结论是否仍然成立，证明你的结论，若不成立
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，，若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD ．
23．如图，在Rt△ABC中，AC＝2，点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动，连接PA′，以PC、PA为邻边作平行四边形PCQA′．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段AP的长，AP＝ ；
（2）当点A′落在△ABC的内部时，求t的取值范围；
（3）当平行四边形PCQA′是轴对称图形时，求t的值；
（4）当CQ所在直线与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣2，5），其横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求△AOP的面积；
（3）已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是抛物线上的点，若对于2m＜x1＜2m+1，2m+2＜x2＜2m+3，都有y1≠y2，直接写出m的取值范围；
（4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点时
2023-2024学年吉林省长春八十七中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．若a的倒数为﹣，则a是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可得解．
【解答】解：∵﹣2×（﹣）＝1，
∴实数a为﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，根据倒数的定义求出a的值是解题的关键．
2．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线（ ）
A．经过一点有无数条直线
B．经过两点，有且仅有一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【分析】根据直线的性质进行判断即可．
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，即经过两点，
故选：B．
【点评】本题考查直线的性质，理解“两点确定一条直线”是正确判断的关键．
3．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为长方形可得为长方体．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间的想象能力．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．x2 x5＝x10 C．（﹣x4）2＝x8 D．x+x3＝x4
【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则逐个计算得结论．
【解答】解：A．（a2）3＝a8≠a5，故选项A运算错误；
B．x2 x5＝x7≠x10，故选项B运算错误；
C．（﹣x4）2＝x8，故选项C运算正确；
D．x与x3不是同类项，不能加减．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
5．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，则乙楼的高度为（ ）
A．（36+100sin26°）米 B．（36+100tan26°）米
C．（36+100cos26°）米 D．（36+）米
【分析】由题意知AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，由BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°（米），根据BD＝BC+CD可得答案．
【解答】解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°（米），
则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，
即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，属于中考常考题型．
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结BD，若∠B＝32°（ ）
A．32° B．64° C．26° D．36°
【分析】利用切线的性质求出∠OAC，由圆周角定理求出∠AOC，根据三角形内角和定理即可求出∠C．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝64°，
∴∠B＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣64°﹣90°＝26°，
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，根据切线的性质求出∠OAC，根据圆周角定理求出∠AOC是解决问题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选：C．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝2，转化为S△ACF＝4，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴E（6a，），
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（4a，），
∵△AEF的面积为2，AE＝EC，
∴S△ACF＝6，
∴＝4，
解得：k＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二.填空题
9．因疫情防控的需要，小明爸爸购买3个单价为a元的温度计，b个单价为1元的口罩 （3a+b） 元．（用含a、b的代数式表示）
【分析】根据单价×数量＝总价以及总费用＝3个温度计的费用+1个口罩的费用列式进行解答．
【解答】解：依题意得：
购买3个单价为a元的温度计，b个单价为1元的口罩．
故答案为：（7a+b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
10．分解因式：﹣mn+m2＝ m（m﹣n） ．
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解：﹣mn+m2＝m2﹣mn＝m（m﹣n），
故答案为：m（m﹣n）．
【点评】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法并根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．
11．如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，则∠PAC的大小为 107 度．
【分析】根据平行线的性质得到∠BAP＝137°，由角的和差关系得到∠PAC的大小即可．
【解答】解：∵PQ∥MN，
∴∠BAP＝180°﹣∠CBA＝137°，
∴∠PAC＝137°﹣30°＝107°．
故答案为：107．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜3且m≠0 ．
【分析】根据在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0解答．
【解答】解：根据题意列出方程组：
，
解得：m＜3且m≠0，
故答案为：m＜4且m≠0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为 π （结果保留π）．
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD．
【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝2，
∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝7，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD＝+＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是 5＜n＜7 ．
【分析】将（n，2.2）代入y＝﹣（x﹣4）2+4即可求得n的最大值，再结合球网BC离点O的水平距离为5米可得n＞5，即可求解．
【解答】解：∵乙原地起跳可接球的最大高度为2.2米，
∴若乙因接球高度不够而失球，当x＝n时，
当y＝2.2时，
﹣（n﹣4）2+2＝2.2，
解得：n＝6或n＝1（舍去），
∵网BC离点O的水平距离为5米，
∴n＞2，
∴5＜n＜7，
故答案为：2＜n＜7．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．
三.解答题
15．先化简，再求值：，其中
【分析】先对分式进行化简得，再把x＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：
＝[﹣] （x+7）
＝2﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
16．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率；
（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两人的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，再从其余的三位同学中随机选取一位，
∴恰好选到丁的概率是；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲，
∴恰好选中甲、乙两人的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务
【分析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝6，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
19．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在给定的网格中，以AB为边画三角形．按下列要求作图：
（1）在图①中，画一个等腰△ABC，使其面积为3．
（2）在图②中，画一个直角△ABD，使其面积为．
（3）在图③中，画一个△ABE，使其面积为
【分析】（1）画一个底是2，高是3的等腰三角形即可；
（2）根据直角三角形的性质可得答案；
（3）根据直角三角形的性质和勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，△ABD即为所求；
（3）如图，△ABE即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣应用设计，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确掌握三角形面积的求法是解题的关键．
20．为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析．如图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．
（1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是 90 分，他两次活动的平均成绩是 87.5 分；
②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“〇”圈出代表乙的点；
（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）：
已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是 B ；
（3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为 180 ．
【分析】（1）①根据图象直接得到，再求平均即可；
②符合题目要求的范围在直线x＝80的左边，直线y＝90以上，圈出即可；
（2）根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解；
（3）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可．
【解答】解：（1）①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，
故答案为：90，87.5；
②如图所示，符合题目要求的范围在直线x＝80的左边，在图中圈出的就是所求．
（2）由统计图可以看出，第一次成绩70≤x＜75的点有6个，80≤x＜85的点有2个，90≤x＜95的点有5个，
第二次成绩70≤x＜75的点有4个，75≤x＜80的点有7个，85≤x＜90的点有1个，95≤x≤100的点有6个，
∴B作图正确．
故答案为：B；
（3）400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：400×．
故答案为：180．
【点评】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识．
21．甲、乙两个机器臂在生产流水线上组装零件，两个机器臂在正常工作过程中的工作效率均始终保持不变．甲、乙两个机器臂同时开始工作一段时间后，甲机器臂出现故障，当甲机器臂故障排除后，甲、乙两个机器臂共同完成剩下的组装工作．如图是两个机器臂组装零件的总量y（个）（分）之间的函数图象．
（1）甲机器臂在正常工作过程中的工作效率是每分钟组装 8 个零件．
（2）求甲机器臂排除故障后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）本次工作中甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用了多少分钟？
【分析】（1）先计算乙的工作效率，然后计算甲乙两人工作效率之和解题即可；
（2）根据图象列出函数关系式解题即可；
（3）计算出甲故障前的工作时间于故障后的时间和解题．
【解答】解：（1）乙的工作效率是每分钟组装个数为：个，
甲的工作效率是每分钟组装个数为：个，
甲每分钟组装8个；
（2）y＝130+（6+2）（x﹣10）＝14x﹣10，
自变量x的取值范围为：10≤x≤40；
（3）甲、乙两个机器臂组装完成全部550个零件一共用时为：分，
【点评】本题考查函数图象和一次函数的图象，能正确识图，找到想关信息是解题的关键．
22．（1）如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点D在线段BO延长线上，连接AD AD＝BC ．
（2）如图2，将图1中的△COD绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°）第一问的结论是否仍然成立，证明你的结论，若不成立
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，，若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD 8+3 ．
【分析】（1）由△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OD＝OC，则∠AOD＝∠BOC＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AOD≌△BOC，得AD＝BC，于是得到问题的答案；
（2）由△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，得OA＝OB，OD＝OC，∠AOD＝∠BOC＝90°+∠AOC，可证明△AOD≌△BOC，可知AD＝BC仍然成立；
（3）在AB上方作AE⊥AB，使AE＝AB＝8，连接BD、DE，可证明＝＝，∠EBD＝∠ABC＝45°﹣∠CBE，则△EBD∽△ABC，所以＝＝，可求得ED＝AC＝3，则AD≤8+3，所以AD的最大值是8+3，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
∵点C在OA上，点D在线段BO延长线上，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC．
（2）AD＝BC仍然成立，
证明：∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC.
（3）如图3，在AB上方作AE⊥AB，连接BD、BE，
由旋转得CD＝CB，∠BCD＝90°，
∴DB＝＝＝CB，
∵∠BAE＝90°，AE＝AB，
∴EB＝＝＝AB，
∴＝＝，∠EBD＝∠ABC＝45°﹣∠CBE，
∴△EBD∽△ABC，
∴＝＝，
∴ED＝AC＝＝3，
∵AD≤AE+ED，
∴AD≤8+3，
∴AD的最大值是8+3，
故答案为：8+3．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23．如图，在Rt△ABC中，AC＝2，点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动，连接PA′，以PC、PA为邻边作平行四边形PCQA′．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段AP的长，AP＝ t ；
（2）当点A′落在△ABC的内部时，求t的取值范围；
（3）当平行四边形PCQA′是轴对称图形时，求t的值；
（4）当CQ所在直线与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动，可得AP＝t，
（2）分两种情况：当点A′落在AB上时，由面积法得CP＝＝，可得t＝＝；当点落在BC上时，过A'作A'D⊥AB于D，由△ABC∽△A'BD，有＝＝，可得A'D＝，BD＝，AD＝AB﹣BD＝，设AP＝A'P＝x，得（﹣x）2+（）2＝x2，即可求出t＝＝；
（3）分两种情况：①当四边形PCQA′是矩形时，同（2）可得t＝；②当四边形PCQA′是菱形时，可证AP＝BP，故t＝＝1；
（4）分三种情况：①当CQ⊥AC时，延长A'P交AC于E，连接A'C交AB于F，可求出t＝＝；②当CQ⊥BC时，A，C，Q共线，t＝＝；③当CQ⊥AB时，延长QC交AB于G，t＝＝．
【解答】解：（1）∵点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB向终点B匀速运动，
∴AP＝t，
故答案为：t；
（2）当点A′落在AB上时，如图：
∵A，A'关于CP对称，
∴∠APC＝∠A'PC＝90°，
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝＝2，
∵2S△ABC＝AB CP＝AC BC，
∴CP＝＝，
∴AP＝＝，
∴t＝＝；
当点落在BC上时，过A'作A'D⊥AB于D
∵A，A'关于CP对称，
∴A'C＝AC＝2，
∴A'B＝BC﹣A'C＝4﹣7＝2，
∵∠ACB＝∠A'DB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△A'BD，
∴＝＝，即＝＝，
∴A'D＝，BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
设AP＝A'P＝x，则PD＝AD﹣AP＝，
∵PD2+A'D2＝A'P2，
∴（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
∴AP＝，
∴t＝＝，
∴当点A′落在△ABC的内部时，t的取值范围是；
（3）∵四边形PCQA'是平行四边形，
∴平行四边形PCQA′是轴对称图形分两种情况：
①当四边形PCQA′是矩形时，如图：
同（2）可得t＝；
②当四边形PCQA′是菱形时，如图：
∴CP＝A'P＝AP，
∴∠A＝∠ACP，
∴∠PCB＝90°﹣∠ACP＝90°﹣∠A＝∠B，
∴CP＝BP，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB＝，
∴t＝＝1；
综上所述，t＝；
（4）①当CQ⊥AC时，延长A'P交AC于E，如图：
∵A'P∥CQ，
∴A'P⊥AC，即∠AEP＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵A，A'关于CP对称，
∴∠A＝∠PA'C，A'C＝AC＝2，
∴∠PA'C+∠A'PF＝90°，
∴∠A'FP＝90°，
∴CF是△ABC的边AB上的高，
∴由面积法知CF＝，
∴A'F＝8﹣，
∵∠A＝∠PA'C，∠ACB＝90°＝∠A'FP，
∴△ABC∽△A'PF，
∴＝，即＝，
∴A'P＝2﹣4，
∴AP＝2﹣4，
∴t＝＝；
②当CQ⊥BC时，A，C，Q共线
∴A'P∥AQ，
∴∠A'PC＝∠ACP，
∵A，A'关于CP对称，
∴∠APC＝∠A'PC，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AP＝AC＝8，
∴t＝＝；
③当CQ⊥AB时，延长QC交AB于G
由面积法可得CG＝，
∴AG＝＝，
∵∠GCP＝∠A'PC＝∠APC，
∴CG＝GP，
∴GP＝，
∴AP＝AG+GP＝；
∴t＝＝；
综上所述， 或 ．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及相似三角形判定与性质，平行四边形，矩形，菱形的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣2，5），其横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求△AOP的面积；
（3）已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是抛物线上的点，若对于2m＜x1＜2m+1，2m+2＜x2＜2m+3，都有y1≠y2，直接写出m的取值范围；
（4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点时
【分析】（1）根据对称轴公式可求出b，再将点A（2，﹣5）代入抛物线解析式，解之可得c的值，由此可得出结论；
（2）由抛物线的对称性可得出点P的坐标，及AP∥x轴，再根据三角形的面积公式可得出结论；
（3）由题意可知，这两个范围段内不存在关于对称轴对称的点，依据图形可深刻理解；
（4）需要分类讨论，分点P在点A的左上方、在点A与顶点之间、在顶点与点A关于对称轴的对称点之间、点A关于对称轴的对称点的右上方四种情况，结合横纵坐标的情况，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣4，
把A（﹣2，5）代入y＝x3﹣2x+c中得：5＝7+4+c，
解得：c＝﹣3，
∴y＝x5﹣2x﹣3；
（2）∵点P与点A（﹣7，5）关于抛物线的对称轴对称，
∴P（4，5），
∴AP∥x轴，AP＝4﹣（﹣2）＝7，
∴S△AOP＝AP |yP|＝×6×5＝15；
（3）设点B的横坐标为2m，点C的横坐标为2m+6，
点B关于对称轴直线x＝1的对称点为B′，则其横坐标为2﹣3m，
此时2m+2≥7﹣2m，
解得m≥0；
点C关于对称轴直线x＝7的对称点为C′，则其横坐标为﹣1﹣2m，
此时4m+1≤﹣1﹣3m，
解得m≤﹣；
综上，符合题意的m的取值范围为m≤﹣；
（4）当点P在点A的左上方时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣5m与图象G只有一个公共点，5），m2﹣7m﹣3），
∴，
解得m≤﹣4﹣；
当点P在点A与顶点之间（含顶点）时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣2m与图象G只有一个公共点，5），m2﹣7m﹣3），
∴，
解得﹣1＜m≤3；
当点P在顶点与点A关于对称轴的对称点之间时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点，﹣7），5），m2﹣7m﹣3），
∴或1﹣4m＝﹣4，
解得1＜m＜﹣7或m＝；
当点P在点A关于对称轴的对称点右上方（含对称点）时，
∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝3﹣4m与图象G只有一个公共点，﹣4），3），m2﹣2m﹣8），
∴或1﹣4m＝﹣4，
解得无解或m＝；
综上，m的取值范围为：m≤﹣1﹣﹣1或m＝．
【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论．
