2022-2023学年安徽省合肥四十六中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知：，那么下列式子成立的是（ ）
A．3x＝2y B．xy＝6 C． D．
2．（4分）对于二次函数y＝﹣3（x﹣4）2+3．下列说法中，正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（4，3）
B．开口向下，顶点坐标为（4，3）
C．开口向上，顶点坐标为（﹣4，3）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣4，3）
3．（4分）抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度后的函数解析式为（ ）
A．y＝3x2+2x﹣4 B．y＝3x2+2x+4 C．y＝3x2+2x+2 D．y＝3x2+2x+3
4．（4分）已知点（﹣5，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2+2x+3．上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
5．（4分）如图中阴影部分的面积与函数的最大值相同的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣3，2），F（﹣1，﹣1），把△EFO扩大到原来的3倍，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（9，6） B．（9，6）或（﹣9，﹣6）
C．（﹣9，6）或（9，﹣6） D．（ 9，﹣6）
7．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC，SADE＝S梯形DBCE，则DE：BC＝（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n
C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
9．（4分）如图，已知△ABC中，∠AED＝∠ACE，则AC：AB的值为（ ）
A．1：2 B．2：3
C．：2 D．（﹣1）：2
10．（4分）正方形ABCD中，AD＝6，点E为AB边上一动点（不与点B重合），过E作EG∥DF交BC于点G，则GC的最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）甲、乙两地的实际距离是400km，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是 ．
12．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DB＝9cm，则CD＝ cm．
13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（x＜0），点B、C的坐标分别是（﹣3，0）和（﹣1，0），AB＝AC ．
14．（5分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，设x＝AD，y＝AE+CD（2），图象过点（0，2）．
（1）则AB＝ ；
（2）则图象最低点的横坐标是 ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知＝＝，且3a﹣2b+c＝9，求2a+4b﹣3c的值．
16．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
（1）AB＝3，求BC；
（2）EF＝7.5，BE的长．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点不在x轴的下方？
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO FO．
20．（10分）如图，函数y1＝k1x+b的图象与y2＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B（0，3）．
（1）求函数y1与y2的表达式及点B的坐标；
（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．
六、（本题演分12分）
21．（12分）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在CA上（不与A、C重合）（1）求证：△BCD∽△DAF；
（2）若BC＝2，设CD＝x，AF＝y；
①求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围；
②当AF最大时，判断△ADF的形状？
七、（本题满分12分）
22．（12分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数），如表列出了该商品的售价x，周销售量y（元）的三组对应值数据．
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，周销售利润最大，求m值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
2022-2023学年安徽省合肥四十六中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【答案】D
【分析】根据比例的基本性质逐项判断．
【解答】解：A、∵，∴6x＝3y；
B、∵，∴设x＝3k，则xy＝6k3，故B错误，
C、∵，∴，故C错误；
D、∵，∴，故D正确．
故选：D．
2．【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y＝﹣4（x﹣4）2+2，
∴顶点坐标为（4，3），
故选：B．
3．【答案】C
【分析】利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．
【解答】解：抛物线y＝3x2+6x﹣1向上平移3个单位长度的函数解析式为y＝6x2+2x﹣4+3＝3x6+2x+2，
故选：C．
4．【答案】B
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后比较两个点离直线x＝﹣1的远近得到y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+8，
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∵a＝1＞3，
∴抛物线开口向上，
∵点（﹣5，y1）离直线x＝﹣7比点（2，y2）离直线x＝﹣3远，
∴y1＞y2，
故选：B．
5．【答案】B
【分析】先把y＝﹣x2+2x+配成y＝﹣（x﹣1）2+1，得到y的最大值为；在选项A中，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，AD＝AE＝1，可证△ADB≌△AEC，则S阴影部分＝S正方形ADOE＝1；在B选项中，先确定A点坐标，则可得到S阴影部分＝S△OAB＝×1×3＝；在C选项中，先确定A（0，﹣1），B（﹣1，0），C（1，0），则S阴影部分＝S△ABC＝×2×1＝1；在D选项中，利用k的几何意义得到S阴影部分＝S△OAB＝×2＝1．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）6+，
∵a＝﹣4，
∴y有最大值，其最大值为，
A、如图，作AD⊥y轴于D，
AD＝AE＝2，可证△ADB≌△AEC，
∴S阴影部分＝S正方形ADOE＝1，所以A选项错误；
B、∵当x＝1时，
∴A点坐标为（3，3），
∴S阴影部分＝S△OAB＝×1×3＝；
C、A（0，令y＝32﹣1＝8，解得x＝±1，
则B点坐标为（﹣1，6），0），
∴S阴影部分＝S△ABC＝×2×1＝4；
D、S阴影部分＝S△OAB＝×8＝1．
故选：B．
6．【答案】C
【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的3倍，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（﹣6×3，2×5）或（3×3，即（﹣8，﹣6），
故选：C．
7．【答案】B
【分析】由SADE＝S梯形DBCE，可得S梯形DBCE＝S△ADE，于是S△ABC＝S△ADE+S梯形DBCE＝S△ADE，易得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得＝，据此即可求解．
【解答】解：∵SADE＝S梯形DBCE，
∴S梯形DBCE＝S△ADE，
∴S△ABC＝S△ADE+S梯形DBCE＝S△ADE+S△ADE＝S△ADE，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴．
故选：B．
8．【答案】A
【分析】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x6、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x6）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移3个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
9．【答案】C
【分析】证明△AED∽△ACE，根据相似三角形的性质得到AB＝2x，计算即可．
【解答】解：设AD＝x，
∵D为AC的中点，
∴AC＝2x，
∵∠AED＝∠ACE，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACE，
∴＝，即＝，
解得：AE＝x，
∴AB＝2x，
则＝＝，
故选：C．
10．【答案】C
【分析】由旋转的性质得：∠EDF＝90°，△ADE≌△CDF，根据EG∥DF，证明出△EBG∽△DCF，得出＝，设AE＝x，0＜x＜6，则BE＝6﹣x，CF＝x，即＝，解得：BG＝，整理得：BG＝﹣（x﹣3）2+，当BG取到最大值时，GC为最小值，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：由旋转的性质得：∠EDF＝90°，△ADE≌△CDF，
∵EG∥DF，
∴∠EGB＝∠DFC，
又∵∠EBG＝∠DCF＝90°，
∴△EBG∽△DCF，
∴＝，
设AE＝x，0≤x＜6，
则BE＝8﹣x，CF＝x，
即＝，
解得：BG＝，
整理得：BG＝﹣（x﹣3）8+，
当BG取到最大值时，GC为最小值，
当x＝7时，BG＝，
∴GC＝BC﹣BG＝6﹣＝8.5，
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可．
【解答】解：400千米＝40000000厘米，
40000000×＝80（cm）．
故答案为：80cm．
12．【答案】3．
【分析】证△ADC∽△CDB，可得到关于AD、CD、BD的比例关系式，由此得解．
【解答】解：Rt△ACB中，CD⊥AB；
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD2＝AD BD＝3×5＝27，
即CD＝3cm．
13．【答案】﹣8．
【分析】根据等腰三角形三线合一，可得点A的横坐标，根据三角形ABC的面积可得A点的纵坐标，点A在反比例函数图象上，k值可求出．
【解答】解：∵B（﹣3，0）和C（﹣2，AB＝AC，
∴BC＝2，A的横坐标为﹣2，
∵S△ABC＝×2×yA＝8，
∴yA＝4．
∴A（﹣2，8），
∵A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣2×4＝﹣7．
故答案为：﹣8．
14．【答案】（1）1；
（2）﹣1．
【分析】观察函数图象，根据图象经过点（0，2）即可推出AB和AC的长，构造△NBE≌△CAD，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，利用三角形相似求出此时的x值即可．
【解答】解：∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝BE＝5时，点D与A重合，
此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝1，
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，如图所示：
∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，
∴△NBE≌△CAD（SAS），
∴NE＝CD，
又∵y＝AE+CD，
∴y＝AE+CD＝AE+NE，
当A、E、N三点共线时，如图所示
AD＝BE＝x，AC＝BN＝3，
∴AF＝AC sin45°＝，
又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE，
∴△NBE∽△AFE，
∴，即 ，
解得：x＝ 8，
∴图象最低点的横坐标为：﹣1．
故答案为： 1．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），
则a＝5k，b＝8k，
代入3a﹣2b+c＝6得，15k﹣14k+8k＝9，
解得k＝7，
所以，a＝5，c＝8，
所以，8a+4b﹣3c＝5×5+4×3﹣3×8＝10+28﹣24＝14．
16．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）图形见解答；
（3）﹣2＜x＜0．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴l；
（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），3）代入二次函数y＝ax2+bx+3，
得
解得
该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，直线l为所求对称轴；
由（1）得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x+3，
变换形式得y＝﹣（x+1）8+4，
所以可以得出顶点D的坐标为（﹣1，6）．
（3）令y＝3，则y＝﹣x2﹣3x+3＝3，
解得：x＝7或﹣2，
结合图形得﹣2＜x＜8时，y＞3．
故答案为：﹣2＜x＜3．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【答案】（1）6；
（2）5．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l7，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，
∴＝，
解得：BC＝5；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，
∴＝，
解得：BE＝5．
18．【答案】（1）见解答．
（2）m≥1．
【分析】（1）通过判别式Δ求解．
（2）先求出抛物线与y轴交点坐标为（0，m﹣1），然后通过m﹣1≥0求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4×7×（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）6≥0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
（2）解：把x＝0代入y＝x8+mx+m﹣1得y＝m﹣1，
∴抛物线与y轴交点坐标为（3，m﹣1），
由题意得m﹣1≥5，
解得m≥1．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【分析】（1）由题意可直接得到结论；
（2）由相似三角形的性质可得，通过证明△AOF∽△COB，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE；
（2）∵△AOB∽△COE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴，
∴，
即OB2＝OF OE．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数关系式可以确定反比例函数的关系式，把点A、点C的坐标代入一次函数关系式可求出一次函数的关系式，两个关系式组成方程组求出方程组的解，即为交点坐标，
（2）根据图象直观得出，自变量x的在某个取值范围内两个函数值的大小，注意分段分析考虑．
【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y6＝得，k＝2，
∴y4＝，
把点A（2，3），3）代入y1＝k5x+b得，
，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴y7＝﹣x+3；
由题意得，，
解得，，；
∴点B（7，2）
答：函数y1的关系式为：y6＝﹣x+3；函数y2的表达式为：y7＝，点B的坐标为（1．
（2）观察图象可得：
当7＜x＜1或x＞2时，y7＜y2，
当1＜x＜4时，y1＞y2，
当x＝6或x＝2时，y1＝y7，
六、（本题演分12分）
21．【答案】（1）答案见解析；
（2）①y＝﹣x2+x（0＜x＜1）；
②△ADF为直角三角形，理由见解析．
【分析】（1）由题意可知△ABC与△BDE都是等边三角形，可得∠A＝∠C＝∠BDE＝60°，易求∠ADF＝∠DBC，即可求解；
（2）①由（1）可知△BCD∽△DAF，根据线段比例关系，即可求解；
②根据①所求的解析式变式可求即当AF最大时，CD＝1，根据角的转换，可求得∠AFD＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠BDE＝60°，
∵∠ADF+BDE＝∠C+∠DBC，
∴∠ADF＝∠DBC，
∴△BCD∽△DAF；
（2）解：①∵△BCD∽△DAF，
∴，
∵BC＝2，
设CD＝x，AF＝y，
∴，
∴y＝﹣x8+x（0＜x＜1）；
②△ADF为直角三角形，理由如下：
由①可得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）8+，
∴当x＝2时，y存在最大值为，CD＝3，
∴CD＝AD＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF，
∴△ADF为直角三角形．
七、（本题满分12分）
22．【答案】（1）20，y＝﹣3x+300；
（2）m的值为6．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣4x+300；
（2）由题意W＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6．
八、（本题满分14分）
23．【答案】（1）＝；（2）①1；②．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，结合∠PDQ＝90°得∠ADP＝∠CDQ，证△ADP≌△CDQ可得答案；
（2）①证△ADP∽△CDQ得＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，PB＝4﹣x，BQ＝2+2x，在Rt△PBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；
②延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，设AP＝a，则BP＝4﹣a，由△ADP∽△CDQ得＝＝，∠APD＝∠CQD，CQ＝2a，BQ＝2+2a，再证△BDM≌△BDQ得∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，结合∠BQD＝∠APD＝∠BPM知∠BMD＝∠BPM，从而得BM＝BP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDC+∠CDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ，
故答案为：＝；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴＝＝＝，
设AP＝x，则CQ＝2x，
∴PB＝8﹣x，BQ＝2+2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中8+BQ2＝PQ2，
代入得（4﹣x）2+（2+5x）2＝53，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的长为6；
②如图所示，延长DP到M，连接BM，
设AP＝a，则BP＝4﹣a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴＝＝，∠APD＝∠CQD，
∴CQ＝2a，
则BQ＝BC+CQ＝2+5a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM＝∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
，
∴△BDM≌△BDQ（SAS），
∴∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，
又∵∠BQD＝∠APD＝∠BPM，
∴∠BMD＝∠BPM，
∴BM＝BP，即4+2a＝4﹣a，
解得a＝，即AP＝，
∴PD＝＝＝，
故答案为：．
