从江县东朗中学2023-2024学年度第一学期期中质量监测
八年级 数学测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1.大自然中存在很多对称现象,下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是( )
2.已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2 020的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.(-3)2 019
3.若一个三角形的三边长分别为3 cm,5 cm,a cm,则a的取值范围是( )
A.3
A.20 cm B.22 cm
C.20 cm或22 cm D.18 cm,20 cm或22 cm
5.如图所示,已知AB=DC,下列条件中,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.AC=DB B.∠ACB=∠DBC C.∠ABC=∠DCB D.∠A=∠D=90°
第5题图
6.下列说法:①三角形的内角中最多有一个钝角;②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;③从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,因此,n边形的内角和是(n-2)·180°;④全等三角形的面积一定相等.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为( )
第7题图
A.30° B.40° C.70° D.80°
8.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AE是△ABC的外角∠BAD的平分线,BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F,则∠BFE为( )
A.35° B.40° C.45° D.50°
第8题图
9.如图所示,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O,若图中
∠1,∠2,∠3,∠4的和为240°,则∠BOD的度数为( )
第9题图
A.40° B.45° C.50° D.60°
10.如图所示,把长方形纸片ABCD沿对角线所在直线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )
A.△EBD是等腰三角形,EB=ED B.折叠后∠ABE和∠EBD一定相等
C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.△EBA和△EDC′一定是全等三角形
第10题图
11.如图所示,∠AOB=α,点P是∠AOB内的一定点,点M,N分别在OA,
OB上移动,当△PMN的周长最小时,∠MPN的值为( )
第11题图
A.90°+α B.90°+α C.180°-α D.180°-2α
12.如图所示,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=
90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④∠ACE=∠DBC.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:每小题4分,共16分.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°.若∠A=37°,则∠B的度数为 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,△ABC≌△A′B′C,若A′B′恰好经过点B,A′C交AB于点D,则∠BDC的度数为 .
第14题图
15.某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五边形的五个顶点),则图中∠A的度数是 度.
第15题图
16.给出如下定义:点P是△ABC内部一点,如果存在过点P的直线可以将△ABC分成面积相等的两部分,则称该点为△ABC的“中立点”,下列四个结论中:
①当点P在△ABC的一条中线上时,该点为△ABC的“中立点”;
②△ABC的“中立点”的个数为有限个;
③△ABC的“中立点”有无数个,但不是△ABC内部所有的点;
④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”.
所有正确结论的序号是 .
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图所示,AD是△ABC的角平分线,BE是△ABD的高,
∠ABC=40°,∠C=80°.求∠EBD的度数.
18.(10分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示.
(1)若△ABC内有一点P(a,b)随着△ABC平移后到了点P′(a+4,b-1),直接写出A点平移后对应点A′的坐标;
(2)直接作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点);
(3)求四边形ABC′C的面积.
19.(10分)如图所示,在△ABC中.
(1)作△ABC的中线CD(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若CD=AD,求∠ACB的度数.
20.(10分)如图所示,一艘轮船以40 n mile/h的速度沿正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上,轮船航行2 h后到达B处,在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上.轮船又航行了多远到达灯塔C的正东方向D处
21.(10分)如图所示,要测量河两岸上A,B两点的距离,在点B的河岸一侧平地上取一点C,连接BC,并延长BC到点D,使CD=BC,画出∠CDF=∠ABC.在射线DF上取点E,使E,A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是A,B两点的距离.为什么
22.(12分)如图所示,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.
(1)若∠ABC=70°,则∠NMA的度数是 .
(2)若AB=8 cm,△MBC的周长是14 cm.
①求BC的长度;
②若点P为直线MN上一点,请你直接写出△PBC周长的最小值.
23.(12分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,点D是AB边上一动点,过点D作DE⊥AB,交AC于点E,将△AED沿直线DE翻折,使点A落在AB边上的点F处,连接CF.当△FEC是直角三角形时,求出AD
的长.
24.(12分)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,AB=8 cm,BC=6 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以 2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以 a cm/s 的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(s)(0≤t≤3).
(1)用含t的代数式表示PC的长度;
(2)若点P,Q的运动速度相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点P,Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD与△CQP全等
25.(12分)某数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图(1)所示,在△ABC中,AB=6,AC=8,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程.
(1)求证:△ABD≌△ECD;
证明:延长AD到点E,使DE=AD,
在△ABD和△ECD中,
∵AD=ED(已作),
∠ADB=∠EDC( ),
CD= (线段中点的定义).
∴△ABD≌△ECD( ).
(2)由(1)的结论,根据AD与AE之间的关系,探究得出AD的取值范围是 ;
(3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【问题解决】如图(2)中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的长.答案
1.(C)
2.(C)
3.(B)
4.(C)
5.(B)
6.(D)
7.(A)
8.(C)
9.(D)
10.(B)
11.(D)
12.(C)
13. 53° .
14.60° .
15. 36 度.
16. ①③ .
17.解:∵∠ABC=40°,∠C=80°,
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠BAC=30°.
∵BE是△ABD的高,
∴∠ABE=90°-30°=60°.
∴∠EBD=60°-40°=20°.
18.解:(1)∵△ABC内有一点P(a,b)随着△ABC平移后到了点P′(a+4,b-1),点A(-2,3),
∴点A′(2,2).
(2)如图所示.
(3)四边形ABC′C的面积为5×4-×2×1-×3×5-×2×3=8.5.
19.解:(1)如图所示,CD即为所求.
(2)∵CD=BD=AD,
∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCB.
∴∠A+∠B=∠ACB.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACB=90°.
20.解:∵CD⊥DB,∠CBD=60°,∴∠DCB=30°.
∴DB=BC.
又∵∠BCA=60°-30°=30°,
∴BC=BA=2×40=80(n mile).
∴DB=40 n mile.
答:轮船又航行了40 n mile到达灯塔C的正东方向D处.
21.解:∵点A,C,E共线,
∴∠ACB=∠ECD.
在△DCE和△BCA中,
∴△DCE≌△BCA(ASA).
∴DE=BA.
∴测得DE的长就是A,B两点的距离.
22.解:(1)50°
(2)①∵MN是AB的垂直平分线,
∴AM=BM.
∴C△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC.
∵AB=8 cm,△MBC的周长是14 cm,
∴BC=14-8=6(cm).
②当点P与点M重合时,△PBC周长的值最小.
理由如下:∵PB+PC=PA+PC,PA+PC≥AC,
∴点P与点M重合时,PA+PC=AC,此时PB+PC最小.
∴△PBC周长的最小值为AC+BC=8+6=14(cm).
23.解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,
∴AB=8.
∵AE=FE,∠A=30°,
∴∠CEF=2∠A=60°.
若△FEC是直角三角形,有两种情况:
①当∠EFC=90°时,∠FCE=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCF=60°.
∴∠FCE=∠A,∠BCF=∠B,
∴AF=FC=FB=AB=4.
∴AD=DF=2.
②当∠FCE=90°时,点F,B重合,
∴AD=DF=AB=4.
∴当△FEC是直角三角形时,AD的长为2或4.
24.解:(1)BP=2t cm,则PC=BC-BP=(6-2t)cm.
(2)△BPD和△CQP全等.理由如下:
∵t=1 s,
∴BP=CQ=2×1=2(cm).
∴CP=BC-BP=6-2=4(cm).
∵AB=8 cm,点D为AB的中点,
∴BD=4 cm.
∴PC=BD.
在△BPD和△CQP中,
∴△BPD≌△CQP(SAS).
(3)∵点P,Q的运动速度不相等,
∴BP≠CQ.
又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,
∴BP=PC=3 cm,CQ=BD=4 cm.
∴点P,点Q运动的时间t== s.
∴a==(cm/s).
25.解:(1)对顶角相等 BD SAS
(2)1
∵EC⊥BC,
∴∠ECD=90°.
∴∠ABD=∠DBF=∠ECD=90°.
∵AD是中线,
∴BD=CD.
∵∠BDF=∠CDE,
∴△BDF≌△CDE(ASA).
∴BF=CE=4,ED=DF.
∴AF=2+4=6.
∵∠ADE=90°,DF=ED,
∴AD是EF的垂直平分线.
∴AE=AF=6.
