北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题
一、选择题
1．有一直角三角形纸片，∠C＝90°BC＝6，AC＝8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．4
2．在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．28
3．如图，小逸家的房门左下角受潮了，他想检测房门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理 D．直角三角形的两锐角互余
4．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
5．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（ ）
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（ ）
A．183 B．87 C．119 D．81
8．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a∶b∶c＝0.5∶1.2∶1.3 B．
C．∠A∶∠B∶∠C＝5∶7∶12 D．∠A＋∠B＝∠C
9．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
10．如图，一圆柱高，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是边BC、AB上的任意一点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′，如果点B′和顶点A重合，则CD＝ cm．
12．如图，△ABC中AB＝BC＝5，AC＝6，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝1.5，则△ABC的面积为 ．
13．若△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13.其中能判断△ABC是直角三角形的是 （填序号）.
14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米 米．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．
16．如图是一块四边形木板，其中 ， ， ， ， ．李师傅找到 边的中点 ，连接 ， ，发现 是直角三角形．请你通过计算说明理由．
17．如图，有一个池塘，其底边长为尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
四、综合题
18．如图，在长方形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠，使点B落在点处．
（1）直接写出的长度；
（2）如图1，当点E不与点C重合，且点在对角线上时，求的长；
（3）如图2，当点E与点C重合时，与交于点F，求证：．
19．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
（2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
20．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以 米/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之间的距离小于或等于 米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米，
（1）出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
（2）当两赛车距A点的距离之和为 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
根据翻折不变性得△EDA≌△EDB
∴EA=EB
∴在Rt△BCE中，设CE=x，则BE=AE=8-x，
∴BE2=BC2+CE2，
∴（8-x）2=62+x2，
解得x=．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ACB中，利用勾股定理算出AB，根据折叠性质得EA=EB，在Rt△BCE中，设CE=x，则BE=AE=8-x，利用勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
若
则△ABC为直角三角形，即∠B=90°
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得逆定理即可求出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
AB=10米，BC=6米，
由勾股定理得：=8米.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，由题意可得AB=10米，BC=6米，然后根据勾股定理求出AC的值即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴所以
故选A．
【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，
∴S3+S2=S4+S1=135；
∴S4=135-48=87.
故答案为：B
【分析】利用BD，利用勾股定理可证得BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，利用正方形的面积公式，可得S3+S2=S4+S1=135，代入计算求出S4的值.
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】
【解析】【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，
由折叠得：AD＝BD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AC2＝AD2，
∴x2+122＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝（cm）．
故答案为：．
【分析】设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，利用勾股定理可得x2+122＝（16﹣x）2，再求出x的值即可。
12．【答案】12
13．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为①②④.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠A+∠C+∠B＝180°，由∠A＝∠B﹣∠C，可求出∠B的度数，可对①作出判断；将等式转化为a2+c2＝b2，利用勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状，可对②作出判断；由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，发布求出∠A，∠B，∠C的度数，可对③作出判断；利用勾股定理的逆定理，可对④作出判断，综上所述可得到能判断△ABC是直角三角形的的序号.
14．【答案】9
【解析】【解答】解：在直角三角形ACD中由勾股定理得
∴，
在直角三角形ACD中，∵CD=10
∴
∴BD=9
故答案为：9.
【分析】在三角形ABC中利用勾股定理求出AB，再在三角形ACD利用勾股定理求出AD的长然后即可求出BD.
15．【答案】解：∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
CD＝ ＝ ＝12，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD＝ ＝ ＝16．
【解析】【分析】利用勾股定理即可得出答案。
16．【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】利用勾股定理先求出线段的长度，再利用勾股定理逆定理证明即可。
17．【答案】解：设池塘水的深度是尺，则这根芦苇的长度是尺，
由题意得：，尺，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
答：池塘水的深度是尺，这根芦苇的长度是尺．
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出 ， 再求出x=12，最后计算求解即可。
18．【答案】（1）20
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，，
设，则，
在，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）证明：∵（长方形的性质），
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）在，
∴由勾股定理得；
【分析】（1）根据题意，利用勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 ，， 再利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出 ， 再根据折叠的性质求出 ， 最后证明求解即可。
19．【答案】（1）解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，
∴BD= （km），
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=（km），
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3（h），
故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
（2）解：C岛在A港的北偏西40°方向；
理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长，再利用时间=路程÷速度求解即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BAC=90°，再利用角的运算求出∠NAC的度数，即可得到C岛在A港的北偏西40°方向。
20．【答案】（1）解：出发3秒钟时， 米， 米
米， 米
米， 米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰
（2）解：设出发t秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得， ，解得
此时AC1=20，AB1=15，
此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰.
【解析】【分析】（1）出发3秒钟时，CC1=12米，BB1=9米，根据AC、AB的值求出AC1、AB1，然后利用勾股定理求出B1C1，最后与25进行比较即可判断；
（2）设出发t秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意可得40-4t+30-3t=35，求出t的值，进而得到AC1，AB1的值，利用勾股定理求出B1C1，据此判断.
