2023-2024学年重庆市铜梁区八年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题 12个小题，每小题 4 分，共 48分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答
案标号涂黑．
1．（4分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，
自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）如果一个三角形的两边长分别为 5cm和 8cm，则第三边长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．12cm D．13cm
3．（4分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩 BC可将其固定（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
4．（4分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块
完全一样的玻璃，配出完全一样的三角形，这是根据（ ）
A．S．A．S B．A．S．A C．S．S．S D．A．A．S
5．（4分）一个多边形的内角和是外角和的 2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线 AD＝4（ ）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
7．（4分）如图，在△ABC中，点 M，AM＝NM，BM⊥AC，且 NM＝ND，若∠A＝α（ ）
A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90°
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝42°，则∠CDE的度数为（ ）
A．12° B．15° C．21° D．25°
9．（4分）等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 6cm，则底边长为（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8cm D．6cm或 8cm
10．（4分）如图，AD为△ABC的高，点 H为 AC的垂直平分线与 BC的交点，AE平分∠
BAC．给出以下五个结论：①∠B＝2∠C；②AE 平分∠DAH；④AC＝BE+BA；⑤
．其中结论正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①③④
二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分）请将答案填在答题卡上对应的横线
上．
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A（2，m）和点 B（n，﹣1），则 m+n的值是 ．
12．（4 分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠DAC＝15°，则∠EAC 的度数
为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分 BC，连接 CE，BF平分∠ABC，若 BE＝AC，
∠ACE＝20° 度．
14．（4 分）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样
的三角形为“倍角三角形”．若等腰△ABC为“倍角三角形” ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，点 D在边 AB上，将△BCD沿 CD折叠，
若 B′D//AC，则∠BDC＝ ．
16．（4分）如图，∠BOC＝60°，A是 BO的延长线上一点，动点 P从点 A出发，沿 AB以
3cm/s的速度移动，若点 P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时 s．
17．（4分）若关于 x的一元一次不等式组 的解集为 x≥﹣7；且关于 y的方程
2（y﹣8），则所有满足条件的 m的整数值之和是 ．
18．（4 分）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这
个三位数为“三决数”，如：三位数 312，∴312是“三决数”，把一个三决数 m的任意一
个数位上的数字去掉，这三个两位数之和记为 F（m），把 m的百位数字与个位数字之差
的 2倍记为 G（m）（347）+G（347）的值为 ；若三位数 A是“三决数”，且
F（A）+G（A），且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的 A 的最大值
为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19题 8分，其余每小题 8 分，共 78 分）解答时每题
必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应
的位置上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线 AD，交 BC于点 E；作线段 AC的垂直平分线交 AC
于点 F；连接 BG，CG（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．请完成下列证明的推理过程：
证明：∵FG是 AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，∠AFG＝90°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴① ．
∵② ，
∴AB＝AF．
在△AGB和△AGF中，
∴△AGF≌△AGB（SAS），
∴④ ＝90°，
∴AB⊥BG．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D
21．（10分）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯 BC的高 AC与右边滑梯 EF水平
方向的长度 DF相等
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是 A（1，2），B
（3，0），C（5，3）．
（1）将△ABC向下平移 5个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于 y轴对称的△A2B2C2；
（3）点 P是 x轴上的动点，当△PAB是等腰三角形时，这样的点 P有 个．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，PE⊥AD交直线 BC于点 E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当 P点在线段 AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需
证明．
24．（10分）已知：如图，点 B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DM⊥BE于
M．
（1）求证：AC＝BM+CM；
（2）若 AC＝10，BC＝6，求 CM的长．
25．（10分）如图 1，等腰 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，B分别在坐标轴上．
（1）当点 C的横坐标为 5时，则 B点的坐标是 ．
（2）在等腰 Rt△ABC运动过程中，位置如图 2所示，若 x轴恰好平分∠BAC，过 C作
CD⊥x轴于 D，求 的值．
（3）在等腰 Rt△ABC运动过程中，如图 3所示，若 x轴恰好经过边 BC的中点 N，连接
BD．请直接写出线段 AN、CD、DN之间的数量关系．
26．（10分）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角
形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点
之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
【概念理解】
（1）如图 1，在△ABC中，∠A＝36°，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填
“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图 2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分
割线；
【概念应用】
（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题 12个小题，每小题 4 分，共 48分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答
案标号涂黑．
1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【解答】解：设第三边长为 xcm，
则 8﹣5＜x＜4+5，即 3＜x＜13，
∴第三边长可能是 12cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的
两边差小于第三边是解题的关键．
3．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩 BC可将其固定，
故选：A．
【点评】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方
法，即可求解．
【解答】解：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据 ASA来
配一块一样的玻璃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识
运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
5．【分析】多边形的外角和是 360°，则内角和是 2×360＝720°．设这个多边形是 n边形，
内角和是（n﹣2） 180°，这样就得到一个关于 n的方程组，从而求出边数 n的值．
【解答】解：设这个多边形是 n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝5．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是
解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解
决．
6．【分析】作辅助线（延长 AD至 E，使 DE＝AD＝4，连接 BE）构建全等三角形△BDE≌
△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知 BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大
于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得 AB的取值范围．
【解答】解：延长 AD至 E，使 DE＝AD＝4．则 AE＝8，
∵AD是边 BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得 AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即 8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，
运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
7．【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和 BM⊥AC，
ND⊥BC可得 BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三
角形内角和求出∠C即可．
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝42°，由于 AD＝AE，于是得到∠
ADE＝ （180°﹣∠CAD）＝69°，根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝42°，∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝ （180°﹣∠CAD）＝69°，
∴∠CDE＝90°﹣69°＝21°，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解
答此题的关键．
9．【分析】分两种情况进行讨论：腰长为 6cm或底边为 6cm，分别根据周长求得底边长．
【解答】解：①6cm是底边时，腰长＝ ，
此时三角形的三边分别为 7cm、7cm，
符合三角形三边关系，
②2cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝3cm，
此时三角形的三边分别为 6cm、6cm，
符合三角形三边关系，
综上所述，底边长为 6或 8cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是分类进行讨论，还应验
证各种情况是否能构成三角形进行解答．
10．【分析】①设∠C＝α，由已知可得∠AHB＝∠B＝2α；
②分别求出∠DAE＝（90°﹣ α）﹣（90°﹣2α）＝ α，∠EAH＝（90°﹣ α）﹣α
＝90°﹣ α，即可判断 AE不是∠DAH的平分线；
③由②得到③∠DAE＝ α，∠B﹣∠C＝2α﹣α＝α，即可得到 2∠DAE＝∠B﹣∠C；
④延长 AH使 HG＝BE，连接 GC；证明△ABE≌△CHG（SAS），求出∠ACG＝∠ACB+
∠HCG＝α+90°﹣ α＝90°﹣ α，∠AEB＝∠G＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣2α﹣
（90°﹣ α）＝90°﹣ α，则△ACG是等腰三角形，所以 AC＝AG＝AH+HG＝AB+BE；
⑤结合④AC＝AB+BE＝CH+BD+DE，再由 EC＝CD﹣DE＝CH+DH﹣DE＝CH+BD﹣
DE，可得 AC﹣CF＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DE）＝2DE，即可得到 ＝2．
【解答】解：①设∠C＝α，
∵点 H为 AC的垂直平分线与 BC的交点，
∴AH＝HC，
∴∠CAH＝α，
∴∠AHB＝2α，
∵HC＝AB，
∴AH＝AB，
∴∠B＝2α，
∴∠B＝5∠C；
②∵∠C＝α，∠B＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣3α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝90°﹣ α，
∵AD为△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣2α，
∴∠DAE＝（90°﹣ α）﹣（90°﹣2α）＝ α，
∴∠EAH＝（90°﹣ α）﹣α＝90°﹣ α，
∴AE不是∠DAH的平分线；
③∵∠DAE＝（90°﹣ α）﹣（90°﹣2α）＝ α，
∠B﹣∠C＝2α﹣α＝α，
∴3∠DAE＝∠B﹣∠C；
④延长 AH使 HG＝BE，连接 GC；
∵HG＝BE，∠AHB＝∠CHG＝∠B＝2α，
∴△ABE≌△CHG（SAS），
∴∠G＝∠AEB，∠HCG＝∠BAE，
在 Rt△ABD中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣2α，
∴∠HCG＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°﹣4α+ α＝90°﹣ α，
∴∠ACG＝∠ACB+∠HCG＝α+90°﹣ α＝90°﹣ α，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣6α﹣（90°﹣ α，
∴∠G＝∠ACG，
∴AC＝AG＝AH+HG＝AB+BE；
⑤∵AH＝CH＝AB，
∵AH＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DH，
∴AC＝AB+BE＝CH+BD+DE，
∵EC＝CD﹣DE＝CH+DH﹣DE＝CH+BD﹣DE，
∴AC﹣CF＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DE）＝2DE，
∴ ＝2；
∴①③④⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的角平分线，高，线段垂直平分线的性质；熟练掌握角平分线
的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形和直角三角形的性质
是解题的关键．
二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分）请将答案填在答题卡上对应的横线
上．
11．【分析】根据关于 x轴对称的点的坐标特点求出 m、n的值，然后代入代数式进行计算
即可得解．
【解答】解：∵A（2，m）和 B（n，
∴n＝2，m＝2，
∴m+n＝2+1＝4．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的
坐标规律：
（1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC＝∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，则可
求得∠EAC．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝80°﹣15°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等
是解题的关键．
13．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分 BC，
∴BE＝EC，
∵BE＝AC，
∴CE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∵∠ACE＝20°，
∴∠AEC＝∠A＝80°，
∵BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB＝ ，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝ ，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝80°﹣20°＝60°，
故答案为：60
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解
答．
14．【分析】分两种情况讨论：底角度数是顶角度数的 2倍；顶角度数是底角度数的 2倍；
进行计算即可求解．
【解答】解：底角度数是顶角度数的 2倍，
顶角：180°÷（2+8+1）＝36°；
顶角度数是底角度数的 2倍，
顶角：180°÷（ + +1）＝90°．
故△ABC的顶角度数为 36°或 90°．
故答案为：36°或 90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，新定义，注意分类思想的
应用．分两种情况是解题的关键．
15．【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内
角和定理，即可得出结论．
【解答】解：由折叠可得∠B'＝∠B＝31°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB'＝∠B'＝31°，
又∵∠ACB＝97°，
∴∠BCB'＝66°，
由折叠可得，∠BCD＝ ，
∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣31°﹣33°＝116°．
故答案为：116°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直
线所截，内错角相等．
16．【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P在 AO上，或点 P在
BO上．
【解答】解：当 PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图 1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝10﹣3t，OQ＝6t，
∴当 PO＝QO时，
10﹣3t＝2t，
解得 t＝6；
当 PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图 2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝3t﹣10，OQ＝5t；
∴当 PO＝QO时，3t﹣10＝2t；
解得 t＝10；
故答案为：8s或 10s．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题
的关键，注意分类讨论．
17．【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为 x≥﹣7 得到 m的取值范围；解方程，根
据解是正整数，确定整数 m的取值，从而求解．
【解答】解：因为 的解集为 x≥﹣7，
∴m≤﹣3，
∵关于 y的方程 2（y﹣8）＝m﹣y有正整数解，
∴ 有正整数解，
∴m＝﹣13或 m＝﹣10，
∴所有满足条件的 m的整数值之和＝﹣13﹣10＝﹣23，
故答案为：﹣23．
【点评】本题考查方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握方程的解法、一元一次
不等式组的解法是解题的关键．
18．【分析】按照定义计算即可．
【解答】解：F（347）＝34+37+47
＝118，
G（347）＝2（3﹣5）
＝﹣8，
∴F（347）+G（347）＝118﹣8
＝110．
设三位数 A的百位数字为 a，十位数字为 b，
∴F（A）＝10a+b+10a+c+10b+c
＝20a+11b+6c；
G（A）＝2（a﹣c）
＝2a﹣6c，
∴F（A）+G（A）＝20a+11b+2c+2a﹣5c
＝22a+11b
＝11（2a+b），
∵0≤a≤2，0≤b≤9，
∴3≤2a+b≤27，
∵F（A）+G（A）是完全平方数，
∴2a+b＝11，
∴ ； ； ； ； ，
∵三位数 A是“三决数”，
∴b＝|a﹣c|，
∴c＝a±b，
当 时，c＝﹣8或 10，
当 时，c＝﹣7或 9，
∴A为 279；
当 时，c＝﹣2或 8，
∴A为 358；
当 时，c＝1或 7，
∴A为 431或 437；
当 时，c＝3或 6，
∴A为 514或 516；
∴A的最大值为 516．
故答案为：110；516．
【点评】本题考查了整式的化简的应用，因式分解及合理的推理是解题关键．
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19题 8分，其余每小题 8 分，共 78 分）解答时每题
必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应
的位置上．
19．【分析】（1）按照角平分线和垂直平分线的尺规作图方法，求解即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质，求证即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵FG是 AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，∠AFG＝90°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠FAG，
∵AC＝2AB＝2AF，
∴AB＝AF，
在△ABG和△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（SAS），
∴∠ABG＝∠AFG＝90°，
∴AB⊥BG
故答案为：①∠BAG＝∠FAG；②AC＝4AB＝2AF；④∠ABG＝∠AFG＝90°．
【点评】此题考查了复杂作图，掌握角平分线和垂直平分线的性质，全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
20．【分析】根据平行线的性质推出∠B＝∠DEF，根据全等三角形的判定 AAS证出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能
推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．
21．【分析】已知 Rt△ABC和 Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判断两三角
形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定 ABC与∠DFE
的大小关系．
【解答】证明：在 Rt△ABC和 Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC＝∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在
的三角形全等，根据对应角相等进行判定．
22．【分析】（1）将三个顶点分别向下平移 5个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于 y轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
（3）根据等腰三角形的判定得出 P点即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C3即为所求．
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，
（3）如图所示，
P点的个数是 3个．
故答案为：3．
【点评】本题几何变换综合题，主要考查作图—平移变换和轴对称变换，解题的关键是
掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
23．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义
求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得
∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝ （∠ACB﹣∠B）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠8＝∠2＝ ∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝ （180﹣n﹣m）°，
∴∠6＝∠B+∠1＝n°+ （180﹣n﹣m）°＝90°+ m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+ n°﹣ （m﹣n）°＝ ．
【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为
180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
24．【分析】（1）作 DN⊥AC于 N，易证 Rt△DCN≌Rt△DCM，可得 CN＝CM，进而可以
证明 Rt△ADN≌Rt△BDM，可得 AN＝BM，即可解题；
（2）利用（1）中的结论变形得出答案即可．
【解答】（1）证明：作 DN⊥AC于 N，
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，
∴DN＝DM，
在 Rt△DCN和 Rt△DCM中，
，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），
∴CN＝CM，
在 Rt△ADN和 Rt△BDM中，
，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∵AC＝AN+CN，
∴AC＝BM+CM．
（2）解：∵AN＝AC﹣CN，BM＝BC+CM，
∴AC﹣CN＝BC+CM，
∴AC﹣CM＝BC+CM，
∴2CM＝AC﹣BC，
∵AC＝10，BC＝6，
∴CM＝6．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本
题中求证 CN＝CM，AN＝BM是解题的关键．
25．【分析】（1）如图 1，过 C作 CE⊥y轴于 E，根据余角的性质得到∠BAO＝∠CBE，根
据全等三角形的性质即可得到结论；（2）证明△ADE≌△ADC（ASA），则 AB＝BC；再
证明△ABM≌△CBE（ASA），则 AM＝EC＝2CD；
（3）根据垂直的定义得到∠CDN＝90°，求得 ON＝DN，根据全等三角形的性质得到
OB＝CD，过 C作 CE⊥y轴于 E，根据全等三角形的性质得到 CE＝OB，AO＝BE，根据
正方形的性质得到 OD＝CD＝OE，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图 1，过 C作 CE⊥y轴于 E，
∴∠AOB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠CBE＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OB＝CE，
∵点 C的横坐标为 5，
∴CE＝3，
∴OB＝5，
∴B（0，2）；
（2）如图 2，延 AB．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴CD＝DE，
∵∠EAD+∠E＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠BAM＝∠BCE，
∵∠ABM＝∠CBE＝90°，AB＝BC，
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴AM＝EC＝2CD，
即 AM＝6CD，
∴ 的值为 2；
（3）AN+DN＝3CD．
理由：∵CD⊥x轴，
∴∠CDN＝90°，
∴∠BON＝∠CDN＝90°，
∵BC的中点 N，
∴ON＝DN，
∵∠BNO＝∠CND，
∴△BON≌△CDN（ASA），
∴OB＝CD，
过 C作 CE⊥y轴于 E，
由（1）知，△ABO≌△BCE，
∴CE＝OB，AO＝BE，
∴CE＝CD，
∴四边形 CDOE是正方形，
∴OD＝CD＝OE，
∴ON＝DN＝ OD＝ ，
∴OA＝BE＝2OB＝2CD，
∴AN+DN＝AO+OD＝5CD+CD＝3CD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．【分析】（1）推出∠BCD＝36°，∠ABC＝72°，∠BDC＝72°，从而得出结论；
（2）可计算得出∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB，从
而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD 是等腰三角形时，
再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，
也分为三种情形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝36°，
∵∠ABC＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴△CBD和△ABC互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）证明：∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣48°＝96°，
∵CD平分∠ACB，
∴ ＝ ，
∴∠BCD＝∠B，
∴△BCD是等腰三角形，∠ACD＝∠A＝36°，∠ADC＝∠ACB＝96°，
∴CD为△ABC的等腰分割线；
（3）解：（Ⅰ）当△ACD是等腰三角形时，
①如图 1，
当 AD＝CD时，则∠ACD＝∠A＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°，
此时∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝90°；
②如图 8，
当 AC＝AD时，则 ＝67.5°，
此时∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°+67.6°＝112.5°；
③当 AC＝CD时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当△BCD是等腰三角形时，
①如图 3，
当 CD＝DB时，∠B＝∠BCD＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
∵∠BDC+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝2×45°＝90°；
②如图 4，
当 BC＝BD，∠B＝∠ACD时，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
由∠B+2∠BDC＝180°，
得，∠ACD+7（∠ACD+45°）＝180°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝45°+2×30°＝105°；
③当 CD＝CB时，这种情况不存在；
综上所述：∠ACB＝90°或 112.5°或 105°．
【点评】本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正
确分类．
