2022-2023 学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计 24 分，）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+y2＝1 B．x3﹣2x＝3 C．x2+ ＝3 D．x2＝0
2．（3分）如图，直线 l1∥l2∥l3，若 AB＝2，BC＝3，DE＝1（ ）
A． B． C．6 D．
3．（3 分）小明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 10次，落地后正面向上 7次，反面向上 3
次（ ）
A．正面向上的频率是 7
B．正面向上的频率是 0.7
C．正面向上的频率是 3
D．正面向上的频率是 0.3
4．（3分）如图，已知点 C是线段 AB上的一点，且满足 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一元二次方程 x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．（3分）如图，菱形 ABCD中，∠B＝120°（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
7．（3分）下列四对图形中，是相似图形的是（ ）
A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形
8．（3分）如图，正方形 ABCD的边长为 2，BE＝CE，线段 MN的两端点在 CD、AD上滑
动，当 DM为（ ）时
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计 15 分，）
9．（3分）若 2m＝3n，那么 m：n＝ ．
10．（3分）一元二次方程 x2＝2的解为 ．
11．（3分）如图，△ABC中，点 D、E分别在边 AB、BC上，若 DB＝4，AB＝6，则 EC的
长是 ．
12．（3分）某企业 2020年底的年产值为 1000万元，计划 2022年底的年产值达到 1440万
元，如果每年的增长率相同，根据题意可列出的方程为 ．
13．（3分）如图，正方形 ABCD的边长为 4，∠DAC的平分线交 DC于点 E，则 DQ+PQ的
最小值是 ．
三、解答题（本题共计 13 小题，共计 81 分）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝4．
15．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
16．（5分）已知线段 a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝4，c＝10，求线段 d的长．
17．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图在 AC上作一点 E，使得∠CBE
＝36°（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，点 E，F分别在菱形 ABCD的边 BC，且 BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
19．（5分）在△ABC中，D是 AB中点，DE∥BC
20．（5 分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机
分到 A组（体温检测）、B组（便民代购）（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到 B组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是
多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
21．（6分）如图，将 Rt△ADF绕着点 A顺时针旋转 90°得到 Rt△ABE，射线 EB与 DF相
交于点 C
22．（7分）x1，x2是方程 x2﹣4x+1＝0的两根，求代数式（x1+x2）2+2x1x2的值．
23．（7分）已知：如图，D是 AC上一点，DE∥AB
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若 AB＝8，AD＝6，AE＝4
24．（8 分）为了预防新冠肺炎，某商店新进了一批口罩，若按每个盈利 1 元销售，如果每
个口罩的售价上涨 0.5元，则销售量就减少 10个，才能让顾客得到实惠的同时每天利润
为 480元？
25．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的 Rt△ABC来测量操场旗杆 MN的高度，
他们通过调整测量位置，已知 AC＝0.8米，BC＝0.5米，到旗杆的水平距离 AE＝20米，
求旗杆 MN的高度．
26．（10 分）综合与探究：已知：如图①，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，点 P
由 B出发沿 BA方向向点 A匀速运动；点 Q由 A出发沿 AC方向向点 C匀速运动，速度
为 2cm/s（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当 AP＝AQ时，求 t的值；
（2）点 P，Q同时出发，t为何值时，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）如图②，连接 PC，并把△PQC沿 QC翻折，那么是否存在某一时刻 t，使四边形
PQP'C为菱形？若存在；若不存在，说明理由．（不写求解过程）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计 24 分，）
1．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高
次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项
进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意．
B、未知数的最高次数是三次，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程．
D、该方程符合一元二次方程的定义．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要
看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．
2．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l4，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，BC＝3，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所
截的对应线段成比例．
3．【分析】根据频率＝ 进行计算即可．
【解答】解：小明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 10次，落地后正面向上 7次，
则正面向上的频率为 ＝0.4，
故选：B．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝ 是正确解答的关键．
4．【分析】设 AB＝1，AC＝x，根据 求出 x，得到 AC和 BC，再计算结果即可．
【解答】解：设 AB＝1，AC＝x，
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程和黄金分割的应用，根据题意列出比例式是关键．
5．【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
∴b4﹣4ac＝4﹣7×1×3＝﹣6＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
6．【分析】由菱形的性质可得 AB＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝120°，
∴∠1＝ ＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
7．【分析】利用相似图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、任意两个三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
B、任意两个等腰三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
C、任意两个直角三角形的对应边的比不相等，不是相似图形；
D、任意两个等边三角形相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
8．【分析】根据 AE＝EB，△ABE中，AB＝2BE，所以在△MNC中，分 CM与 AB和 BE是
对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出 CM与 CN的关系，然后利用勾股定
理列式计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝2BE，
又∵△ABE与以 D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与 AB是对应边时，DM＝2DN
∴DM2+DN2＝MN2＝2
∴DM2+ DM2＝1，
解得 DM＝ ；
②DM与 BE是对应边时，DM＝ ，
∴DM2+DN2＝MN2＝1，
即 DM2+4DM2＝7，
解得 DM＝ ．
∴DM为 或 时，△ABE与以 D、M．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①
DM与 AB是对应边时，②当 DM与 BE是对应边时这两种情况．
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计 15 分，）
9．【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解．
【解答】解：∵2m＝3n，
∴m：n＝3：2．
故答案为：3：8．
【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则 ad＝bc．
10．【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．
【解答】解：∵x2＝2，
∴x2＝ ，x2＝﹣ ．
故答案为：x＝± ．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
11．【分析】由△ABC中，点 D、E分别在边 AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比
例定理，可得 DB：AB＝BE：BC，又由 DB＝4，AB＝6，BE＝3，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴DB：AB＝BE：BC，
∵DB＝4，AB＝6，
∴3：6＝3：BC，
解得：BC＝ ，
∴EC＝BC﹣BE＝ ﹣3＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并
且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三
边对应成比例．
12．【分析】利用 2022的年产值＝2020年的年产值×（1+年平均增长率）2，即可得出关于
x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1000（1+x）2＝1440．
故答案为：1000（5+x）2＝1440．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
13．【分析】过 D作 AE的垂线交 AE于 F，交 AC于 D′，再过 D′作 AP′⊥AD，由角平
分线的性质可得出 D′是 D关于 AE的对称点，进而可知 D′P′即为 DQ+PQ的最小值．
【解答】解：作 DD′⊥AE于 F，交 AC于 D′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是 D关于 AE的对称点，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即为 DQ+PQ的最小值，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在 Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′6＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
3P′D′2＝AD′2，即 6P′D′2＝16，
∴P′D′＝2 ，
即 DQ+PQ的最小值为 2 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴
对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题（本题共计 13 小题，共计 81 分）
14．【分析】直接利用开平方法求解即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣4＝2或 x﹣1＝﹣6，
解得：x1＝3，x5＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的形式选择适当的方法进行求
解是解题的关键．
15．【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝4，
则 x+1＝0或 x﹣6＝0，
∴x＝﹣1或 x＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键
16．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根
据定义 ad＝cb，将 a，b及 c的值代入即可求得 d．
【解答】解：已知 a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入 a＝4，b＝5，
解得： ．
【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段 a，b，c，d有 a：b＝c：d，那么就说
这四条线段成比例．
17．【分析】作∠ABC的角平分线即可得到结论．
【解答】解：如图所示，点 E即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的
性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠
BAE＝∠DAF．
【解答】证明：∵四边形 ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱
形的性质．
19．【分析】作 CF∥AB交 DE的延长线于点 F，根据两组对边分别平行的四边形是平行四
边形得到四边形 DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 BD＝CF，证明△ADE
≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：作 CF∥AB交 DE的延长线于点 F，
∴∠ADE＝∠F，
∵DF∥BC，CF∥BD，
∴四边形 DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵AD＝BD，
∴AD＝CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE＝EC，即 E是 AC中点．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握全等
三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．【分析】（1）共有 3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有 1中，可求出概率．
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的
概率．
【解答】解：（1）共有 3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有 1种 ；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有 9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有 8种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）＝ ＝ ．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的
结果情况是正确求解的前提．
21．【分析】由旋转得∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，则∠ABC＝180°﹣∠
ABE＝90°，由∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，可证明四边形 ABCD为矩形，而 AB＝AD，
四边形 ABCD为正方形．
【解答】证明：∵将 Rt△ADF绕着点 A顺时针旋转 90°得到 Rt△ABE，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴四边形 ABCD为矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形 ABCD为正方形．
【点评】此题重点考查旋转的性质、正方形的判定等知识，证明∠BAD＝∠ABC＝∠D＝
90°及 AB＝AD是解题的关键．
22．【分析】根据题意求出 x1+x2＝4，x1x2＝1，代入式子计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程 x7﹣4x+1＝6的两根，
∴ ， ，
∴ ．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程求出 x1+x2，
x1x2的值．
23．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，可得：∠EDA＝∠CAB，由∠B＝∠DAE，然
后根据两角对应相等，两三角形相似，可证△ABC∽△DAE；
（2）由相似三角形对应边成比例，可得： ，然后将 AB＝8，AD＝6，AE＝4，代
入即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠CAB，
∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（2）∵△ABC∽△DAE，
∴ ，
∵AB＝8，AD＝6，
∴ ．
∴BC＝ ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，关键知道两角对应相等两个三角形相似
及相似三角形对应边成比例．
24．【分析】设每个口罩涨价 x元，则每个口罩的销售利润为（1+x）元，每天可售出（200
﹣20x）个，利用总利润＝每个口罩的销售利润×日销售量，可列出关于 x的一元二次方
程，解之可得出 x的值，再结合要让顾客得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：设每个口罩涨价 x元，则每个口罩的销售利润为（1+x）元 ＝（200﹣
20x）个，
根据题意得：（1+x）（200﹣20x）＝480，
整理得：x2﹣6x+14＝0，
解得：x1＝6，x2＝7，
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝4．
答：每个口罩应涨价 2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
25．【分析】利用相似三角形的性质求出 EM，利用矩形的性质求出 EN，可得结论．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，
∴△ACB∽△AEM，
∴ ，
∴ ，
∴EM＝12.5（米），
∵四边形 ADNE是矩形，
∴AD＝EN＝4.5（米），
∴MN＝ME+EN＝12.5+3.5＝14（米）．
【点评】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似
三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）利用勾股定理求出 AB，再结合 AP＝AQ以及两点的速度列出方程，解之即
可；
（2）利用勾股定理求出 AB，再根据题意知：AP＝（5﹣t）cm，AQ＝2tcm，当 PQ∥BC，
则△AQP∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得 t，当 PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
利用其对应边成比例即可求得 t．
（3）过点 P作 PE⊥BC、PF⊥AC，分别交 BC于 E、交 AC于 F，则四边形 CEPF是矩
形，证明△PBE∽△ABC，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出 t的值即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8cm，
∴ ，
∵AP＝AQ，
∴10﹣t＝2t，
∴ ；
（2）由题意知：AP＝（10﹣t）cm，AQ＝7t，
当 PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
当 PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 或 时，以 A、P，
故答案为： 或 ；
（3）存在某一时刻 t，使四边形 PQP'C为菱形
过点 P作 PE⊥BC、PF⊥AC、交 AC于 F
∴∠BEP＝∠BCA＝∠PFC＝90°，
∴四边形 CEPF是矩形，
当 时，即 FC＝FQ时，
此时把△PCQ沿 QC翻折得到四边形 PQP'C是菱形，
∵∠B＝∠B，
∴△PBE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵QC＝8﹣2t，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，四边形 PQP'C是菱形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定
与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）
（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．
