九年级数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B D A D C A
二、填空题
11. 下 12. 4 13. ﹣1或 3 14. 30°
15. 5 16. y＝x2+6x 17. 2028 18. 2≤a≤3
三、解答题
19．解：（1）由题意得， ，（2分）
解得， ，（4分）
则二次函数的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；（6分）
（2）当 x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，（9分）
∴点 P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．（10分）
20．解：连接 OD，设⊙O的半径为 r，
∵AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，CD＝2，AE＝5，
∴DE＝1，（3分）OE＝5﹣r，
在 Rt△ODE中，OD2＝OE2+DE2，即 r2＝（5﹣r）2+1，（7分）
解得，r＝2.6，（8分）
∴AB＝2r＝5.2，（9分）
答：⊙O的直径是 5.2．（10分）,
21．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知点 A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），
设抛物线解析式为 y＝ax2+5，
将点 A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣ ，（6分）
则抛物线解析式为 y＝﹣ x2+5，
当 y＝4时，﹣ x2+5＝4，
解得：x＝ ，（9分）
则两盏景观灯之间的水平距离 2 m．（10分）
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22．（1）证明：连接 AE、OE、OF，如图所示，
由题意得：OB＝OE＝OA，AE＝AB，
∴∠EAO＝∠AEO，∠BAO＝∠ABO， ，
∴∠AOE＝∠AOB，
∴∠EAO＝∠BAO；（5分）
（2）解：∵OE＝OF，OE＝EF，
∴OE＝OF＝EF，
∴∠EOF＝60°，
∵AE＝BF＝AB，
∴ ，
∴∠AOE＝∠BOF＝∠AOB，
∴∠POQ＝ ∠EOF＝20°．（10分）
23．解：（1）因为 b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程 x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图像与 x轴总有两个公共点；（6分）
（2）当 y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得 x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图像与 x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图像与 x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．（12分）
24．解：（1）把（0，3）代入 y＝﹣x2﹣（m﹣1）x+m得 m＝3，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；（4分）
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
当 y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得 x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与 x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
如图，（8分）
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 0＜y≤4．
故答案为 0＜y≤4．（12分）
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25.解：（1）4.5，3，30；（3分）
（2）根据题意，得 w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于 x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（8分）
（3）由（2）知 w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当 a≥70时，每天最大利润为 16000元，（11分）
当 60＜a＜70时，每天的最大利润为（﹣10a2+1400a﹣33000）元．（13分）
26.解：（1）在 = 2 中，令 2 = ，解得： 1 = 0， 2 = 2，
∴函数 = 2 的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；（4分）
y ax2 2amx am2（2） m 2＝ a（x m）2 m 2，∴顶点为（m，-m-2）,
2
又∵顶点是“等值点”，∴m m 2，∴m 1，∴ y ax 2ax a 1，
又∵图象与 y轴的交点到原点的距离为 2，∴经过点（0,2）或（0，-2），代入得 a=3
或 -1，∴函数解析式为 y 3x2 6x 2 2或 y x 2x 2（9分）
9
（3）h＞ 或 2＜h＜1 （13分）
8
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{#{QQABQYKQggCIABIAAAhCAwGwCEIQkAECCCoORBAMsAABwRFABAA=}#}南通市崇川初级中学九年级数学第一次阶段检测
（试卷共 6 页 总分：150 分 时间：110 分钟）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是
符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1．抛物线 y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线
5 5 5 5
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
2 4 2 4
2．下列图形中的角是圆心角的是
A． B． C． D．
3．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项判断正确的是
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
（第 3题图） （第 6题图）
4．已知二次函数 y＝ax2+4x﹣c，当 x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于 a，c的关系式中，正确的
是
A．a+c＝﹣1 B．a+c＝﹣9 C．a﹣c＝﹣9 D．a﹣c＝﹣1
5．把抛物线 y＝2（x﹣1）2+3向上平移 1个单位，再向右平移 3个单位，得到的抛物线是
A．y＝2（x+2）2+4 B．y＝2（x﹣4）2+4
C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣4）2+2
6．如图，⊙O的直径 AB与弦 CD的延长线交于点 E，若 OB＝DE，∠E＝26°，则∠AOC是
A．52° B．62° C．72° D．78°
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7．小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一
个蘸上了墨水（表中 ），那么这个被蘸上了墨水的函数值是
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．0 B．﹣1 C．3 D．4
8．已知两点 A（﹣6，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，若 y1＞y2，则抛物线顶
点横坐标的值可以是
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣1
9．已知二次函数 y＝x2﹣6x+8，当 0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则 m的值是
A．3 B．4 C．6 D．7
10．正方形 ABCD中，AB＝4，P为对角线 BD上一动点，F为射线 AD上一点，若 AP＝PF，则
△APF的面积最大值为
A．4 B．6 C．8 D．2 2
（第 10题图） （第 14题图） （第 15题图）
二、填空题（本大题共 8小题，第 11～12小题每小题 3分，第 13～18小题每小题 4 分，共 30分.
不需写出解答过程，请把最终结果直接写在答．题．卡．相．应．位．置．上）
11．抛物线 y＝﹣x2+5x的开口方向向 ▲ （填“上”或“下”）．
12．若点（﹣1，m）在二次函数 y＝x2+3的图象上，则 m＝ ▲ ．
13．已知抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程
x2+bx+c＝0的根为 ▲ ．
14．如图，圆心角∠AOB＝30°，点 B是弧 AD的中点，则∠C＝ ▲ ．
15．如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，已知 CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为
▲ ．
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16．正方形边长 3，若边长增加 x，则面积增加 y，y与 x的函数关系式为 ▲ ．
17．已知二次函数 y＝x2-4x-2021的图象经过两个不同的点 A（m，-1），B（n，-1）,则代数式
m2-2m +2n的值为 ▲ .
18.已知关 x的二次函数 y＝x2﹣2ax+5，当 x≤2时，函数值随 x增大而减小，且对任意的 1≤x1≤a+1
和 1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值 y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数 a的取值范围是
▲ .
三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）
19．（本小题满分 10分）
已知二次函数 y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点 P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
20．（本小题满分 10分）
如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，已知 CD＝2，AE＝5，则⊙O的直径是多少？
（第 20题图）
21．（本小题满分 10分）
如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为 10m，桥洞与水面
的最大距离是 5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距
离．
（第 21题图）
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22．（本小题满分 10分）
已知锐角∠POQ，如图，在射线 OP上取一点 A，以点 O为圆心，OA长为半径作弧 MN，交射
线 OQ于点 B，连接 AB，分别以点 A，B为圆心，AB长为半径作弧，交弧 MN于点 E，F，连
接 OE，EF．
（1）证明：∠EAO＝∠BAO；
（2）若 OE＝EF．求∠POQ的度数．
（第 22题图）
23．（本小题满分 12分）
已知二次函数 y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论 m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与 x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求 m的取值范围．
24．（本小题满分 12分）
二次函数 y＝﹣x2﹣（m﹣1）x+m的图象与 y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜0时，请直接写出 y的取值范围．
（第 24题图）
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25．（本小题满分 13分）
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的
单价是 B原料单价的 1.5倍，若用 900元收购 A原料会比用 900 元收购 B原料少 100kg．生产
该产品每盒需要 A原料 2kg和 B原料 4kg，每盒还需其他成本 9 元．市场调查发现：该产品每
盒的售价是 60元时，每天可以销售 500盒；每涨价 1元，每天少销售 10盒．
（1）填空：A、B两原料的单价分别为 ▲ 元、 ▲ 元，
每盒产品的成本 ▲ 元（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是 x元（x是整数），每天的利润是 w元，求 w关于 x的函数解析式（不
需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过 a元（a是大于 60的常数且是整数），直接写出每天的最大利润．
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26.（本小题满分 13分）
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标相等，则称该点为“等值点”.
2
（1）判断函数 y x x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
2 2
（2）若关于 x的二次函数 y ax 2amx am m （2 a 0）的顶点是“等值点”，且函数
图象与 y轴的交点到原点的距离为 2，求该二次函数的解析式；
（3）若函数 y x2 2（x≤h）的图象记为 W1，将其沿直线 x＝h翻折后的图象记为 W2 ，
当 W1，W2两部分组成的图象上恰有 2个“等值点”时，直接写出 h的取值范围．
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