2020-2021 学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共十题：共 30 分）
1．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知 1是关于 x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则 m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，﹣1）绕原点 O逆时针旋转 180°得到点 B
（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
4．（3分）方程 x2＝x的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣1
5．（3分）把函数 y＝x2的图象向右平移 1个单位，所得函数表达式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2
6．（3分）关于 x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等实数根，则 k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且 k≠0
7．（3分）设 A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+m上的三点，
则 y1，y2，y3的大小关系是
（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
8．（3分）在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 90张（ ）人．
A．9 B．10 C．12 D．15
9．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，将△ABD绕点 A逆时针旋转后得到△ACE，那
么线段 DE的长为（ ）
A． B．6 C． D．
10．（3分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）；
②b2﹣4ac＞0；
③a﹣b+c＜0；
④当 y＞0时，﹣1＜x＜3；
⑤2a+b＞0．
A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④ D．①②④
二、填空题（共六题：共 24 分）
11．（3分）一个正三角形绕其中心至少旋转 度，才能与自身重合．
12．（3分）一元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2﹣x1x2＝ ．
13．（3分）有一座抛物线形的拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱桥距离水面 4m．如
图所示的直角坐标系中抛物线的表达式为 ．
14．（3 分）若 x＝﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4mx﹣8＝0 的一个根，则另一个根
是 ．
15．（3分）出售某种文具盒，若每个获利 x元，一天可售出（6﹣x）个 元时，一天
出售该种文具盒的总利润 y最大．
16．（3 分）如图，Rt△OAB的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2上，将 Rt△OAB绕点 O
顺时针旋转 90°，得到△OCD，则点 P的坐标为 ．
三、解答题（共九题：共 66 分）
17．解方程：
（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5＝0；
（2）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．
18．在直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为 1个单位长度的正
方形）
（1）以 A点为旋转中心，将△ABC绕点 A顺时针旋转 90°得△AB1C1，画出△AB1C1；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点 O成中心对称图形，画出△A2B2C2；
（3）在 x轴上存在一点 P，满足 P到点 B2与点 C2距离之和最小，请直接写出 PB2+PC2
的最小值为 ．
19．已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣3．
（1）抛物线顶点坐标 ；对称轴 ．
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x … …
y … …
（3）结合图象，写出当 x取何值时，y＞﹣3．
20．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2018年投资 20万元新增一批电
脑，2020年投资 33.8万元．
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从 2018年到 2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
21．已知关于 x的一元二次方程 x2+mx+n﹣1＝0，
（1）方程的两个根分别为 1，﹣2，求 m；
（2）方程有两个相等的实根，求 的值．
22．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上
修建绿色植物园，可利用的墙长不超过 16m，另外三边由 36m长的栅栏围成，垂直于墙
的边 AB＝xm，面积为 ym2（如图）．
（1）求 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为 160m2，求 x的值；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点 D在射线 BA上（不与 B，A重合），连接 CD，连
接 BE．
（1）如图①，点 D在 BA边上，且 DF⊥BA（D为垂足），求证：CF＝BE．
（2）如图②，点 D在 BA边的延长线上，且 DF⊥BA（D为垂足），用等式表示线段 CB、
BD、BE之间的数量关系并说明理由．
24．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数 y＝x﹣1，令 y＝0，我
们就说 1是函数 y＝x﹣1的零点，已知函数 y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）当 m＝0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论 m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为 x1和 x2，且 ，此时函数图象与 x轴的交点分
别为 A、B（点 A在点 B左侧），求点 A与点 B的距离．
25．如图，Rt△ABO的两直角边 OA、OB分别在 x轴的负半轴和 y轴的正半轴上，O为坐
标原点（﹣3，0）、（0，4），抛物线 y＝ x2+bx+c经过 B点，且顶点在直线 x＝ 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿 x轴向右平移得到的，当四边形 ABCD是菱形时，试判断
点 C和点 D是否在该抛物线上
（3）在（2）的条件下，若 M点是 CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，MN的长
度为 s，求 s与 t之间的函数关系式，并求 s取大值时，点 M的坐标．
2020-2021 学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共十题：共 30 分）
1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度与自身重
合．
2．【分析】把 x＝1代入方程，即可得到一个关于 m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+7＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
3．【分析】根据该点与原来的点关于原点对称解答即可．
【解答】解：∵点 A（﹣2，﹣1）绕原点 O逆时针旋转 180°得到点 B，
∴点 B与点 A关于原点对称，
∴B坐标为（3，1），
故选：D．
【点评】考查点的旋转问题；用到的知识点为：旋转 180°得到的点与原来的点关于原点
对称．
4．【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：x2＝x，
x2﹣x＝7，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝3或 x﹣1＝0，
解得 x5＝1，x2＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．
5．【分析】根据“抛物线向左平移加，向上平移加”可得答案．
【解答】解：把函数 y＝x2的图象向右平移 1个单位，所得函数表达式为 y＝（x﹣2）2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象向左平移加，向右平移减，向
上平移加，向下平移减．
6．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＞0，
然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得 k≠0且Δ＝24﹣4k×（﹣1）＞4，
所以 k＞﹣1且 k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相
等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，然后比较三个点离
直线 x＝﹣1的远近得到 y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为 y＝﹣（x+1）2+m，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣7，
∵A（﹣2，y1）、B（2，y2）、C（2，y5），
∴点 C离直线 x＝﹣1最远，点 A离直线 x＝﹣1最近，
抛物线开口向下，
∴y6＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解
析式．
8．【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）＝90，
把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设参加此次活动的人数有 x人，
由题意得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x3＝﹣9（不合题意，舍去）．
即参加此次活动的人数是 10人．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的
关键．
9．【分析】由等边△ABC中，AB＝6，D是 BC的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，
可求得 AD的长为 3 ，又由将△ABD绕点 A逆时针旋转得△ACE，易得△ADE是等边
三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∵BD＝DC＝3，
∴AD⊥BC，
∴AD＝ ＝3
∵△ABD绕点 A逆时针旋转后得到△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝2 ，
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．勾股定理等知识，解题的
关键是证明△ADE是等边三角形．
10．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：∵抛物线开口向下，则 a＜0 ，则 b＝﹣2a＞0，则 c＞6，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与 x轴有 2个交点，
∴Δ＝b5﹣4ac＞0，故②正确；
∵抛物线过点（﹣7，0），
∴a﹣b+c＝0，故③不正确；
∵抛物线过点（﹣2，0），则抛物线与 x轴的另一个交点为（3，
根据函数图象可得当 y＞4时，﹣1＜x＜3；
∵b＝﹣5a，则 2a+b＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共六题：共 24 分）
11．【分析】根据等边三角形的性质得出正三角形的每个角的度数都是 60°，再根据圆周角
定理求出∠AOB的度数，再根据旋转的性质得出即可．
【解答】解：连接 OA，OB，
∵正三角形的每个角的度数都是 60°，
∴∠AOB＝2×60°＝120°，
∴一个正三角形绕其中心至少旋转 120度，才能与自身重合，
故答案为：120．
【点评】本题考查了旋转对称图形和等边三角形的性质，能熟记等边三角形的性质是解
此题的关键．
12．【分析】根据根与系数的关系得出 x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，代入代数式即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为 x1和 x6，
∴x1+x2＝7，x1x2＝﹣7，
∴x1+x2﹣x3x2＝2﹣（﹣7）＝2+3＝2，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c
＝0（a≠0）的两根， ， ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解
题的关键．
13．【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是 y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣4）
代入求出 a的值即可．
【解答】解：设该抛物线的解析式是 y＝ax2，
由图象知，点（10，代入得：
100a＝﹣4，
a＝﹣ ，
∴该抛物线的解析式是 y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次
函数的解析式是此题考查的目的．
14．【分析】设一元二次方程 x2﹣4mx﹣8＝0的另一根为α，再由根与系数的关系即可得出结
论．
【解答】解：设一元二次方程 x2﹣4mx﹣8＝0的另一根为α，则﹣2α＝﹣6．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a
≠0）的两根，则 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ 是解答此题的关键．
15．【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．
【解答】解：由题意可得函数式 y＝（6﹣x）x，
即 y＝﹣x2+5x，
当 x＝﹣ ＝﹣ ，y有最大值，
即当 x＝3元时，一天出售该种文具盒的总利润 y最大．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．
16．【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得 D（0，2），且 DC
∥x轴，从而求得 P的纵坐标为 2，代入求得的解析式即可求得 P的坐标．
【解答】解：∵Rt△OAB的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax5上，
∴4＝4a，解得 a＝5，
∴抛物线为 y＝x2，
∵点 A（﹣2，3），
∴B（﹣2，0），
∴OB＝4，
∵将 Rt△OAB绕点 O顺时针旋转 90°，得到△OCD，
∴D点在 y轴上，且 OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为 2，
代入 y＝x2，得 4＝x2，
解得 x＝± ，
∴P（ ，2）．
故答案为（ ，8）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，
根据题意求得 P的纵坐标是解题的关键．
三、解答题（共九题：共 66 分）
17．【分析】（1）按照要求用配方法解方程即可；
（2）观察式子特征，用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）由 x2﹣2x﹣5＝0得，
x2﹣4x＝5，
x2﹣8x+1＝5+8，
（x﹣1）2＝8，
，
所以 ， ；
（2）x（x﹣6）+x﹣2＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x+5＝0或 x﹣2＝6，
所以 x1＝﹣1，x2＝2．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．【分析】（1）根据小方格的特点以及旋转性质画出 B1和 C1，然后依次连接 A，B1，C1
这三点即可；
（2）根据小方格的特点以及中心对称图形性质画出点 A2，点 B2与点 C2，然后依次连接
点 A2，点 B2与点 C2这三点即可；
（3）根据三点共线，线段最短，过 C2作 x轴的对称点 C3，连接 B2C3交 x轴于一点，即
为 P点，然后由 B2C3＝B2P+PC3＝B2P+PC2，即可求出 PB2+PC2的最小值．
【解答】解：（1）△AB1C1如图所示：
（2）△A4B2C2如图所示：
（3）过 C7作 x轴的对称点 C3，连接 B2C2交 x轴于一点，即为 P点
即 B2，P，C3三点共线，此时 PB4+PC2有最小值，
所以 B2C5＝B2P+PC3＝B5P+PC2，
根据勾股定理， ，
所以 PB2+PC7有最小值，即为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是旋转作图，三点共线，线段最短以及中心对称图形性质等知
识内容，对旋转变换作图以及中心对称图形性质的正确掌握是解题的关键．
19．【分析】（1）将函数解析式化成顶点式，然后确定对称轴和顶点坐标即可；
（2）根据对称轴，在对称轴的左右两边各选两个点最为横坐标 x的值，然后代入求出函
数值 y，然后填入表格，根再描点连续即可；
（3）根据函数图象直接写成答案即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣7，
抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：（6，﹣4）．
（2）列表，
x …… ﹣1 7 1 2 7 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣3 ﹣3 0 ……
描点连线，
（3）根据函数图象可得，x＜7或 x＞2时．
【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、画二次函数的图象、二次函数
与不等式的关系等知识点，正确画出二次函数图象是解答本题的关键．
20．【分析】（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 x，根据以后每年以相同的增
长率进行投资，2018年投资 20万元，列出方程，求出方程的解即可．
（2）根据（1）求出的增长率，就可求出 2019年的投资金额，再把 2018年，2019年和
2020年三年的投资相加，即可得出答案．
【解答】解：（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 x，根据题意得：
20（1+x）2＝33.7，
解得：x1＝0.8＝30%，x2＝﹣2.3 （不合题意．
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 30%．
（2）∵2018年投资 2万元，
∴2019年投资：20（1+30%）＝26（万元）．
∴该中学三年为新增电脑共投资：20+26+33.8＝79.8（万元）．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．
21．【分析】（1）利用根与系数的关系得到 1+（﹣2）＝﹣m，1×（﹣2）＝n﹣1，然后分别
解一元一次方程即可得到 m和 n的值；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝m2﹣4（n﹣1）＝0，则 m2＝4n﹣4，然后把 m2＝4n﹣4
代入所求的代数式中进行分式的运算即可．
【解答】解：（1）根据题意得 1+（﹣2）＝﹣m，2×（﹣2）＝n﹣1，
所以 m＝8，n＝﹣1；
（2）根据题意得Δ＝m2﹣6（n﹣1）＝0，
则 m8＝4n﹣4，
所以原式＝
＝
＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两根时，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ．也考查了根的判别式．
22．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出 y与 x之间的函数关系式，并由 0＜36﹣2x≤16
求出自变量 x的取值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为 160m2，则由 y＝160可得关于 x的一元二次方程，求得方程的
解并作出取舍即可；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x，
∵0＜36﹣2x≤16，
∴10≤x＜18，
∴y与 x之间的函数关系式为 y＝﹣2x2+36x（10≤x＜18）；
（2）由题意得：﹣2x8+36x＝160，
即 x2﹣18x+80＝0，
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得 x1＝3，x2＝10，
∵10≤x＜18，
∴x1＝3不符合题意，故舍去，
∴x＝10；
（3）由（1）知 y＝﹣2x2+36x（10≤x＜18），
化成顶点式：y＝﹣5x2+36x＝﹣2（x﹣2）2+162，
因为 y＝﹣2（x﹣4）2+162开口向下，x值越靠近对称轴 x＝9，且 10≤x＜18，
∴当 x＝10时，y有最大值 5+162＝﹣2+162＝160，
此时 AD＝36﹣2x＝36﹣20＝16（m），符合题意．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）CD＝DE，∠CDE＝90°．根据旋转的性质得出∠CDF＝∠EDB，进而得
出∠CBA＝∠DFB＝45°．则 DB＝DF，证明△CDF≌△EDB即可得证；
（2）同（1）的方法证明△DCF≌△DEB（SAS），得出 CF＝BE，根据等腰直角三角形
的性质，得出 BF＝ BD，BF＝BC+CF，即可得证．
【解答】（1）证明：由题意可知 CD＝DE，∠CDE＝90°．
∵DF⊥BA，
∴∠FDB＝90°．
∴∠CDF＝∠EDB．
∵∠A＝90°，CA＝BA，
∴∠CBA＝∠DFB＝45°．
∴DB＝DF．
∴△CDF≌△EDB．
∴CF＝EB．
（2）解： BD＝BE+CB
∵∠BAC＝90°，CA＝AB，
∵DF⊥BA，
∴AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB＝∠CBA＝45°，
∴DF＝DB，
由旋转可得，∠BDF＝∠EDC＝90°，
∴∠FDC＝∠BDE，
∴△DCF≌△DEB（SAS），
∴CF＝BE，
又∵等腰 Rt△BDF中，BF＝ ，BF＝BC+CF，
∴ BD＝BE+CB．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，
勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）利用新定义解方程 x2﹣6＝0即可；
（2）把问题转化为证明有两个不相等的实数解，于是证明Δ＞0即可；
（3）由于方程 x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0的两个不相等的实数解为 x1和 x2，则利用根与系
数 的 关 系 得 到 x1+x2 ＝ 2m， x1x2 ＝ ﹣ 2（ m+3 ）， 再 由 变 形 得 到
，所以 ，然后解关于 m的一次方程，即可求
出点 A与点 B的距离．
【解答】（1）解：当 m＝0时，函数解析式为 y＝x2﹣4，
令 y＝0，x2﹣8＝0，
解得 ， ，
所以该函数的零点为 和 ；
（2）证明：令 y＝0，x4﹣2mx﹣2（m+5）＝0，
∵Δ＝（﹣2m）6﹣4×1×[﹣8（m+3）]＝4m5﹣4×[﹣2（m+8）]＝4m2+7m+24＝4（m+1）
7+20＞0，
∴x2﹣3mx﹣2（m+3）＝5有两个不相等的实数解，
∴无论 m取何值，该函数总有两个零点；
（3）解：∵函数 y＝x2﹣2mx﹣7（m+3）的两个零点分别为 x1和 x5，
∴方程 x2﹣2mx﹣7（m+3）＝0的两个不相等的实数解为 x2和 x2，
∴x1+x7＝2m，x1x6＝﹣2（m+3），
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 m＝1，
∴把 m＝4代入函数 y＝x2﹣2mx﹣8（m+3），
则 y＝x2﹣4x﹣8＝（x+2）（x﹣6），
∵函数图象与 x轴的交点分别为 A、B（点 A在点 B左侧），
令 y＝0，（x+2）（x﹣4）＝0，
则 x1＝﹣2，x2＝4，即 A（﹣5，B（4，
∵4﹣（﹣6）＝6，
∴点 A与点 B的距离为 6．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：解答本题的关键是把新定义“函数的零点”转
化为求函数图象与 x轴的交点坐标，利用判别式的意义判断抛物线与 x轴的交点个数解
决（2）小题，利用根与系数的关系解决（3）小题．
25．【分析】（1）已知抛物线上 A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法
求出抛物线的解析式；
（2）首先求出 AB的长，将 A、B的坐标向右平移 AB个单位，即可得出 C、D的坐标，
再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）根据 C、D的坐标，易求得直线 CD的解析式；那么线段 MN的长实际是直线 CD
与抛物线的函数值的差，可将 x＝t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为
s的表达式，由此可求出 s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出 m取最大值
时，点 M的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝ x5+bx+c的顶点在直线 x＝ 上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为 y＝ （x﹣ ）2+m，
∵点 B（0，2）在此抛物线上，
∴4＝ （0﹣ ）2+m，
∴m＝﹣ ，
∴所求函数关系式为：y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ x2﹣ x+7；
（2）在 Rt△ABO中，OA＝3，
∴AB＝ ＝5．
∵四边形 ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∵A、B两点的坐标分别为（﹣2、（0，
∴C、D两点的坐标分别是（5、（2；
当 x＝5时，y＝ 2﹣ ×8+4＝4，
当 x＝5时，y＝ 6﹣ ×2+7＝0，
∴点 C和点 D在所求抛物线上；
（3）设直线 CD对应的函数关系式为 y＝kx+n，
则 ，
解得： ；
∴y＝ x﹣ ．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为 t，
∴N点的横坐标也为 t，且 2＜t＜7；
则 yM＝ t3﹣ t+4，yN＝ t﹣ ，
∴s＝yN﹣yM＝（ t﹣ t2﹣ t+3）
＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当 t＝ 时，s 最大＝ ，此时 yM＝ ×（ ）2﹣ × +4＝ ．
此时点 M的坐标为（ ， ）．
【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，
函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难
度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．
