2023-2024 学年江苏省南通市海安市十三校八年级（上）第一次
段考数学试卷
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3分）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，∠A＝∠D，BC＝EF，只需添加（ ）
A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
3．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，则∠E＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．无法计算
4．（3分）已知点 P（a+1，2a﹣3）关于 x轴的对称点在第四象限，则 a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1 C．﹣ ＜a＜1 D．a
5．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边 OA，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别
与 M，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线 OC，作法用到的三角形全等的判
定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
7．（3分）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，且 BD与 EF相交于点 G，连结 AG，
若四边形 CDGE与四边形 ACEG的面积分别为 7和 11，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．36
8．（3分）两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD是一个筝形，AB＝CB，
在探究筝形的性质时；②AC⊥BD；③直线 BD上任一点到 A、C两点距离相等（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3 分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边 AB（E，F不与端点重合），且 DE
⊥DF，则（ ）
A．BE+CF＞EF
B．BE+CF＝EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与 EF的长短关系不确定
10．（3分）如图，AB＝AD，AC＝AE，AH⊥BC于 H，HA的延长线交 DE于 G；②BC＝
2AG；③∠GAE＝∠EGA△ABC＝S△ADE，其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共 8 小题，11-13 每题 3 分，14-18 每题 4 分，共计 29 分）
11．（3分）点 P（3，﹣4）关于 y轴对称点的坐标是 ．
12．（3分）如图，Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，则 AE＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长 BC交 EF于点 D，若 BD＝5，则 DE
＝ ．
14．（4 分）定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫做“倍长三角
形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边 BC的长为 3 ．
15．（4分）已知△ABC，AB＝3，AC＝7，且长度是奇数，则 AD＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，若 AB：BC＝5：9，S△ADC＝4，则 S△ABD
＝ ．
17．（4分）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与 AC的垂直平分线分别交 BC于点 D、
E，则 AD+AE为 ．
18．（4分）如图，点 F坐标为（﹣3，﹣3），点 G（0，m），点 H（n，0）在 x轴的正半轴
上，则 m+n＝ ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共计 91 分）
19．如图，点 A、B、C、D在一条直线上，AB＝DC，∠A＝∠FBD．求证：
（1）EC＝FD；
（2）FD∥EC．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点 A（2，0）．
（1）画出△ABC关于 x轴对称的图形△A′B′C′，其中 A、B、C分别和 A′、B′、
C′对应；
（2）分别写出 A′、B′、C′三点坐标；
（3）若 y轴上有一点 P，且满足 S△APC＝S△ABC，直接写出点 P坐标．
21．如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点 C处，连接 AE、
BD
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）猜想 AE与 BD的位置关系，并说明理由．
22．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角
形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等
探究：已知：△ABC．
求作：△DEF，使 EF＝BC，∠E＝∠B（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
（1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程；（保留作图痕迹）
①画 EF＝BC；
②在线段 EF的上方画∠E＝∠B；
③画 DF＝AC；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
（2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有 个；其中三
角形 （填三角形的名称）与△ABC 明显不全等，因此可得结
论： ．
（3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角
形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，
再根据求作要求尺规作图）．
（4）归纳与总结：用一句话归纳（3） ．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若 AB＝5cm，AC＝3cm，求 BE的长．
24．如图所示，在△ABC，∠A＝100°，BD平分∠ABC交 AC于点 D，延长 BD至点 E，
连接 CE，求证：BC﹣AB＝EC．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点 P从 A点出发沿 A→C→B路径向终点运
动；点 Q从 B点出发沿 B→C→A路径向终点运动，终点为 A点，两点都要到相应的终
点时才能停止运动，在某时刻，当点 P运动多少秒时，以 P、E、C为顶点的三角形和以
Q、F、C为顶点的三角形全等．
26．问题背景：
如图 1：在四边形 ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分
别是 BC，且∠EAF＝60°，探究图中线段 BE，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长 FD到点 G．使 DG＝BE．连接 AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 ；（直接写结
论，不需证明）
探索延伸：
（2）如图 2，若在四边形 ABCD中，AB＝AD，F分别是 BC，CD上的点 ∠BAD，（1）
中结论是否仍然成立；
（3）如图 3，在四边形 ABCD中，AB＝AD，E、F分别是边 BC、CD延长线上的点，且
∠EAF＝ ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立
2023-2024 学年江苏省南通市海安市十三校八年级（上）第一次
段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．【分析】根据轴对称图形定义求解．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形；
B、图形不是轴对称图形；
C、图形是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后能完全重合．
2．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵DE∥AB，
∴∠A＝∠D，
由∠A＝∠D，BC＝EF不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
B．∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∠A＝∠D，∠EFC＝∠BCA，符合全等三角形的判定定理 AAS，故本选项符合题意；
C．BC＝EF，∠A＝∠D，能推出△ABC≌△DEF；
D．AC＝DF，∠A＝∠D，不能推出△ABC≌△CDE；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定
定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角
三角形全等还有 HL．
3．【分析】根据△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，∠D＝35°得∠ACB＝∠DCE＝100°，
根据三角形内角和定理即可得．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，
∴∠ACB＝∠DCE＝100°，
∵∠D＝35°，∠E+∠DCE+∠D＝180°，
∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣100°﹣35°＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知
识点．
4．【分析】根据关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数先判断出点 p在第一象
限，然后根据第一象限的点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵P（a+1，2a﹣6）关于 x轴的对称点在第四象限，
∴点 P在第一象限，
∴ ，
解不等式①得，a＞﹣7，
解不等式②得，a＞ ，
所以，不等式组的解集是 a＞ ，
故 a的取值范围为 a＞ ．
故选：D．
【点评】本题考查了关于 x轴、y轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先
判断出点 P在第一象限是解题的关键．
5．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由 SSS判定三角全等．做题时要根据已知条
件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，OC为公共边
∴△COM≌△CON（SSS）
∴∠AOC＝∠BOC
即 OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题
是一种重要的能力，要注意培养．
6．【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠
B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，BF＝CD，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
∴∠B＝∠FDE＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性
质等知识，证明△BFD≌△CDE是解题的关键．
7．【分析】根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形 CDGE与四边形 ACEG的面积分别为 7和 11，
∴S△AGD＝11﹣7＝3，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△CGD＝S△AGD＝4，
∴S△CGE＝3，
∵EF是 BC边的中垂线，
∴E是 BC的中点，
∴S△BEG＝S△CGE＝8，
∴S△BDC＝3+3+7＝10，
∴S△ABC＝20，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分
线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．【分析】根据 SSS证明△ABD≌△CBD，可得①正确，推出∠ADB＝∠CDB，再根据等
腰三角形的三线合一的性质即可判断②④正确，根据角平分线的性质定理，可得③错
误．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
∵DA＝DC，
∴AC⊥BD，AO＝OC；
∴直线 BD上任一点到 A、C两点距离相等；
过点 O作 OE⊥AD于 E，作 OF⊥CD于 F，作 OH⊥BC于 H，
∵AD＝CD，AB＝CB，
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
∴OE＝OF，OG＝OH，
但无法判断 OE、OF和 OG，故④错误；
综上正确的有①②③三项．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，以
及角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．
9．【分析】延长 ED至点 G，使 DG＝ED，连接 CG，FG，证明△EBD≌△GCD，可得 GC
＝BE，进而根据三角形三边关系即可得．
【解答】如图，延长 ED至点 G，连接 CG，
∵AD是△ABC的中线，E，F分别在边 AB，
∴BD＝CD，
又∵DE⊥DF，DG＝ED，
∴FD是 EG的垂直平分线，
∴FG＝EF，
又∵∠EDB＝∠GDC
∴△EBD≌△GCD（SAS），
∴GC＝BE，
∵GC+CF＞FG，
∴BE+CF＞EF．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，
三角形三边关系，证明△EBD≌△GCD是解题的关键．
10．【分析】在 BC上截取 BF＝AG，利用 SAS证明△ABF≌△ADG，利用 AAS证明△ACF
≌△AEG即可得 DG＝EG，延长 AG使 AG＝GF，连接 DF，EF，BD，CE，根据 GD＝
GE，AG＝GF得四边形 ADFE是平行四边形，则 DF＝AE＝AC，∠FDA+∠DAE＝180°，
，根据∠BAD＝∠CAE＝90°得∠BAC+∠DAE＝180°，则
∠FDA＝∠BAC，利用 SAS证明△ABC≌△DAF，得 BC＝AF＝2AG，则 S△ABC＝S△DAF，
S△ABC＝SADE，即可判断②④，根据题意无法证明 EA与 EG相等，故③错误，即可得．
【解答】解：如图 1所示，在 BC上截取 BF＝AG，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠BAH+∠ABC＝∠BAH+∠DAG＝∠CAH+∠BCA＝∠CAH+∠EAG＝90°，
∴∠CBA＝∠DAG，∠BCA＝∠EAG，
在△ABF和△ADG中，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴DG＝AF，∠DGA＝∠BFA，
∴∠EGA＝∠CFA，
在△ACF和△AEG中，
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴GE＝AF＝GD，
即 DG＝EG，
故①正确；
如图 2所示，延长 AG使 AG＝GF，EF，CE，
∵GD＝GE，AG＝GF，
∴四边形 ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝AC，∠FDA+∠DAE＝180°， ，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠FDA＝∠BAC，
在△ABC和△DAF中，
，
∴△ABC≌△DAF（SAS），
∴BC＝AF＝2AG，
∴S△ABC＝S△DAF，
∴S△ABC＝SADE，
故②④正确；
根据题意无法证明 EA与 EG相等，
故③错误，
综上，①②④正确
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面
积，解题的关键是掌握这些知识点，适当添加辅助线．
二、填空题（本大题共 8 小题，11-13 每题 3 分，14-18 每题 4 分，共计 29 分）
11．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特
点：关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：已知 P的坐标为（3，﹣4），
根据平面直角坐标系中关于 y轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点 P关于 y轴的对称点的坐标是（﹣8，﹣4），
故答案为：（﹣3，﹣7）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．【分析】利用全等三角形性质求出 CD＝AC＝5，AB＝CE＝3，即可求出结论．
【解答】解：∵Rt△CED≌Rt△ABC，AB＝3，
∴CD＝AC＝5，AB＝CE＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣3＝6，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，牢记全等三角形对应角相等，对应边相等是
解题关键．
13．【分析】如图，连接 AD．证明 Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出 DF＝DC＝1，可得结
论．
【解答】解：如图，连接 AD．
在 Rt△ADF和 Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝8﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝6．
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知 AB＝2BC或 BC＝2AB，若 AB＝2BC＝6，
可得 AB的长为 6；若 BC＝3＝2AB，因 1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况
不存在；即可得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或 BC＝2AB，
若 AB＝4BC＝6，则△ABC三边分别是 6，8，3，
∴腰 AB的长为 6；
若 BC＝8＝2AB，则 AB＝1.3，1.5，8，
∵1.5+8.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰 AB的长是 2，
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握
三角形任意两边的和大于第三边．
15．【分析】延长 AD到 E，使 DE＝AD，连接 CE．易证△ADB≌△EDC（SAS），可得 CE
＝AB＝3，再利用三角形的三边关系求出 AE的范围即可解决问题．
【解答】解：如图，AB＝3，AD是 BC上的中线，使 DE＝AD，
∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE＝AB＝3，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
即 3＜2AD＜10，
解得 2＜AD＜7，
又∵AD是奇数，
∴AD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是
作辅助线，构造全等三角形．
16．【分析】延长 AD交 BC于 E，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠EBD，根据∠ADB＝∠
EDB＝90°，三角形内角和定理得到∠BAD＝∠BED，推出 AB＝AE，由等腰三角形的性
质推出 AD＝DE，由三角形面积公式求出△AEC的面积，由 AB：BC＝5：9得到 BE：EC
＝5：4，即可求出 S△ABE＝10，即可得．
【解答】解：如图所示，延长 AD交 BC于 E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°，
∴∠BAD＝∠BED，
∴AB＝AE，
∴AD＝DE，
∴S△AEC＝2S△ADC＝2×3＝8，
，
∵AB：BC＝5：9，
∴BE：BC＝2：9，
∴BE：EC＝5：5，
∴S△ABE：S△AEC＝5：4，
∴S△ABE＝10，
∴ ．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，解题
的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．
17．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD＝BD，
AE＝CE，然后分两种情况讨论求解．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交 BC于点 D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
∴如图 1，AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣2＝6，
如图 2，AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+2＝14，
综上所述，AD+AE＝6或 14．
故答案为：6或 14．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质
是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
18．【分析】过 F点作 FA⊥x轴交于 A，作 FA⊥y轴交于 B，可得 AH＝n+3，BG＝﹣3﹣m，
可证△AFH≌△BFG（SAS），从而可得 AH＝BG，即可求解．
【解答】解：过 F点作 FA⊥x轴交于 A，作 FA⊥y轴交于 B，
∴∠FAH＝∠FBG＝90°，
∠AFH+∠BFH＝90°，
∵FH⊥FG，
∴∠BFG+∠BFH＝90°，
∴∠AFH＝∠BFG，
∵（﹣3，﹣3），
∴FA＝FB＝7，
AH＝n+3，BG＝﹣3﹣m，
在△AFH和△BFG中
，
∴△AFH≌△BFG（SAS），
∴AH＝BG，
∴n+7＝﹣3﹣m，
∴m+n＝﹣6；
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，点到坐标轴的距离，构建全等三角形，
掌握判定方法及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共 8 小题，共计 91 分）
19．【分析】（1）根据 AB＝DC得 AC＝BD，利用 SAS证明△EAC≌△FBD即可得；
（2）根据△EAC≌△FBD得∠ECA＝∠FDB，即可得．
【解答】证明：（1）∵AB＝DC，
∴AC＝BD，
在△EAC和△FBD中，
，
∴△EAC≌△FBD（SAS），
∴EC＝FD；
（2）∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA＝∠FDB，
∴FD∥EC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握全等三角
形的判定与性质．
20．【分析】（1）根据关于 x轴对称的点的坐标特点画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系的位置写出 A′、B′、C′三点坐标即可；
（3）先用割补法求出 S△ABC，进而利用 求出 PC长，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据关于 x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
分别找出点 A、B、C关于 x轴的对称点、B′，如图：
△A′B′C′即为所求；
（2）根据关于 x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴A′（2，0），﹣3），﹣1）；
（3）∵ ，
∵S△APC＝S△ABC，
∴ ，
∵A（2，2），
∴ ，
∴PC＝ ，
∵C（0，2），
∴P（0， ）或（0，﹣ ）．
【点评】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于 x轴对称的点的坐标特点
是解题关键．
21．【分析】（1）利用 SAS即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得∠BDC＝∠AEC，再利用三角形内角和定理可证明结论．
【解答】解：（1）△ACE≌△BCD，理由如下：
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠DCB＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE⊥BD，理由如下：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵∠DFA＝∠EFC，
∴∠DAF＝∠ECF＝90°，
∴AE⊥BD．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证
明△ACE≌△BCD是解题的关键．
22．【分析】（1）根据步骤尺规作图，得两个三角形；
（2）如图，满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中三角形 D2EF与△ABC
明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相
等．
（3）令∠ABC＝90°或∠ABC＞90°，作图验证，得两个三角形全等；
（4）由（3）作图验证可知：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角
为直角或钝角时，这两个三角形全等．
【解答】解：（1）作图如下，
（2）满足条件的三角形有两个，△D1EF，△D2EF，其中三角形 D8EF与△ABC明显不
全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
（3）如图 2，当∠ABC＝90°时，可得△DEF≌△ABC．
另，当∠ABC＞90°时，也可得△DEF≌△ABC；
（4）结论：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，这两个三角形全等．
【点评】本题考查尺规作图，全等三角形的判定；考虑到三角形内角为锐角、直角、钝
角的三种情况是解题的关键．
23．【分析】（1）连接 BD、CD，先由垂直平分线性质得 BD＝CD，再由角平分线性质得 DE
＝DF，然后证 Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）先证明 Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得 AE＝AF，则 CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，由
BE＝AB﹣AE及（1）知 BE＝CF，则 AB﹣AE＝AE﹣AC，代入 AB、AC值即可求得 AE
长，继而求得 BE长．
【解答】（1）证明：如图，连接 BD，
∵DG⊥BC且 BG＝GC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于 E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在 Rt△BED与 Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于 E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在 Rt△AED与 Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，
由（1）知：BE＝CF，
∴AB﹣AE＝AE﹣AC
即 5﹣AE＝AE﹣3，
∴AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝3，
【点评】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，
熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
24．【分析】在 BC上取一点 F，使得 FB＝AB，连接 DF，根据 BD平分∠ABC，∠ABC＝40°
得∠ABD＝∠FBD＝20°，利用 SAS证明△ABD≌△FBD，得 AD＝FD，即可得∠BDF
＝∠BDA＝60°，根据 ED＝AD得 ED＝FD，利用 SAS证明△EDC≌△FDC，得 CE＝
CF，可得 BC＝FB+CF＝AB+CE，即可得．
【解答】证明：如图所示，在 BC上取一点 F，连接 DF，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABD＝∠FBD＝20°，
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴AD＝FD，
∴∠BDF＝∠BDA＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180﹣100°﹣20°＝60°，
∴∠FDC＝60°，
∵ED＝AD，
∴ED＝FD，
在△EDC和△FDC中，
，
∴△EDC≌△FDC（SAS），
∴CE＝CF，
∴BC＝FB+CF＝AB+CE，
即 BC﹣AB＝EC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，解题的
关键是理解题意，掌握这些知识点，适当地添加辅助线．
25．【分析】根据题意和全等三角形的性质分类讨论：①P在 AC上，Q在 BC上，则 PC＝
6﹣t，QC＝8﹣3t，根据 PE⊥l，QF⊥l得∠PEC＝∠QFC＝90°，根据∠ACB＝90°得
∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，则∠EPC＝∠QCF，根据△PCE≌△CQF
得 PC＝CQ，即 6﹣t＝8﹣3t，进行计算得 t＝1；②P在 BC上，Q在 AC上，则 PC＝t
﹣6，QC＝3t﹣8，由①知，PC＝CQ，则 t﹣6＝3t﹣8，计算得 t＝1，当 t＝1 时，t﹣6
＜0，即不符合题意；③当 P，Q都在 AC上时，CP＝6﹣t＝3t﹣8，计算得 ；④当
Q到 A点停止，P在 BC上时，AC＝PC，即 t﹣6＝6，t＝12；⑤P和 Q都在 BC上的情
况不存在，因为 P的速度是每秒 1cm，Q的速度是每秒 3cm；综上，即可得．
【解答】解：①如图 1，P在 AC上，
则 PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，
∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图 5，P在 BC上，
则 PC＝t﹣6，QC＝3t﹣2，
由①知，PC＝CQ，
t﹣6＝3t﹣3，
t＝1，
当 t＝1时，t﹣7＜0；
③如图 3，当 P，
CP＝4﹣t＝3t﹣8，
；
④当 Q到 A点停止，P在 BC上时，
即 t﹣6＝7，
t＝12；
⑤P和 Q都在 BC上的情况不存在，因为 P的速度是每秒 1cm；
综上，当点 P运动 1或 ，以 P、E、F、C为顶点的三角形全等．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，
掌握这些知识点，分类讨论．
26．【分析】（1）延长 FD到点 G．使 DG＝BE．连接 AG，利用全等三角形的性质解决问题
即可．
（2）延长 CB至 M，使 BM＝DF，连接 AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角
形的性质得出 AF＝AM，∠2＝∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出
EF＝ME，即 EF＝BE+BM，则可得出结论；
（3）在 BE上截取 BG，使 BG＝DF，连接 AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三
角形的性质得出∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形
的性质得出结论．
【解答】解：（1）EF＝BE+FD．
延长 FD到点 G．使 DG＝BE，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝∠EAF＝60°．
∴∠GAF＝∠EAF＝60°．
在△AGF和△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SAS）．
∴FG＝EF．
∵FG＝DF+DG．
∴EF＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
（2）（1）中的结论 EF＝BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长 CB至 M，连接 AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠2+∠8＝ ∠BAD＝∠EAF．
∴∠4+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即 EF＝BE+BM，
∴EF＝BE+DF．
（3）结论 EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
证明：如图③中，在 BE上截取 BG，连接 AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会
利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题．、
